高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题
1．（2021·咸阳模拟）在直三棱柱 中， ， ，若该直三棱柱的外接球表面积为 ，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
2．（2021·吕梁模拟）已知四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 是正三角形，且侧面 底面 ， ，若四棱锥 外接球的体积为 ，则该四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·晋中模拟）如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 中， ， ， ，侧棱 ，若侧面 水平放置时，水面恰好过 的中点，那么当底面 水平放置时，水面高为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2021·焦作模拟）已知点 ， ， 在半径为5的球面上，且 ， ， 为球面上的动点，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·安徽模拟）在棱长为 的正方体 中， 为正方形 的中心， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则四面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·焦作模拟）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·大庆模拟）已知四棱锥 ，底面 为矩形，点 在平面 上的射影为 的中点 .若 ， ， ，则四棱锥 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·和平模拟）已知正方体 的棱长为2，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C．4 D．6
9．（2021·潍坊模拟）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
二、多选题
10．（2021·滨州模拟）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·邯郸模拟）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近 ，若取 ，侧棱长为 米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米
B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为 平方米
D．正四棱锥的侧面积为 平方米
三、填空题
12．（2019·江苏）如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 .
13．（2021·奉贤模拟）在棱长为 的正方体 中，点 分别是线段 （不包括端点）上的动点，且线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是 .
14．（2020·南昌模拟）已知正四棱锥 中， 是边长为3的等边三角形，点M是 的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面 ，平面 与截面PAC交线段的长度为2，则平面 与正四棱椎 表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 .（请将可能的结果序号填到横线上）①2；② ；③3； ④ .
15．（2020高三上·菏泽期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 、 距离之比 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的表面 (包括边界)上的动点，若动点 满足 ，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若 是 的中点，且满足 ，则三棱锥 体积的最大值是 .
阿波罗尼奥斯
16．（2020高二上·玉溪期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵 中， ，且 .下述四个结论正确结论的编号是 .
①四棱锥 为“阳马”
②四面体 为“鳖臑”
③过 点分别作 于点 ， 于点 ，则
④四棱锥 体积最大为
17．（2020高三上·镇江期中）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为 的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为 .
18．（2020·南京模拟）已知正四棱锥 的体积为 ，底面边长为2，则侧棱 的长为 ．
四、解答题
19．（2020高二上·永安月考）如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为 和 ，侧面积为 ，求其体积
20．（2020高二上·通化期中）长方体 中， =12， =10， =6，过 作长方体的截面 使它成为正方形，
（1）求截面 将正方体分成的两部分的体积比；
（2）求
21．（2020高二下·上海期末）如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的大小；
（2）计算四面体 的体积（用 来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足： （ 为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为 ，则 ，解得 ，
设直三棱柱的高为 ，则 ，即 ，
解得 ，所以直三棱柱的高为 ，
故答案为：D
【分析】因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。
2．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，
因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，
过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，
设外接球半径为 ，外接球的体积为 ，所以 ，即 ，
过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，则 ， ，
所以 ，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
作 于 ，所以 为 的中点，所以 ，所以 ， ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以 ， 再利用三角形面积公式结合 ，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， ， 再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。
3．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设四棱柱的底面梯形的高为 ，
的中点分别为 ，
所求的水面高为h，
则水的体积 ，
所以 ，
故答案为：B。
【分析】设四棱柱的底面梯形的高为 ， 的中点分别为 ，所求的水面高为h，再利用四棱柱的体积公式，进而求出水的体积，再结合已知条件，进而求出水面的高。
4．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，因为 是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，
由 ， ，得 ，则 ，
， ，
， ，
又 ，
所以最大的 。
故答案为：A．
【分析】因为 是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，由 ， ，结合余弦函数的定义得 ，再利用同角三角函数基本关系式得出 ，再利用正弦函数的定义求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长，进而求出PM的长，再利用三角形面积公式结合三棱锥体积公式，进而求出三棱锥 体积的最大值。
5．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，连接 ,
由正方体的特点可知， ， ,则根据线面垂直的判定定理可知 平面 ，则 ，
,故 。
故答案为：B.
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，连接 ,由正方体的结构特征可知， ， ,再利用线线垂直找出线面垂直，即 平面 ，再利用三棱锥的体积公式结合求和法，进而利用三角形的面积等于梯形的面积减去三角形的面积的方法，从而求出四面体 的体积 。
6．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】塔顶是正四棱锥 ，如图， 是正四棱锥的高，
设底面边长为 ，底面积为 ，
， ，∴ ， 是正三角形，面积为 ，
所以 。
故答案为：D．
【分析】塔顶是正四棱锥 ，结合已知条件和正方形面积公式，进而求出正四棱锥的底面积。再利用已知条件结合三角形 是正三角形，再结合三角形的面积公式，进而求出侧面三角形的面积，从而求出该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比。
7．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】连接 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，同理 ，
因此 ， ， ，同理 ， ，
，同理 ，
是等腰三角形，所以底边上的高为 ，
，
所以所求表面积为 。
故答案为：A．
【分析】连接 ， 再利用 平面 结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，再利用三角形面积公式和矩形的面积公式，进而得出 ，同理 ， ，再利用勾股定理结合等腰三角形的性质，进而求出底边上的高，再利用四棱锥的表面积公式，进而求出四棱锥 的表面积。
8．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥
又因为 ，
，
所以 。
故答案为：B
【分析】因为三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥 再利用正方体的体积公式结合三棱锥的体积公式，再结合等体积法和作差法，进而求出三棱锥 的体积。
9．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图：由正六边形的每个内角为 ，
按虚线处折成高为 的正六棱柱，即 ，
所以
可得正六棱柱底边边长 ，
所以正六棱柱体积： .
故答案为：B
【分析】 利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解．
10．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据三角形的两边之和大于第三边性质，知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长度为1，如图 ，其余棱长都为2，
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 ，又 是平面 内两相交直线，则 平面 ，
由已知 ，则 ， ，
， ；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中的图形， ，
解法如（1），只是有 ， ，
；
（3）若有两条棱长度为1，如图 ， ，四面体为正三棱锥，设 是正三棱锥的高， 是 的外心， ， ，
，
．
故答案为：ABC．
【分析】 根据题意分情况讨论即可得出：分底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1，底边长为1，1，1，侧棱长为2，2，2和底面边长为2，2，1，侧棱长为2，2，1，三种情况分别计算棱锥的体积，结合选项得答案．
11．【答案】A,C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】如图，在正四棱锥 中，
O为正方形 的中心， 为 的中点，
则 ，
设底面边长为 ．
因为 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，底面边长为6米，
平方米．
故答案为：AC.
【分析】根据题意作出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可．
12．【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
在长方体中， 平面 又 在 上， 平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体 的体积是120，
又为 的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】由线面平行的性质定理知 ， ∽ ， ，
设 ，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,
所以 ，所以四面体 的体积为 ，
当 时，四面体 的体积取得最大值： ．
所以答案应填： ．
【分析】由题意可得 ∽ ，设 ，则 ， 到平面 的距离为 ，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体体积的最大值。
14．【答案】①③
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设 ，因为 为正四棱锥，易知平面 平面 ，又
，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
过M作 ∥ 分别交棱 、 于点T、L，
则 平面 ，由题意，
只需所作的平面 是包含 且与截面PAC交线段的长度为2即可，
又 是边长为3的等边三角形，点M是 的重心，过M作 ∥ 分别交棱
、 于点E、Q，所以 ，即 ，所以 ，
如图1，则平面 为满足题意的平面 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，故①正确；
如图2，过T作 ∥ ，过L作 ∥ ，
易知平面 为满足题意的平面 ，
且 为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以 ，
所以五边形 的面积 ，
故③正确.当 ∥ 与 ∥ 是完全相同的，所以，综上选①③.
故答案为：①③
【分析】设 ，因为 为正四棱锥，易知 平面 ，过M作 ∥ 分别交棱 、 于点T、L，则 平面 ，由题意，只需所作的平面 是包含 且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.
15．【答案】；
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】在 上取点 ，在 延长线上取点 ，使得 ，
，则 是题中阿氏圆上的点，由题意 是阿氏圆的直径，
，则 ， ，所以 ，∴阿氏圆半径为 ；
正方体中 ， 都与侧面 垂直，从而与侧面 内的直线 垂直，
如图 ，则 ，∴ ，即 在上述阿氏圆上，
∵ 的面积是2为定值，因此只要 到平面 距离最大，则三棱锥 体积的最大，
由于 点在阿氏圆上，当 是阿氏圆与 交点 时， 到平面 距离最大，
此时 ，因此 ， ，
三棱锥 体积的最大值为 。
故答案为： ； 。
【分析】在 上取点 ，在 延长线上取点 ，使得 ， ，则 是题中阿氏圆上的点，由题意 是阿氏圆的直径， ，则 ， ，所以 ，进而求出阿氏圆半径 ；再利用相似三角形对应边成比例结合三角形 的面积是2为定值，因此只要 到平面 距离最大，则三棱锥 体积的最大，由于 点在阿氏圆上，当 是阿氏圆与 交点 时， 到平面 距离最大，从而利用勾股定理求出QD的长，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 体积的最大值。
16．【答案】①②③
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】对于①：因为 为堑堵，
所以侧棱 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，满足“阳马”的定义：一条侧棱垂直于底面的四棱锥，
所以四棱锥 为“阳马”，故①正确；
对于②：因为 底面 ，所以 ，即 为直角三角形，
同理 也为直角三角形，
由①可得 平面 ，所以 ，即 为直角三角形，
因为 底面 ，所以
又因为 ，
所以 平面 ，
所以 ，即 为直角三角形，
所以四面体 的四个面全为直角三角形，即四面体 为“鳖臑”，故②正确；
对于③：由①可得 平面 ， 平面 ,
所以 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面AEF，
所以 ，故③正确；
对于④：设 ，则矩形 的面积为 ，
在 中， ，
所以四棱锥 体积 ，故④错误，
故答案为：①②③
【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，性质定理，锥体的体积公式，逐一分析选项即可得到答案。
17．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝ ＝ .SO＝ ＝ ＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为 ×( )2×2＝ .
故答案为：
【分析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，即可求出EB，SO，进而求出正四棱锥SEFGH的体积。
18．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设底面正方形 的中心为 ，又底面边长为2可得
由
【分析】先设底面正方形 的中心为 ，根据题意得到 ，再由 求出 ，结合勾股定理即可得出结果.
19．【答案】解：取 的中点 ， 的中点 ，上、下底面的中心 ，则 为斜高，四边形 为直角梯形,
∵ ，
∴ ，
在直角梯形 中，
， ，
∴ ，
故该四棱台的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】取 的中点 ， 的中点 ，上、下底面的中心 ，根据侧面积求出 ，再求出棱台的高，即可求出体积.
20．【答案】（1）解： 是正方形， =12， =10， =6
， ，
截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高 相等均为长方体侧棱长
，
（2）解：过点B作直线BG平行于 交 于点G，过G作 的垂线交 于H，如图：
则BG平行于平面 ，则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，
易证 平面 ，即GH即为点G到面 的距离
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相同，利用 只需要求出底面积的比值即可.(2)过点B作直线BG平行于 交 于点G,则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，过G作 的垂线交 于H，则易证GH即为点G到面 的距离，再代入 即可.
21．【答案】（1）解：补形如图：延长 相交于G点，延长 相交于H点，连接
由正六边形性质知 是平行四边形，从而得 是直四棱柱，则 且 所以四边形 是平行四边形，所以 ,
所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.
在三角形 中，由平面几何知识和余弦定理得： ， ， ,
（2）解：如图，建立分别以 为 轴的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
， ，
设平面 法向量为
, ，令 ，则 ，
所以 到平面 的距离
又 ， ， ,
（3）解：由题知，正六棱柱的表面积
正六棱柱的体积
又
所以当 时， 有最大值，也即 取得最小值，
此时 ，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）延长 相交于G点，延长 相交于H点，连接 ，得 是直四棱柱，证明 ,所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面 法向量，求出 到平面 的距离，可得四面体 的体积.（3）求出正六棱柱的表面积 , 正六棱柱的体积 ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题
1．（2021·咸阳模拟）在直三棱柱 中， ， ，若该直三棱柱的外接球表面积为 ，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为 ，则 ，解得 ，
设直三棱柱的高为 ，则 ，即 ，
解得 ，所以直三棱柱的高为 ，
故答案为：D
【分析】因为 ，所以将直三棱柱 补成长方体 ，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。
2．（2021·吕梁模拟）已知四棱锥 中，底面 是矩形，侧面 是正三角形，且侧面 底面 ， ，若四棱锥 外接球的体积为 ，则该四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，
因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，
过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，
设外接球半径为 ，外接球的体积为 ，所以 ，即 ，
过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，则 ， ，
所以 ，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
作 于 ，所以 为 的中点，所以 ，所以 ， ，
所以 。
故答案为：B.
【分析】设四棱锥 外接球的球心为 ，过 作底面 的垂线，垂足为 ，因为四边形 是长方形，所以 的底面中心，即对角线 的交点，过 作三角形 的垂线，垂足为 ，所以 是正三角形 外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过 作 ，则 是 的中点，连接 ，所以 ， ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，即 ，设 ，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以 ， 再利用三角形面积公式结合 ，所以 平面 ， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ， ， 再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。
3．（2021·晋中模拟）如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 中， ， ， ，侧棱 ，若侧面 水平放置时，水面恰好过 的中点，那么当底面 水平放置时，水面高为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设四棱柱的底面梯形的高为 ，
的中点分别为 ，
所求的水面高为h，
则水的体积 ，
所以 ，
故答案为：B。
【分析】设四棱柱的底面梯形的高为 ， 的中点分别为 ，所求的水面高为h，再利用四棱柱的体积公式，进而求出水的体积，再结合已知条件，进而求出水面的高。
4．（2021·焦作模拟）已知点 ， ， 在半径为5的球面上，且 ， ， 为球面上的动点，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，因为 是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，
由 ， ，得 ，则 ，
， ，
， ，
又 ，
所以最大的 。
故答案为：A．
【分析】因为 是 的外心， 是球心， 平面 ，当 是 的延长线与球面交点时， 到平面 距离最大，由 ， ，结合余弦函数的定义得 ，再利用同角三角函数基本关系式得出 ，再利用正弦函数的定义求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长，进而求出PM的长，再利用三角形面积公式结合三棱锥体积公式，进而求出三棱锥 体积的最大值。
5．（2021·安徽模拟）在棱长为 的正方体 中， 为正方形 的中心， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则四面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，连接 ,
由正方体的特点可知， ， ,则根据线面垂直的判定定理可知 平面 ，则 ，
,故 。
故答案为：B.
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，连接 ,由正方体的结构特征可知， ， ,再利用线线垂直找出线面垂直，即 平面 ，再利用三棱锥的体积公式结合求和法，进而利用三角形的面积等于梯形的面积减去三角形的面积的方法，从而求出四面体 的体积 。
6．（2021·焦作模拟）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】塔顶是正四棱锥 ，如图， 是正四棱锥的高，
设底面边长为 ，底面积为 ，
， ，∴ ， 是正三角形，面积为 ，
所以 。
故答案为：D．
【分析】塔顶是正四棱锥 ，结合已知条件和正方形面积公式，进而求出正四棱锥的底面积。再利用已知条件结合三角形 是正三角形，再结合三角形的面积公式，进而求出侧面三角形的面积，从而求出该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比。
7．（2021·大庆模拟）已知四棱锥 ，底面 为矩形，点 在平面 上的射影为 的中点 .若 ， ， ，则四棱锥 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】连接 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，同理 ，
因此 ， ， ，同理 ， ，
，同理 ，
是等腰三角形，所以底边上的高为 ，
，
所以所求表面积为 。
故答案为：A．
【分析】连接 ， 再利用 平面 结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，再利用三角形面积公式和矩形的面积公式，进而得出 ，同理 ， ，再利用勾股定理结合等腰三角形的性质，进而求出底边上的高，再利用四棱锥的表面积公式，进而求出四棱锥 的表面积。
8．（2021·和平模拟）已知正方体 的棱长为2，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥
又因为 ，
，
所以 。
故答案为：B
【分析】因为三棱锥 是由正方体 截去四个小三棱锥 再利用正方体的体积公式结合三棱锥的体积公式，再结合等体积法和作差法，进而求出三棱锥 的体积。
9．（2021·潍坊模拟）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图：由正六边形的每个内角为 ，
按虚线处折成高为 的正六棱柱，即 ，
所以
可得正六棱柱底边边长 ，
所以正六棱柱体积： .
故答案为：B
【分析】 利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解．
二、多选题
10．（2021·滨州模拟）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据三角形的两边之和大于第三边性质，知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长度为1，如图 ，其余棱长都为2，
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 ，又 是平面 内两相交直线，则 平面 ，
由已知 ，则 ， ，
， ；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中的图形， ，
解法如（1），只是有 ， ，
；
（3）若有两条棱长度为1，如图 ， ，四面体为正三棱锥，设 是正三棱锥的高， 是 的外心， ， ，
，
．
故答案为：ABC．
【分析】 根据题意分情况讨论即可得出：分底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1，底边长为1，1，1，侧棱长为2，2，2和底面边长为2，2，1，侧棱长为2，2，1，三种情况分别计算棱锥的体积，结合选项得答案．
11．（2021·邯郸模拟）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近 ，若取 ，侧棱长为 米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米
B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为 平方米
D．正四棱锥的侧面积为 平方米
【答案】A,C
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】如图，在正四棱锥 中，
O为正方形 的中心， 为 的中点，
则 ，
设底面边长为 ．
因为 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，底面边长为6米，
平方米．
故答案为：AC.
【分析】根据题意作出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可．
三、填空题
12．（2019·江苏）如图，长方体 的体积是120，E为 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 .
【答案】10
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】
在长方体中， 平面 又 在 上， 平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体 的体积是120，
又为 的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
13．（2021·奉贤模拟）在棱长为 的正方体 中，点 分别是线段 （不包括端点）上的动点，且线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】由线面平行的性质定理知 ， ∽ ， ，
设 ，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,
所以 ，所以四面体 的体积为 ，
当 时，四面体 的体积取得最大值： ．
所以答案应填： ．
【分析】由题意可得 ∽ ，设 ，则 ， 到平面 的距离为 ，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体体积的最大值。
14．（2020·南昌模拟）已知正四棱锥 中， 是边长为3的等边三角形，点M是 的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面 ，平面 与截面PAC交线段的长度为2，则平面 与正四棱椎 表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 .（请将可能的结果序号填到横线上）①2；② ；③3； ④ .
【答案】①③
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设 ，因为 为正四棱锥，易知平面 平面 ，又
，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
过M作 ∥ 分别交棱 、 于点T、L，
则 平面 ，由题意，
只需所作的平面 是包含 且与截面PAC交线段的长度为2即可，
又 是边长为3的等边三角形，点M是 的重心，过M作 ∥ 分别交棱
、 于点E、Q，所以 ，即 ，所以 ，
如图1，则平面 为满足题意的平面 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，故①正确；
如图2，过T作 ∥ ，过L作 ∥ ，
易知平面 为满足题意的平面 ，
且 为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以 ，
所以五边形 的面积 ，
故③正确.当 ∥ 与 ∥ 是完全相同的，所以，综上选①③.
故答案为：①③
【分析】设 ，因为 为正四棱锥，易知 平面 ，过M作 ∥ 分别交棱 、 于点T、L，则 平面 ，由题意，只需所作的平面 是包含 且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.
15．（2020高三上·菏泽期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 、 距离之比 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的表面 (包括边界)上的动点，若动点 满足 ，则点 所形成的阿氏圆的半径为 ；若 是 的中点，且满足 ，则三棱锥 体积的最大值是 .
阿波罗尼奥斯
【答案】；
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】在 上取点 ，在 延长线上取点 ，使得 ，
，则 是题中阿氏圆上的点，由题意 是阿氏圆的直径，
，则 ， ，所以 ，∴阿氏圆半径为 ；
正方体中 ， 都与侧面 垂直，从而与侧面 内的直线 垂直，
如图 ，则 ，∴ ，即 在上述阿氏圆上，
∵ 的面积是2为定值，因此只要 到平面 距离最大，则三棱锥 体积的最大，
由于 点在阿氏圆上，当 是阿氏圆与 交点 时， 到平面 距离最大，
此时 ，因此 ， ，
三棱锥 体积的最大值为 。
故答案为： ； 。
【分析】在 上取点 ，在 延长线上取点 ，使得 ， ，则 是题中阿氏圆上的点，由题意 是阿氏圆的直径， ，则 ， ，所以 ，进而求出阿氏圆半径 ；再利用相似三角形对应边成比例结合三角形 的面积是2为定值，因此只要 到平面 距离最大，则三棱锥 体积的最大，由于 点在阿氏圆上，当 是阿氏圆与 交点 时， 到平面 距离最大，从而利用勾股定理求出QD的长，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 体积的最大值。
16．（2020高二上·玉溪期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵 中， ，且 .下述四个结论正确结论的编号是 .
①四棱锥 为“阳马”
②四面体 为“鳖臑”
③过 点分别作 于点 ， 于点 ，则
④四棱锥 体积最大为
【答案】①②③
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】对于①：因为 为堑堵，
所以侧棱 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，满足“阳马”的定义：一条侧棱垂直于底面的四棱锥，
所以四棱锥 为“阳马”，故①正确；
对于②：因为 底面 ，所以 ，即 为直角三角形，
同理 也为直角三角形，
由①可得 平面 ，所以 ，即 为直角三角形，
因为 底面 ，所以
又因为 ，
所以 平面 ，
所以 ，即 为直角三角形，
所以四面体 的四个面全为直角三角形，即四面体 为“鳖臑”，故②正确；
对于③：由①可得 平面 ， 平面 ,
所以 ，又 ，
所以 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面AEF，
所以 ，故③正确；
对于④：设 ，则矩形 的面积为 ，
在 中， ，
所以四棱锥 体积 ，故④错误，
故答案为：①②③
【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，性质定理，锥体的体积公式，逐一分析选项即可得到答案。
17．（2020高三上·镇江期中）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为 的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝ ＝ .SO＝ ＝ ＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为 ×( )2×2＝ .
故答案为：
【分析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，即可求出EB，SO，进而求出正四棱锥SEFGH的体积。
18．（2020·南京模拟）已知正四棱锥 的体积为 ，底面边长为2，则侧棱 的长为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设底面正方形 的中心为 ，又底面边长为2可得
由
【分析】先设底面正方形 的中心为 ，根据题意得到 ，再由 求出 ，结合勾股定理即可得出结果.
四、解答题
19．（2020高二上·永安月考）如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为 和 ，侧面积为 ，求其体积
【答案】解：取 的中点 ， 的中点 ，上、下底面的中心 ，则 为斜高，四边形 为直角梯形,
∵ ，
∴ ，
在直角梯形 中，
， ，
∴ ，
故该四棱台的体积为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】取 的中点 ， 的中点 ，上、下底面的中心 ，根据侧面积求出 ，再求出棱台的高，即可求出体积.
20．（2020高二上·通化期中）长方体 中， =12， =10， =6，过 作长方体的截面 使它成为正方形，
（1）求截面 将正方体分成的两部分的体积比；
（2）求
【答案】（1）解： 是正方形， =12， =10， =6
， ，
截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高 相等均为长方体侧棱长
，
（2）解：过点B作直线BG平行于 交 于点G，过G作 的垂线交 于H，如图：
则BG平行于平面 ，则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，
易证 平面 ，即GH即为点G到面 的距离
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】（1）截面 将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相同，利用 只需要求出底面积的比值即可.(2)过点B作直线BG平行于 交 于点G,则点B到面 的距离即为点G到面 的距离，过G作 的垂线交 于H，则易证GH即为点G到面 的距离，再代入 即可.
21．（2020高二下·上海期末）如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的大小；
（2）计算四面体 的体积（用 来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足： （ 为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
【答案】（1）解：补形如图：延长 相交于G点，延长 相交于H点，连接
由正六边形性质知 是平行四边形，从而得 是直四棱柱，则 且 所以四边形 是平行四边形，所以 ,
所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.
在三角形 中，由平面几何知识和余弦定理得： ， ， ,
（2）解：如图，建立分别以 为 轴的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
， ，
设平面 法向量为
, ，令 ，则 ，
所以 到平面 的距离
又 ， ， ,
（3）解：由题知，正六棱柱的表面积
正六棱柱的体积
又
所以当 时， 有最大值，也即 取得最小值，
此时 ，
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）延长 相交于G点，延长 相交于H点，连接 ，得 是直四棱柱，证明 ,所以异面直线 和 所成角的大小即为直线 和 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面 法向量，求出 到平面 的距离，可得四面体 的体积.（3）求出正六棱柱的表面积 , 正六棱柱的体积 ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.
1 / 1
