人教版2019选修二第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试卷

人教版2019选修二第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试卷
一、单选题
1．（2021高二下·天津期中）设曲线f(x)＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．－ C． D．－1
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】f(x)＝ax2，则
因为在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以
所以
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出函数的导函数再把数值代入到导函数的解析式计算出直线的斜率，再由直线垂直斜率之间的关系求出a的值即可。
2．（2021高二下·天津期中）已知函数 ，则 的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，得： ，
∴ ：即 ， 单调递减；
故答案为：C.
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
3．（2021高二下·天津期中）已知函数 的图象如下所示， 为 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的斜率
【解析】【解答】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知： ，而 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意对函数求导再由导数的几何意义，结合函数的单调性即可得出答案。
4．（2021高二下·天津期中）已知 是 的极值点，则 在 上的最大值是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意， 且 ，
∴ ，则 ，
∴当 时， ， 单调递减；当 或 时， ， 单调递增；
∴在 上， 单调递增； ， 单调递减；
∵ ，
∴ 在 上最大值是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值。
5．（2021·兰州模拟）已知奇函数 ，当 时， ，则 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
A．0 B．9 C．11 D．17
【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解析：由于 时， ，
可知当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，当 时函数有最大值 ，
又由于当 时， ，
因此可以画出函数 与 的图象如图，
由图象可知，在区间 内两图象有4个交点，
根据对称性，在区间 内也有4个与它们关于点 对称的交点，
这四对点的横坐标之和为 ，再加 点横坐标，故各交点横坐标之和为9.
故答案为：B
【分析】 利用导数研究函数f（x）的单调性，画出函数f（x-1）与函数y=2sinπx（-4≤x≤6）的图象，由对称性，数形结合即可求得f（x-1）的图象与函数y=2sinπx（-4≤x≤6）的图象所有交点的横坐标之和．
6．（2021·吉林模拟）函数 的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，所以AB错误；求导得，当0当x>e时，y'>0，所以C正确，D错误.
故答案为：C
【分析】由函数的定义域可判断AB，利用导数研究函数的单调性可判断CD.
7．（2021高二下·洮南期中）设函数 在区间 上总存在零点，则 的最小值为（　　）
A．7 B．e C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】由题意，函数 ，
设 为函数 在 上的零点，则 ，
即 ，即点 在直线 上，
又由 表示点 到原点的距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
可得函数 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
所以 的最小值为 。
故答案为：C.
【分析】由题意，函数 ，设 为函数 在 上的零点，再结合函数零点的定义，则 ，即 ，即点 在直线 上，又由 表示点 到原点的距离的平方，再利用两点距离公式得出，令 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最大值，从而求出 的最小值。
8．（2021·咸阳模拟）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，函数 ，若关于 的函数 恰有2个零点，则实数 的取值范围为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为 则 或 ，
时， ， ，
时， ， 递减； 时， ， 递增，
∴ 的极小值为 ，又因为 ，因此 无解，
此时 要有两解，则 ，
又因为 是奇函数，∴ 时， 仍然无解，
要有两解，则 ，
综上所述， 。
故答案为：C．
【分析】因为关于 的函数 恰有2个零点，结合函数零点的定义，进而得出 或 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，又因为 ，因此 无解，此时 要有两解，则 ，再利用函数为奇函数结合奇函数的定义，所以当 时， 仍然无解，方程 要有两解，则 ，进而结合并集的运算法则求出实数a的取值范围。
二、多选题
9．（2021·重庆模拟）函数 （k为常数）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】显然 有唯一零点 ，D不符合题意；
， ，
∴ 在 上单减， 上单增，
∴ ，且 时 ， 时 ，
故当 时， ， 单增，A可能；
当 时， 存在两个零点 ， 在 和 上单增， 上单减，B可能；
当 时， 存在唯一零点 ， 在 上单增，在 上单减，
C可能．
故答案为： ABC.
【分析】利用函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，再结合分类讨论的方法，进而利用排除法找出函数可能的图象。
10．（2021·济宁模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的周期为
B． 在区间 上是减函数
C． 是奇函数
D． 在区间 上有且仅有一个极值点
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A： ，
A符合题意；
对于B：由 ，
得 ，
当 时， ，
所以 在区间 上是增函数，
B不正确；
对于C： ，
设 ，
则
，
所以函数 即 是奇函数；
C符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
而 ，
（1）当 时， ，
所以 ，
即 在区间 单调递减，
又 ，
，
所以 在区间 上存在唯一零点；
（2）当 时， ，
又 ，
则 ，
则 在区间 上无零点，
综上可得： 在区间 上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 求出f（x+2π）=f（x）即可判断选项A；求出f′（x），利用导数与单调性的关系即可判断选项B；利用函数奇偶性的定义即可判断选项C；利用导数可得f（x）的单调性，从而判断极值点个数，即可判断选项D．
11．（2021·汕头模拟）函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若 有两个不相等的实根 ，则
D．若 均为正数，则
【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由 得：
令 得，
当x变化时， 变化如下表：
x
0
单调递增 极大值 单调递减
故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值， 时， 时， ，且 时 ， 时， ， ，
A．
，A不符合题意
B． ，且 在 单调递增
，故：B符合题意
C． 有两个不相等的零点
不妨设
要证： ，即要证： 在 单调递增，∴只需证： 即： 只需证： ……①
令 ，则
当 时， 在 单调递增
，即： 这与①矛盾，C不符合题意
D．设 ，且 均为正数，则
且
，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 利用导数判断出函数f（x）的单调性，利用单调性即可判断选项A，利用函数f（x）的单调性结合 即可判断选项B，利用分析法逐步分析所需要证明的不等式，发现矛盾，即可判断选项C，利用指数与对数的关系，结合对数的运算性质与函数f（x）的性质，即可判断选项D．
12．（2021高二下·苏州月考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 ，我们可以作变形： ，所以 可看作是由函数 和 复合而成的，即 为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 的说法正确的是（　　）
A．无极小值 B．有极小值
C．无极大值 D．有极大值
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据材料知： ，
所以 ，
令 得 ，当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以 有极大值且为 ，无极小值。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二下·天津期中）已知 在 时有极值0，则 的值为　 　．
【答案】11
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题知 ，
且 ，
所以 ，
得 或 ，
①当 时， ，此时，
，
所以函数 单调递增无极值，
舍去．
②当 时， ，此时 ，
是函数的极值点，符合题意，
∴ ．
【分析】首先对函数求导令，求出a的值，再由a的取值得出b的值由此得到函数的解析式，再对其求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性就求出极值点。
14．（2021高二下·天津期中）若函数 在区间 内存在极大值，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】依题意得： ，由 得x=0，x=2，
x<0或x>2时， ， 0所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数 在区间 内存在极大值，
所以 ，即 .
故答案为：
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数f(x)的极值，结合已知条件由极值的定义即可得出a的取值范围。
15．（2021高二下·天津期中）已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数 的最大值是　 　.
【答案】e+1
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，又点 在直线 上，∴ ，
∴ ， ，设 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴ 在 上单调递增， ，解得 或 ，∴m的最大值为 .
故答案为：e+1.
【分析】首先对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此求出a和b的值由此得到函数g(x)的解析式，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得到函数的最值以及关于e的不等式组，求解出m的取值范围即可从而求出最大值。
16．（2021·南充模拟）定义在 上的函数 ，如果存在函数 （ 为常数），使得 对一切实数 都成立，则称 为函数 的一个承托函数．给出如下命题：
① 函数 是函数 的一个承托函数；
② 函数 是函数 的一个承托函数；
③ 若函数 是函数 的一个承托函数，则a的取值范围是 ；
④ 值域是 的函数 不存在承托函数． 其中，所有正确命题的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：①,∵x>0时,f(x)=lnx∈( ∞,+∞)，
∴不能使得f(x) g(x)= 2对一切实数x都成立，故①错误；
②,令t(x)=f(x) g(x),则t(x)=x+sinx (x 1)=sinx+1 0恒成立,故函数g(x)=x 1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数，②正确；
③,令h(x)=ex ax,则h′(x)=ex a，
由题意，a=0时，结论成立；
a≠0时,令h′(x)=ex a=0，则x=lna，
∴函数h(x)在( ∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数，
∴x=lna时，函数取得最小值a alna；
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数，
∴a alna 0，
∴lna 1，
∴0综上，0 a e，故③正确；
④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x 1,则f(x) g(x)=1 0恒成立,故g(x)=2x 1是f(x)=2x的一个承托函数，④错误；
综上所述，所有正确命题的序号是②③．
答案：②③．
【分析】利用已知条件结合承托函数的定义，从而找出正确命题的序号。
四、解答题
17．（2021高二下·广州期中）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：由题知 ， 的定义域为 ，
∴ ．
（对函数 求导后．由于 恒大于0，故对 进行正负分类讨论，从而判断函数 的单调性）
当 时， 在 上恒成立，故 在 上是增函数：
当 时，令 得 ，
在 上有 ，在 上有 ，
∴ 在 上是减函数，在 上是增函数
（2）解：当 时， ，
即 ， （*）
令 ，
则 ．
①若 ，由（1）知，当 时， 在 上是增函数，
故有 ，
即 ，得 ，故有 ．
（由（1）可判断 ，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）
（当且仅当 ，即 ，且 时取等号）
（根据 及基本不等式可知需对 和 的大小分类讨论）
∴函数 在区间 上单调递增，
∴ ，∴（*）式成立．
②若 ，令 ，
则 ，当且仅当 时等号成立．
∴函数 在区间 上单调递增．
∵ ，
，
∴ ，使得 ，
则当 时， ，即 ．
∴函数 在区间 上单调递减，
（构造函数 ，对其求导并根据零点存在性定理判断 的单调性）
∴ ，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，先求得 ，根据a≥0与a<0进行分类讨论即可；
（2）本题主要考查导数中的不等式问题，根据化归于转化思想，将不等式问题转化为求函数的最值问题，先构造 ，利用g'(x)讨论函数g(x)的单调性与最值，其中运用了分类讨论法，利用基本不等式求最值，是较难题.
18．（2021·浙江模拟）已知 ， ，（ 为自然对数的底数， …）.
（Ⅰ）当 时，若函数 与直线 相切于点 ，求 ， 的值；
（Ⅱ）当 时，若对任意的正实数 ， 有且只有一个极值点，求负实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当 时， ， ，
由题知 且 ，所以 ，解得 ，
（Ⅱ）当 时， ，则
令 ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时 ， 在 上单调递减，
当 时 ， 在 上单调递增，所以 .
⑴当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
故 在 上有唯一解，所以 有且只有一个极值点.
⑵当 时， ，所以 有两个零点 ， ，
即方程 有两根 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以要使 只有一个变号零点只需 或 .
首先考虑：
，
令 ， ，
即 在 上单调递增，所以 ，
要使 恒成立，只需 即可，即 .
其次考虑：
，因为 在 上单调递减，
同理可得，所以要使得 恒成立不可能，即 无解.
综上可知： 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 当 时 ，求导数 ，从而由导数确定 ， 的值 ；
（Ⅱ） 求导 ，再令 ，再求导 ， 令 ， 求导得 从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数求得 负实数 的取值范围 ．
19．（2021·江苏模拟）设 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）由题意可设 ，有 ，所以 在（0，1）单减，
所以 ，即 ，
设 ， ，
，则有 ， 单调递增，得 ，所以 得证；
（2）由（1）可知 时， 成立，
则当 时，设 ，则 ， ， 单调递增，
则 ，
①若 ， ， 单调递减，则有 ，此时不符合题意；
②若 ， ， ，所以 有唯一零点，可记为 ，
则 ， ，此时 单调递减，有 ，则不符合题意；
综上可知 ，即 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 （1）设 ， ，根据函数的单调性证明结论成立；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的取值范围即可.
20．（2021·新乡模拟）已知函数
（1）若 为定义域内的单调递增函数，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
∵ 为 上的单调递增函数， ，即
又 ， ， 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，解得： ， 的取值范围为 ；
（2）解：方法一：设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
对 ， ，即对 ， …①；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即对 ， ，…②；
①②两不等式相加得： ，
， ，即 ，
又 ， ，即 .
方法二： ， 等价于 ，
设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
，即 ， ， ，即 ，
又 ， ，即 .
方法三：令 ，则 ， ，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
当 时， ， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， ，即 .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得到进而求出a的取值范围。
(2)法一：构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得到，同理构造函数得到，结合两个不等式整理即可得到即。
法二：结合题意把问题转化为 等价于 ， 令结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出最值即，结合a的取值范围即可得出答案。
法三：构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出最值进而求出即，结合a的取值范围得出即，由得到，由此得证出结论。
21．（2021·海南模拟）已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）设 ，若 有三个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，
若 在 上单调递增，则 ，即 ．
设 ，则 ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
因此 的取值范围为 ．
（2）解：题意 ，则 ．
若 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0
极小值
此时 不可能有三个零点．
若 ，令 ，得 或 ．
①若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，需 得 且 ．
②若 ，即 ，此时 ， 单调递增，不可能有三个零点．
③若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，
需 无解．
综上所述： 的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出进而得出a的取值范围。
(2)首先对函数求导，并求出x的值，由此对不同取值范围下a的情况分情况讨论，即可得出函数的极值，再分情况讨论、以及得出极值的情况由此得出a的取值范围即可。
22．（2021高二下·天津期中）已知函数 .
（1）若 ，求 的极值；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：若 ，则 ，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴当 时函数有极小值 ，无极大值；
（2）解： 的定义域是 ， ，
① 时， ，则 ， 在 递增，
② 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增；
（3）解： 定义域为 ，
有两个极值点 ，
即 ，
则 有两不等实根 ，
∴ ， ， .
且 ， .
从而 .
由不等式 恒成立，
得 恒成立.
令 ，
当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
∴ .
故实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先由a的取值求出函数的解析式，再由导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值。
(2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(3)根据题意由极值的定义结合方程根的情况，由判别式的取值范围即可求出a的取值范围，整理，结合已知得出=，构造函数h(x)并对其求导，结合导函数的性质即可的函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得到进而求出m的取值范围。
1 / 1人教版2019选修二第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试卷
一、单选题
1．（2021高二下·天津期中）设曲线f(x)＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（　　）
A．2 B．－ C． D．－1
2．（2021高二下·天津期中）已知函数 ，则 的单调减区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二下·天津期中）已知函数 的图象如下所示， 为 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021高二下·天津期中）已知 是 的极值点，则 在 上的最大值是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021·兰州模拟）已知奇函数 ，当 时， ，则 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
A．0 B．9 C．11 D．17
6．（2021·吉林模拟）函数 的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021高二下·洮南期中）设函数 在区间 上总存在零点，则 的最小值为（　　）
A．7 B．e C． D．
8．（2021·咸阳模拟）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，函数 ，若关于 的函数 恰有2个零点，则实数 的取值范围为（　　）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021·重庆模拟）函数 （k为常数）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021·济宁模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的周期为
B． 在区间 上是减函数
C． 是奇函数
D． 在区间 上有且仅有一个极值点
11．（2021·汕头模拟）函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若 有两个不相等的实根 ，则
D．若 均为正数，则
12．（2021高二下·苏州月考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 ，我们可以作变形： ，所以 可看作是由函数 和 复合而成的，即 为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 的说法正确的是（　　）
A．无极小值 B．有极小值
C．无极大值 D．有极大值
三、填空题
13．（2021高二下·天津期中）已知 在 时有极值0，则 的值为　 　．
14．（2021高二下·天津期中）若函数 在区间 内存在极大值，则a的取值范围是　 　.
15．（2021高二下·天津期中）已知 ，直线 与函数 的图象在 处相切，设 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数 的最大值是　 　.
16．（2021·南充模拟）定义在 上的函数 ，如果存在函数 （ 为常数），使得 对一切实数 都成立，则称 为函数 的一个承托函数．给出如下命题：
① 函数 是函数 的一个承托函数；
② 函数 是函数 的一个承托函数；
③ 若函数 是函数 的一个承托函数，则a的取值范围是 ；
④ 值域是 的函数 不存在承托函数． 其中，所有正确命题的序号是　 　．
四、解答题
17．（2021高二下·广州期中）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围．
18．（2021·浙江模拟）已知 ， ，（ 为自然对数的底数， …）.
（Ⅰ）当 时，若函数 与直线 相切于点 ，求 ， 的值；
（Ⅱ）当 时，若对任意的正实数 ， 有且只有一个极值点，求负实数 的取值范围.
19．（2021·江苏模拟）设 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围.
20．（2021·新乡模拟）已知函数
（1）若 为定义域内的单调递增函数，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
21．（2021·海南模拟）已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）设 ，若 有三个不同的零点，求 的取值范围．
22．（2021高二下·天津期中）已知函数 .
（1）若 ，求 的极值；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】f(x)＝ax2，则
因为在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以
所以
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出函数的导函数再把数值代入到导函数的解析式计算出直线的斜率，再由直线垂直斜率之间的关系求出a的值即可。
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，得： ，
∴ ：即 ， 单调递减；
故答案为：C.
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的斜率
【解析】【解答】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知： ，而 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意对函数求导再由导数的几何意义，结合函数的单调性即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意， 且 ，
∴ ，则 ，
∴当 时， ， 单调递减；当 或 时， ， 单调递增；
∴在 上， 单调递增； ， 单调递减；
∵ ，
∴ 在 上最大值是 .
故答案为：A.
【分析】根据题意首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的最值。
5．【答案】B
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解析：由于 时， ，
可知当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，当 时函数有最大值 ，
又由于当 时， ，
因此可以画出函数 与 的图象如图，
由图象可知，在区间 内两图象有4个交点，
根据对称性，在区间 内也有4个与它们关于点 对称的交点，
这四对点的横坐标之和为 ，再加 点横坐标，故各交点横坐标之和为9.
故答案为：B
【分析】 利用导数研究函数f（x）的单调性，画出函数f（x-1）与函数y=2sinπx（-4≤x≤6）的图象，由对称性，数形结合即可求得f（x-1）的图象与函数y=2sinπx（-4≤x≤6）的图象所有交点的横坐标之和．
6．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象与图象变化；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，所以AB错误；求导得，当0当x>e时，y'>0，所以C正确，D错误.
故答案为：C
【分析】由函数的定义域可判断AB，利用导数研究函数的单调性可判断CD.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】由题意，函数 ，
设 为函数 在 上的零点，则 ，
即 ，即点 在直线 上，
又由 表示点 到原点的距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
可得函数 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
所以 的最小值为 。
故答案为：C.
【分析】由题意，函数 ，设 为函数 在 上的零点，再结合函数零点的定义，则 ，即 ，即点 在直线 上，又由 表示点 到原点的距离的平方，再利用两点距离公式得出，令 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最大值，从而求出 的最小值。
8．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为 则 或 ，
时， ， ，
时， ， 递减； 时， ， 递增，
∴ 的极小值为 ，又因为 ，因此 无解，
此时 要有两解，则 ，
又因为 是奇函数，∴ 时， 仍然无解，
要有两解，则 ，
综上所述， 。
故答案为：C．
【分析】因为关于 的函数 恰有2个零点，结合函数零点的定义，进而得出 或 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，又因为 ，因此 无解，此时 要有两解，则 ，再利用函数为奇函数结合奇函数的定义，所以当 时， 仍然无解，方程 要有两解，则 ，进而结合并集的运算法则求出实数a的取值范围。
9．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】显然 有唯一零点 ，D不符合题意；
， ，
∴ 在 上单减， 上单增，
∴ ，且 时 ， 时 ，
故当 时， ， 单增，A可能；
当 时， 存在两个零点 ， 在 和 上单增， 上单减，B可能；
当 时， 存在唯一零点 ， 在 上单增，在 上单减，
C可能．
故答案为： ABC.
【分析】利用函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，再结合分类讨论的方法，进而利用排除法找出函数可能的图象。
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A： ，
A符合题意；
对于B：由 ，
得 ，
当 时， ，
所以 在区间 上是增函数，
B不正确；
对于C： ，
设 ，
则
，
所以函数 即 是奇函数；
C符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
而 ，
（1）当 时， ，
所以 ，
即 在区间 单调递减，
又 ，
，
所以 在区间 上存在唯一零点；
（2）当 时， ，
又 ，
则 ，
则 在区间 上无零点，
综上可得： 在区间 上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 求出f（x+2π）=f（x）即可判断选项A；求出f′（x），利用导数与单调性的关系即可判断选项B；利用函数奇偶性的定义即可判断选项C；利用导数可得f（x）的单调性，从而判断极值点个数，即可判断选项D．
11．【答案】B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由 得：
令 得，
当x变化时， 变化如下表：
x
0
单调递增 极大值 单调递减
故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值， 时， 时， ，且 时 ， 时， ， ，
A．
，A不符合题意
B． ，且 在 单调递增
，故：B符合题意
C． 有两个不相等的零点
不妨设
要证： ，即要证： 在 单调递增，∴只需证： 即： 只需证： ……①
令 ，则
当 时， 在 单调递增
，即： 这与①矛盾，C不符合题意
D．设 ，且 均为正数，则
且
，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 利用导数判断出函数f（x）的单调性，利用单调性即可判断选项A，利用函数f（x）的单调性结合 即可判断选项B，利用分析法逐步分析所需要证明的不等式，发现矛盾，即可判断选项C，利用指数与对数的关系，结合对数的运算性质与函数f（x）的性质，即可判断选项D．
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据材料知： ，
所以 ，
令 得 ，当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以 有极大值且为 ，无极小值。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】11
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题知 ，
且 ，
所以 ，
得 或 ，
①当 时， ，此时，
，
所以函数 单调递增无极值，
舍去．
②当 时， ，此时 ，
是函数的极值点，符合题意，
∴ ．
【分析】首先对函数求导令，求出a的值，再由a的取值得出b的值由此得到函数的解析式，再对其求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性就求出极值点。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】依题意得： ，由 得x=0，x=2，
x<0或x>2时， ， 0所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数 在区间 内存在极大值，
所以 ，即 .
故答案为：
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数f(x)的极值，结合已知条件由极值的定义即可得出a的取值范围。
15．【答案】e+1
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，又点 在直线 上，∴ ，
∴ ， ，设 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴ 在 上单调递增， ，解得 或 ，∴m的最大值为 .
故答案为：e+1.
【分析】首先对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此求出a和b的值由此得到函数g(x)的解析式，并对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可得到函数的最值以及关于e的不等式组，求解出m的取值范围即可从而求出最大值。
16．【答案】②③
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：①,∵x>0时,f(x)=lnx∈( ∞,+∞)，
∴不能使得f(x) g(x)= 2对一切实数x都成立，故①错误；
②,令t(x)=f(x) g(x),则t(x)=x+sinx (x 1)=sinx+1 0恒成立,故函数g(x)=x 1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数，②正确；
③,令h(x)=ex ax,则h′(x)=ex a，
由题意，a=0时，结论成立；
a≠0时,令h′(x)=ex a=0，则x=lna，
∴函数h(x)在( ∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数，
∴x=lna时，函数取得最小值a alna；
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数，
∴a alna 0，
∴lna 1，
∴0综上，0 a e，故③正确；
④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x 1,则f(x) g(x)=1 0恒成立,故g(x)=2x 1是f(x)=2x的一个承托函数，④错误；
综上所述，所有正确命题的序号是②③．
答案：②③．
【分析】利用已知条件结合承托函数的定义，从而找出正确命题的序号。
17．【答案】（1）解：由题知 ， 的定义域为 ，
∴ ．
（对函数 求导后．由于 恒大于0，故对 进行正负分类讨论，从而判断函数 的单调性）
当 时， 在 上恒成立，故 在 上是增函数：
当 时，令 得 ，
在 上有 ，在 上有 ，
∴ 在 上是减函数，在 上是增函数
（2）解：当 时， ，
即 ， （*）
令 ，
则 ．
①若 ，由（1）知，当 时， 在 上是增函数，
故有 ，
即 ，得 ，故有 ．
（由（1）可判断 ，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）
（当且仅当 ，即 ，且 时取等号）
（根据 及基本不等式可知需对 和 的大小分类讨论）
∴函数 在区间 上单调递增，
∴ ，∴（*）式成立．
②若 ，令 ，
则 ，当且仅当 时等号成立．
∴函数 在区间 上单调递增．
∵ ，
，
∴ ，使得 ，
则当 时， ，即 ．
∴函数 在区间 上单调递减，
（构造函数 ，对其求导并根据零点存在性定理判断 的单调性）
∴ ，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，先求得 ，根据a≥0与a<0进行分类讨论即可；
（2）本题主要考查导数中的不等式问题，根据化归于转化思想，将不等式问题转化为求函数的最值问题，先构造 ，利用g'(x)讨论函数g(x)的单调性与最值，其中运用了分类讨论法，利用基本不等式求最值，是较难题.
18．【答案】（Ⅰ）当 时， ， ，
由题知 且 ，所以 ，解得 ，
（Ⅱ）当 时， ，则
令 ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时 ， 在 上单调递减，
当 时 ， 在 上单调递增，所以 .
⑴当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
故 在 上有唯一解，所以 有且只有一个极值点.
⑵当 时， ，所以 有两个零点 ， ，
即方程 有两根 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以要使 只有一个变号零点只需 或 .
首先考虑：
，
令 ， ，
即 在 上单调递增，所以 ，
要使 恒成立，只需 即可，即 .
其次考虑：
，因为 在 上单调递减，
同理可得，所以要使得 恒成立不可能，即 无解.
综上可知： 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 当 时 ，求导数 ，从而由导数确定 ， 的值 ；
（Ⅱ） 求导 ，再令 ，再求导 ， 令 ， 求导得 从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数求得 负实数 的取值范围 ．
19．【答案】（1）由题意可设 ，有 ，所以 在（0，1）单减，
所以 ，即 ，
设 ， ，
，则有 ， 单调递增，得 ，所以 得证；
（2）由（1）可知 时， 成立，
则当 时，设 ，则 ， ， 单调递增，
则 ，
①若 ， ， 单调递减，则有 ，此时不符合题意；
②若 ， ， ，所以 有唯一零点，可记为 ，
则 ， ，此时 单调递减，有 ，则不符合题意；
综上可知 ，即 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】 （1）设 ， ，根据函数的单调性证明结论成立；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的取值范围即可.
20．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
∵ 为 上的单调递增函数， ，即
又 ， ， 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，解得： ， 的取值范围为 ；
（2）解：方法一：设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
对 ， ，即对 ， …①；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即对 ， ，…②；
①②两不等式相加得： ，
， ，即 ，
又 ， ，即 .
方法二： ， 等价于 ，
设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
设 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
，即 ， ， ，即 ，
又 ， ，即 .
方法三：令 ，则 ， ，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
当 时， ， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， ，即 .
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得到进而求出a的取值范围。
(2)法一：构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得到，同理构造函数得到，结合两个不等式整理即可得到即。
法二：结合题意把问题转化为 等价于 ， 令结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出最值即，结合a的取值范围即可得出答案。
法三：构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出最值进而求出即，结合a的取值范围得出即，由得到，由此得证出结论。
21．【答案】（1）解： ，
若 在 上单调递增，则 ，即 ．
设 ，则 ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
因此 的取值范围为 ．
（2）解：题意 ，则 ．
若 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0
极小值
此时 不可能有三个零点．
若 ，令 ，得 或 ．
①若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，需 得 且 ．
②若 ，即 ，此时 ， 单调递增，不可能有三个零点．
③若 ，即 ， ， 随 变化的情况如下表：
-1
0 0
极大值 极小值
要使 有三个不同的零点，
需 无解．
综上所述： 的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出进而得出a的取值范围。
(2)首先对函数求导，并求出x的值，由此对不同取值范围下a的情况分情况讨论，即可得出函数的极值，再分情况讨论、以及得出极值的情况由此得出a的取值范围即可。
22．【答案】（1）解：若 ，则 ，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴当 时函数有极小值 ，无极大值；
（2）解： 的定义域是 ， ，
① 时， ，则 ， 在 递增，
② 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增；
（3）解： 定义域为 ，
有两个极值点 ，
即 ，
则 有两不等实根 ，
∴ ， ， .
且 ， .
从而 .
由不等式 恒成立，
得 恒成立.
令 ，
当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
∴ .
故实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)首先由a的取值求出函数的解析式，再由导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值。
(2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(3)根据题意由极值的定义结合方程根的情况，由判别式的取值范围即可求出a的取值范围，整理，结合已知得出=，构造函数h(x)并对其求导，结合导函数的性质即可的函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得到进而求出m的取值范围。
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