人教A版2019选修二 4.2 等差数列

人教A版2019选修二 4.2 等差数列
一、单选题
1．（2021·海南模拟）等差数列 、 、 、 的第五项等于（　　）
A． B．1 C．5 D．16
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为1、 、 、 成等差数列，所以 ，解得 ，
所以这个等差数列的每一项均为1．
故答案为：B.
【分析】首先由等差数列的通项公式整理即可求出a的值，再代入数值计算出第五项即可。
2．（2021·陕西模拟）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ，则 （　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于 ：
当 时， ，解得 ；
①．又当 时， ②，所以①②得 ③，当 时， ④，
所以④③得 ，
可得 ，所以数列 为等差数列，设其公差为 ，因为 ，解得 ．又 ，且易得 ， ，所以 ，故 。
故答案为：C．
【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，再结合等差数列的定义推出数列 为等差数列，设其公差为 ，再利用等差数列的前n项和公式结合已知条件，进而求出公差，再利用 结合n=1求出等差数列的首项，再结合等差数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前10项的和。
3．（2021·重庆模拟）已知公差不为0的等差数列 中， ， ，则 （　　）
A． B．5 C．10 D．40
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设数列公差为 ，则由已知得 ，由于 ，故解得 ，
所以 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列第十项的值。
4．（2021·昆明模拟）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为（　　）
A．101 B．100 C．99 D．98
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，数列 中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、 ，
可知数列 是以21为首项，以20为公差的等差数列，则 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，
因此，数列 的项数为101.
故答案为：A.
【分析】将数列 中的项由小到大列举出来，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得an，然后解不等式，即可得解。
5．（2021·包头模拟）设数列 中， ， ，则 （　　）
A．180 B．190 C．160 D．120
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】 ，
数列 是等差数列，且
所以 ， ，
即 .
故答案为：B
【分析】首先由等差数列的定义即可求出公差的值，由此即可求出等差数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．（2021·云南模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（　　）
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【解答】设该数列为 ，依题意可知， ，…成等差数列，且公差为2， ，
设塔群共有 层，则 ，
解得 ，
所以该塔共有12层，
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可得出数列为等差数列再由等差数列的前n项公式公式代入数值计算出结果即可。
7．（2021·长安模拟）等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 （　　）
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】依题意 ，
即 ，
即 ，
所以
.
故答案为：B
【分析】 由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．
8．（2021·云南模拟）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】 利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出 ，进而得出结论.
二、多选题
9．等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误；
，则 ，可得 ，B选项正确；
，
当 或 n= 时， 最小，C选项错误；
令 ，可得 ，解得 或 ，
，所以，满足 时 的最小值为 ，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】由于等差数列 是递增数列，则 ，再利用已知条件结合等差数列通项公式，进而 ，再结合等差数列前n项和公式结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出等差数列前n项和的最小值，再令 结合等差数列前n项和公式，进而求出n的取值范围，再结合n自身的取值范围没劲儿求出满足 时 的最小值，从而找出正确的选项。
10．（2020高二上·滨州期末）在等差数列 中，已知 ， ， 是其前 项和，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由已知条件得 ，解得 ，
对于A选项， ，A选项正确；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
，所以， ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出等差数列的第七项的值，再利用等差数列的前n项和公式，进而求出等差数列前10项的和，利用等差数列前n项和公式结合比较法，进而比较出的大小，进而选出正确选项。
11．（2020高三上·鄂州月考）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为 ，公差为 ，设一共放 层，则总得根数为：
整理得 ，
因为 ，所以 为200的因数， 且为偶数，
验证可知 满足题意.
故答案为：BD.
【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，再利用已知条件结合等差数列前n项和公式，求出 ，因为 ，所以 为200的因数， 且为偶数，验证可知 满足题意。
12．（2020高二上·秭归期中）已知数列 是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（　　）
A．a1＝3 B．若d＝1，则an＝n2+2n
C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n)，若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝6.因为a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差数列，则a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得 ，
故答案为：ACD。
【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n)，再利用分类讨论的方法结合等差数列的性质，从而求出等差数列的公差，从而选出正确的选项。
三、填空题
13．（2021·桂林模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 　 　．
【答案】270
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】等差数列 的前 项和为 且
解得 ,
故答案为：270.
【分析】根据题意结合已知条件由等差数列项的性质即可求出，再由等差数列的前n项公式公式计算出答案即可。
14．（2021·咸阳模拟）已知数列 ，则该数列的前 项和为　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，
由公式可得： ，
求和得： .
故答案为：
【分析】根据已知条件即可得出数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，由等差数列的前n项和公式整理即可得出答案。
15．（2021·绵阳模拟）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 　 　.
【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差 ，
由 ，可得： ，
∴ ，
即 ，
故答案为：0
【分析】首先由等差数列的前n项和公式整理再由整体思想结合等差数列的通项公式计算出结果即可。
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 　 　.
【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ， ，
所以公差 ，
,得 ，
所以 ，解得 。
故答案为:4。
【分析】利用数列的前n项和定义得出 ， ，再利用等差数列的性质，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的前n项和公式，进而结合已知条件，从而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，进而结合已知条件，从而求出m的值。
四、解答题
17．（2020高二上·盘县期中）等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1）解：设 的公差为 ，则 ，解得 ， ，所以
（2）解：由（1）知 ，
∴ ．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】(1)由已知条件结合得出数列的通项公式(2)由已知条件结合得出数列的定义即可得出是等差数列的求和，进而由等差数列的前n项和公式 即可求出结果。
18．（2020高二上·天津期末）设 为等差数列， 为数列 的前n项和，已知 ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
则由题意得 ，解得 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（1）得 ，则 ，
所以 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式即可得出关于首项与公差的方程组，求解出结果即可得出数列的通项公式。
（Ⅱ） 由(1)的结论结合等差数列的前n项和公式整理得到，由此即可得出，进而得到 数列 是等差数列，由等差数列的前n项和公式即可求出结果。
19．（2020高二上·宁县期中）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5＝5，S5＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设an＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，则 ，解之得 ，
所以数列{an}的通项公式为 ；
（2）解： ，
由此可得 ，数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.
因此，可得{bn}前n项和 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入数值计算出即可。
(2)利用(1)中的等差数列的通项公式即可求出数列，进而得出该数列为等比数列在结合等比数列前n项和公式代入数值计算出结果即可。
20．（2020高二上·丰城期中）等差数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 .
【答案】（1）解： 的首项为 ，公差为 ，
因为 ，所以 解得
所以 .
（2）解： ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式 。
(2)由（1）求出的等差数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列 的前 项和 。
21．（2020高二上·江门月考）已知等差数列数列 的前 项和为 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1）解：由题可知 ，解得 ，
所以 .
（2）解：由（1）知 ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前 项和公式即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.
22．（2020高二上·开封期中）已知等差数列 的前项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为
因为 ， ，可得 ，解得
所以
故数列 的通项公式为 ；
（2）证明：由（1）有
所以 ，
故当 时， .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式化简得到关于首项和公差的方程组求解出结果进而得到数列的通项公式。
(2)根据题意结合(1)的结论整理即可得证结果。
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一、单选题
1．（2021·海南模拟）等差数列 、 、 、 的第五项等于（　　）
A． B．1 C．5 D．16
2．（2021·陕西模拟）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ，则 （　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
3．（2021·重庆模拟）已知公差不为0的等差数列 中， ， ，则 （　　）
A． B．5 C．10 D．40
4．（2021·昆明模拟）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在 的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为（　　）
A．101 B．100 C．99 D．98
5．（2021·包头模拟）设数列 中， ， ，则 （　　）
A．180 B．190 C．160 D．120
6．（2021·云南模拟）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（　　）
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
7．（2021·长安模拟）等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 （　　）
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
8．（2021·云南模拟）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．等差数列 是递增数列，公差为 ，前 项和为 ，满足 ，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
10．（2020高二上·滨州期末）在等差数列 中，已知 ， ， 是其前 项和，则（　　）．
A． B． C． D．
11．（2020高三上·鄂州月考）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
12．（2020高二上·秭归期中）已知数列 是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（　　）
A．a1＝3 B．若d＝1，则an＝n2+2n
C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列
三、填空题
13．（2021·桂林模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 　 　．
14．（2021·咸阳模拟）已知数列 ，则该数列的前 项和为　 　.
15．（2021·绵阳模拟）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 　 　.
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 　 　.
四、解答题
17．（2020高二上·盘县期中）等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
18．（2020高二上·天津期末）设 为等差数列， 为数列 的前n项和，已知 ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
19．（2020高二上·宁县期中）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5＝5，S5＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设an＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（2020高二上·丰城期中）等差数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 .
21．（2020高二上·江门月考）已知等差数列数列 的前 项和为 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 .
22．（2020高二上·开封期中）已知等差数列 的前项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：当 时， .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为1、 、 、 成等差数列，所以 ，解得 ，
所以这个等差数列的每一项均为1．
故答案为：B.
【分析】首先由等差数列的通项公式整理即可求出a的值，再代入数值计算出第五项即可。
2．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于 ：
当 时， ，解得 ；
①．又当 时， ②，所以①②得 ③，当 时， ④，
所以④③得 ，
可得 ，所以数列 为等差数列，设其公差为 ，因为 ，解得 ．又 ，且易得 ， ，所以 ，故 。
故答案为：C．
【分析】利用与的关系式结合分类讨论的方法，再结合等差数列的定义推出数列 为等差数列，设其公差为 ，再利用等差数列的前n项和公式结合已知条件，进而求出公差，再利用 结合n=1求出等差数列的首项，再结合等差数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前10项的和。
3．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设数列公差为 ，则由已知得 ，由于 ，故解得 ，
所以 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列第十项的值。
4．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】由题意可知，数列 中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、 ，
可知数列 是以21为首项，以20为公差的等差数列，则 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，
因此，数列 的项数为101.
故答案为：A.
【分析】将数列 中的项由小到大列举出来，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得an，然后解不等式，即可得解。
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】 ，
数列 是等差数列，且
所以 ， ，
即 .
故答案为：B
【分析】首先由等差数列的定义即可求出公差的值，由此即可求出等差数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定；等差数列的性质
【解析】【解答】设该数列为 ，依题意可知， ，…成等差数列，且公差为2， ，
设塔群共有 层，则 ，
解得 ，
所以该塔共有12层，
故答案为：C.
【分析】由已知条件即可得出数列为等差数列再由等差数列的前n项公式公式代入数值计算出结果即可。
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】依题意 ，
即 ，
即 ，
所以
.
故答案为：B
【分析】 由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．
8．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：A
【分析】 利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出 ，进而得出结论.
9．【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】由于等差数列 是递增数列，则 ，A选项错误；
，则 ，可得 ，B选项正确；
，
当 或 n= 时， 最小，C选项错误；
令 ，可得 ，解得 或 ，
，所以，满足 时 的最小值为 ，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】由于等差数列 是递增数列，则 ，再利用已知条件结合等差数列通项公式，进而 ，再结合等差数列前n项和公式结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出等差数列前n项和的最小值，再令 结合等差数列前n项和公式，进而求出n的取值范围，再结合n自身的取值范围没劲儿求出满足 时 的最小值，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】由已知条件得 ，解得 ，
对于A选项， ，A选项正确；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
，所以， ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出等差数列的第七项的值，再利用等差数列的前n项和公式，进而求出等差数列前10项的和，利用等差数列前n项和公式结合比较法，进而比较出的大小，进而选出正确选项。
11．【答案】B,D
【知识点】等差数列的前n项和；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为 ，公差为 ，设一共放 层，则总得根数为：
整理得 ，
因为 ，所以 为200的因数， 且为偶数，
验证可知 满足题意.
故答案为：BD.
【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，再利用已知条件结合等差数列前n项和公式，求出 ，因为 ，所以 为200的因数， 且为偶数，验证可知 满足题意。
12．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为 ， ，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n)，若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝6.因为a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差数列，则a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得 ，
故答案为：ACD。
【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n)，再利用分类讨论的方法结合等差数列的性质，从而求出等差数列的公差，从而选出正确的选项。
13．【答案】270
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】等差数列 的前 项和为 且
解得 ,
故答案为：270.
【分析】根据题意结合已知条件由等差数列项的性质即可求出，再由等差数列的前n项公式公式计算出答案即可。
14．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，
由公式可得： ，
求和得： .
故答案为：
【分析】根据已知条件即可得出数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，由等差数列的前n项和公式整理即可得出答案。
15．【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列 的公差 ，
由 ，可得： ，
∴ ，
即 ，
故答案为：0
【分析】首先由等差数列的前n项和公式整理再由整体思想结合等差数列的通项公式计算出结果即可。
16．【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】 ， ，
所以公差 ，
,得 ，
所以 ，解得 。
故答案为:4。
【分析】利用数列的前n项和定义得出 ， ，再利用等差数列的性质，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的前n项和公式，进而结合已知条件，从而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，进而结合已知条件，从而求出m的值。
17．【答案】（1）解：设 的公差为 ，则 ，解得 ， ，所以
（2）解：由（1）知 ，
∴ ．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【分析】(1)由已知条件结合得出数列的通项公式(2)由已知条件结合得出数列的定义即可得出是等差数列的求和，进而由等差数列的前n项和公式 即可求出结果。
18．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
则由题意得 ，解得 ，
所以 ；
（Ⅱ）由（1）得 ，则 ，
所以 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式即可得出关于首项与公差的方程组，求解出结果即可得出数列的通项公式。
（Ⅱ） 由(1)的结论结合等差数列的前n项和公式整理得到，由此即可得出，进而得到 数列 是等差数列，由等差数列的前n项和公式即可求出结果。
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，则 ，解之得 ，
所以数列{an}的通项公式为 ；
（2）解： ，
由此可得 ，数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.
因此，可得{bn}前n项和 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入数值计算出即可。
(2)利用(1)中的等差数列的通项公式即可求出数列，进而得出该数列为等比数列在结合等比数列前n项和公式代入数值计算出结果即可。
20．【答案】（1）解： 的首项为 ，公差为 ，
因为 ，所以 解得
所以 .
（2）解： ，
所以 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式 。
(2)由（1）求出的等差数列 的通项公式求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列 的前 项和 。
21．【答案】（1）解：由题可知 ，解得 ，
所以 .
（2）解：由（1）知 ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前 项和公式即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.
22．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为
因为 ， ，可得 ，解得
所以
故数列 的通项公式为 ；
（2）证明：由（1）有
所以 ，
故当 时， .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式化简得到关于首项和公差的方程组求解出结果进而得到数列的通项公式。
(2)根据题意结合(1)的结论整理即可得证结果。
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