高中数学人教版2019 选修一 3.3 圆锥曲线的方程之抛物线

高中数学人教版2019 选修一 3.3 圆锥曲线的方程之抛物线
一、单选题
1．（2021·枣庄模拟）已知点 在抛物线 ： 上，则 的焦点到其准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由点 在抛物线上，易知 ， ，故焦点到其准线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】 利用点在抛物线上，求解p，即可得到结果.
2．（2021·永州模拟）已知F是抛物线 的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且 ，则线段AB的中点到直线 的距离为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 是抛物线 的焦点， ，准线方程 ，
设 ， ， ，
，即 ，
线段 的中点横坐标为 ，
线段 的中点到直线 的距离为 ．
故答案为：B．
【分析】 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，再求出线段 的中点到直线 的距离.
3．（2021·湛江模拟）已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ，解得
故答案为：A
【分析】 由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得p的值．
4．（2021·邯郸模拟）已知抛物线 的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若 的中点到y轴的距离为3，则直线 的斜率为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】直线的斜率；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】 的中点到y轴的距离为3，
，即 ，解得 ，
代入抛物线方程可得 ，
因为F点的坐标为 ，所以直线 的斜率为 ．
故答案为：B.
【分析】 由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设P的坐标，由题意可得中点的横坐标，由题意求出P的横坐标，代入抛物线的方程可得P的纵坐标，即可求出直线PF的斜率．
5．（2021·遂宁模拟）若过抛物线 ： 的焦点且斜率为2的直线与 交于 ， 两点，则线段 的长为（　　）
A．3. B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： 的焦点
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，消去 并整理得 ，
所以 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标再由点斜式求出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理以及弦长公式计算出答案即可。
6．（2021·贵州模拟）双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， 的一条渐近线与抛物线 ： 的一个交点为 (异于原点).点 在以线段 为直径的圆上，则 的值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
由点 在以线段 为直径的圆上，可得 ，
又由 ，可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】首先 联立渐近线方程与抛物线的方程，求得A的坐标，再由题意可得AF1⊥AF2，运用两直线垂直的条件可得p的方程，解方程可得所求值．
7．（2020高三上·正定月考）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线 上，过线段 的中点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用
【解析】【解答】设 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的准线的垂线，垂足分别为 ， ，由抛物线的定义可得 ， ，因为 为线段 的中点，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，所以 的最小值为 ，故答案为：B．
【分析】设 ， ，由抛物线的定义可得 再根据勾股定理及不等式求出 数值，代入 化简即得答案．
8．（2021·西城模拟）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线 的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 ，则两条反射光线 和 之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由 得 ， ，所以 ，即 ； 消去 得 ，所以 ，或 （舍去），即 ；
同理 即 ； 消去 得 ，所以 ，或 （舍去），即 ；
所以 ，即两条反射光线 和 之间的距离为
故答案为：C
【分析】 由抛物线的方程得F（1，0），又∠OFA=60°，写出直线AF的方程，并联立抛物线的方程，解得yA，同理解得yB，再计算|yA-yB|即可得出答案．
二、多选题
9．设抛物线 的焦点为 .点 在 轴上，若线段 的中点 在抛物线上，且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，易知 ，则 ，如图所示.
则 ，解得 .
∴抛物线方程为 ，且 ，
又 在抛物线上， ，因此 ，解得 .
所以点 的坐标为 或 .
故答案为：BC.
【分析】 根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点以及准线方程，设B的坐标为（m，n），由中点坐标公式可得m的值，进而可得求解出p的值由此得出抛物线的方程，再由点在抛物线上代入计算出点的坐标即可。
10．（2020高二上·沧县月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， 的外角平分线交x轴于点Q，过Q作 交 的延长线于 ，作 交线段 于点 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线的定义， ，A符合题意；
∵ ， 是 的平分线，∴ ，∴ ，B符合题意；
若 ，由 是外角平分线， ， 得 ，从而有 ，于是有 ，这样就有 ， 为等边三角形， ，也即有 ，这只是在特殊位置才有可能，因此C不符合题意；
连接 ，由A、B知 ，又 ， 是平行四边形，∴ ，显然 ，∴ ，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】利用抛物线的性质：点的焦点到的距离等于焦点到准线的距离由此判断出最值A周期；由角平分线的性质以及平行线的性质即可判断出选项B正确；由平行四边形的性质以及直角三角形中边长的关系即可判断出选项D正确；假设C正确即可得到为等边三角形，于是得出角的大小但是这是一种特殊位置，不适用于任意点故选项C错误。
11．（2020高二上·重庆期中）设 是抛物线 上两点， 是坐标原点，若 ，下列结论正确的为（　　）
A． 为定值
B．直线 过抛物线 的焦点
C． 最小值为16
D． 到直线 的距离最大值为4
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，A符合题意；
对于B，设直线 ，代入 可得 ，
所以 ，即 ，所以直线 过点 ，
而抛物线 的焦点为 ，B不符合题意；
对于C，因为 ，
当 时，等号成立，
又直线 过点 ，所以 ，C符合题意；
对于D，因为直线 过点 ，所以 到直线 的距离最大值为4，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】结合题意由抛物线方程以及直线的斜率公式即可判断出选项A；在由直线与圆锥曲线的位置关系结合韦达定理即可判断出B；利用韦达定理即可得出有最小值进而判断出C；由直线过定点即可判断出D。从而得到答案。
12．（2020高二上·邯郸期中）已知抛物线 的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点 ，当 取得最小值时，则（　　）
A． 的斜率为
B．
C． 内切圆的面积为
D． 内切圆的面积为
【答案】B,D
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点A作准线的垂线，垂足为C，由题意，点B为抛物线的准线与轴的交点，
由抛物线的定义可得, ,则 ，
当 取得最小值时，即 取得最小值，也即 取得最小值，
也即是 最大，此时AB与抛物线相切，
设AB的方程为 ，则 消去y可得 ，则 ，解得 ，所以A不正确.
将 代入 中解得点A的坐标 ，可得 为等腰直角三角形， ，所以B符合题意.
设 内切圆的半径为 ，则
解得 ，
当 ，结果仍有
的内切圆的面积为 ,所以C不正确，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】过点A作准线的垂线，垂足为C，则则 ，当 取得最小值时，即 取得最小值，也即 取得最小值，也即是 最大，此时AB与抛物线相切，然后由直线与抛物线相切，求出直线 的斜率，再对各个选项进行逐一分析计算得出答案.
三、填空题
13．（2021·丰台模拟）已知点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则 　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设抛物线 的焦点为 ，则 ，
根据抛物线的焦半径公式可知： ，
所以 ，代入抛物线方程得到： ，
故 .
故答案为： .
【分析】首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义代入数值计算出答案即可。
14．（2021·昆明模拟）设抛物线C∶ ( )的焦点为 ，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若 ， ，则点A的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义；余弦定理
【解析】【解答】如图，过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
设 ，由 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理 ，故在 中，
，
解得 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为： 。
【分析】过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，设 ，由 且 ，所以 ，再利用椭圆的定义结合已知条件求出，再利用椭圆的定义求出AF的长，同理 ，在 中，利用余弦定理结合已知条件，进而求出p的值，从而求出点A的坐标。
15．（2021·海南模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在 上，满足 ，且 ，点 是抛物线的准线上任意一点，则 的面积为　 　.
【答案】16
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】不妨设抛物线 （ ），
因为 ，所以 ，所以 是线段 的中点，则 与 轴垂直，
所以 ，
所以 ， ，
点 到 的距离为 ，所以 。
故答案为：16。
【分析】不妨设抛物线 （ ），因为 ，再利用相反向量的定义，所以 ，所以 是线段 的中点，则 与 轴垂直，再利用已知条件 结合数量积的坐标表示，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再利用点 ， 在 上，结合弦长公式，进而求出线段AB的长，再利用点到直线的距离公式，进而求出点 到 的距离，再结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
16．（2021·绵阳模拟）已知双曲线 与抛物线 有共同的一焦点，过 的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线与双曲线共焦点，所以 ， ，抛物线方程为 ，
双曲线的左焦点为 ，过 与一条渐近线 平行的直线方程为 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
从而 ，离心率为 ．
故答案为： ．
【分析】 由抛物线与双曲线的焦点相同可得p与c的关系，设过左焦点的直线方程为与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于零以及直线平行可得进一步求得a=b，再由双曲线的离心率.的公式结合整体思想求出答案即可。
四、解答题
17．已知抛物线C： 的焦点为F，直线l：y= 与抛物线C交于A，B两点.
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积.
【答案】（1）解：由 消去 整理得 ，
其中 ，
设A（ ， ），B（ ， ）.
则 ， .
所以 ，
所以 =
（2）解：由题意得点F（1，0），
故点F到直线AB的距离 ，
所以 .
即△FAB的面积为
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，由此计算出再结合弦长公式计算出结果即可。
(2)根据题意求出抛物线的焦点坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式计算出结果即可。
18．（2021·海南模拟）已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为圆 ： 的圆心， 轴负半轴上有一点 ，直线 被 截得的弦长为5．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作不过原点的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， ， 为切点，求直线 的方程．
【答案】（1）解：圆 的方程可化成 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
设 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
设直线 与 的交点横坐标分别为 和 ，由题意知 ，
即 ，解得 ，故 ．
（2）解：由条件可设直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
因为 与抛物线 相切，所以 ，解得 ．
代入原方程组解得 ．
设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 ： 对称，
所以 解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先把圆的方程化为标准方程，由此求出圆心坐标进而得出抛物线的方程，再由斜截式设出直线的方程联立抛物线消去y得到关于x的方程，由韦达定理求出弦长由此求出m的值和点P的坐标。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程解已知条件 与抛物线 相切，利用二次函数的性质即可求出k的值进而得出点A的坐标，再设出点B的坐标，利用点关于直线对称的性质求出点B的坐标，利用点斜式求出直线的方程即可。
19．（2021·桂林模拟）已知抛物线 的焦点为F，准线为 为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于 两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线 交于点M．
（1）若直线m的斜率为 ，求 的值；
（2）设 的中点为N，若 四点共圆，求直线m的方程．
【答案】（1）解：设 ，当 时，设 ，则 ，
直线m的斜率为 直线m的倾斜角为 ，
由抛物线的定义，有 ，
，解得： ，
若 时，同理可得： ，
或
（2）解：设直线m的方程为 ，代入 ，得 ．
设 ，则 ．
由 ，
得 ，
所以 ．
因为直线m的斜率为 ，所以直线n的斜率为 ，
则直线n的方程为 ．
由 解得 ．
若 四点共圆，再结合 ，得 ，
则 ，解得 ，
所以直线m的方程为
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）首先由抛物线方程求得焦点坐标，得到直线m的方程，与抛物线方程联立，求得A，B的横坐标，再由焦半径公式求得|AF|，|BF|，则答案可求；
（2）设直线m的方程为x=ty+1，由题意可得t≠0，代入y2=4x，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得N的坐标，求出直线n的方程从而求得M的坐标，再由线段垂直结合向量数量积为0求解t，则直线m的方程可求．
20．（2021高二下·温州期中）已知抛物线 （ ）的焦点为F，且F为圆 的圆心。过F点的直线l交抛物线与圆分别为 ， ， ， （从上到下）.
（1）求抛物线方程并证明 是定值；
（2）若 ， 的面积比是4，求直线l的方程.
【答案】（1）由题知， 故
抛物线方程为 .
设直线 的方程为 ， ，
∴ ，
∴
（2） （ ）
由（1）知 ，可求得 ，
故
的方程为 即
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）考查圆锥曲线中的定值问题，利用直线与抛物线的关系，同时结合抛物线的定义求解即可；
（2）由面积比为4，结合（1）求得|AB|=5，从而求得参数m，易得直线l的方程.
21．（2020高二上·丽水期末）已知抛物线 的焦点为 ，且点 是抛物线 上的动点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于 ， 两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当直线 垂直于直线 时，求实数 的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，则 ，
所以抛物线方程为： ；
（Ⅱ）设 ，
由题意可知， 不与 轴垂直，
设 ， ，
由 ，得 ，
则 ，得 ，同理可得 ，
所以 ，
若过M的直线与圆相切，可得 ，
化简得 ，
则 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
将 代入，化简得 ，
即 ，因为 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以实数 的取值范围是
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意求出焦点的坐标由此即可求出P的值从而得到抛物线的方程即可。
（Ⅱ） 根据题意可得两条直线的斜率存在，由点斜式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程消去x的关于y的方程，结合韦达定理求出两根之和关于m的代数式即同理结合直线的斜率公式整理得到直线AB的斜率的代数式，再由直线与圆相切的性质d=r整理化简得到从而得到整理结合已知条件代入得到由此进而求出a的取值范围即可。
22．（2021·漳州模拟）已知直线 ： 与 轴交于点 ，且 ，其中 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点.
（1）求拋物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 相交于 ， 两点( 在第一象限)，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点（ 在 的两侧），与 轴交于 ， 两点，且 为 中点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（3）在（2）的条件下，求 的面积的取值范围.
【答案】（1）解：由已知得 ，且 为 的中点，所以 .
所以 ，解得 ，
故抛物线 的方程为
（2）证明：联立 ，解得 ， ，
由 为 的中点得 .
不妨设 ， ，其中 .
则 ， .
所以 ，
即 为定值.
（3）解：由（2）可知直线 的方程为 ，即 ，
与抛物线联立 ，消x可得 ，
解得 或 （舍），
所以 ，即 ，
故点 到直线 的距离 .
设过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立 得 ，
由 ，得 ，
所以切线方程为 ，令 ，得 ，
所以要使过 点的直线与抛物线有两个交点， ，
则有 ，
又 ，
所以 ，
即 ，故 的面积的取值范围为
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意首先求出点E的坐标，进而求出点F的坐标，从而即可求出抛物线方程；
(2)与已知条件把直线和抛物线方程联立，解得P，B的坐标，再通过设点D，G的坐标，表示出k1，k2，再代入求出定值即可；
(3)首先表示出直线PC的方程，得到点C的坐标以及点C到直线PB的距离，从而表示出△PBC的面积，再根据定点的切线方程求参数的取值范围，进而确定面积的取值范围．
1 / 1高中数学人教版2019 选修一 3.3 圆锥曲线的方程之抛物线
一、单选题
1．（2021·枣庄模拟）已知点 在抛物线 ： 上，则 的焦点到其准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（2021·永州模拟）已知F是抛物线 的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且 ，则线段AB的中点到直线 的距离为（　　）
A．2 B． C．3 D．
3．（2021·湛江模拟）已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2021·邯郸模拟）已知抛物线 的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若 的中点到y轴的距离为3，则直线 的斜率为（　　）
A． B． C．2 D．4
5．（2021·遂宁模拟）若过抛物线 ： 的焦点且斜率为2的直线与 交于 ， 两点，则线段 的长为（　　）
A．3. B．4 C．5 D．6
6．（2021·贵州模拟）双曲线 ： 的左 右焦点分别为 ， 的一条渐近线与抛物线 ： 的一个交点为 (异于原点).点 在以线段 为直径的圆上，则 的值为（　　）
A． B．3 C． D．
7．（2020高三上·正定月考）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线 上，过线段 的中点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
8．（2021·西城模拟）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线 的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为 ，则两条反射光线 和 之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设抛物线 的焦点为 .点 在 轴上，若线段 的中点 在抛物线上，且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高二上·沧县月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， 的外角平分线交x轴于点Q，过Q作 交 的延长线于 ，作 交线段 于点 ，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高二上·重庆期中）设 是抛物线 上两点， 是坐标原点，若 ，下列结论正确的为（　　）
A． 为定值
B．直线 过抛物线 的焦点
C． 最小值为16
D． 到直线 的距离最大值为4
12．（2020高二上·邯郸期中）已知抛物线 的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点 ，当 取得最小值时，则（　　）
A． 的斜率为
B．
C． 内切圆的面积为
D． 内切圆的面积为
三、填空题
13．（2021·丰台模拟）已知点 为抛物线 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则 　 　.
14．（2021·昆明模拟）设抛物线C∶ ( )的焦点为 ，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若 ， ，则点A的坐标为　 　.
15．（2021·海南模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在 上，满足 ，且 ，点 是抛物线的准线上任意一点，则 的面积为　 　.
16．（2021·绵阳模拟）已知双曲线 与抛物线 有共同的一焦点，过 的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，则 的离心率为　 　.
四、解答题
17．已知抛物线C： 的焦点为F，直线l：y= 与抛物线C交于A，B两点.
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积.
18．（2021·海南模拟）已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为圆 ： 的圆心， 轴负半轴上有一点 ，直线 被 截得的弦长为5．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作不过原点的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， ， 为切点，求直线 的方程．
19．（2021·桂林模拟）已知抛物线 的焦点为F，准线为 为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于 两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线 交于点M．
（1）若直线m的斜率为 ，求 的值；
（2）设 的中点为N，若 四点共圆，求直线m的方程．
20．（2021高二下·温州期中）已知抛物线 （ ）的焦点为F，且F为圆 的圆心。过F点的直线l交抛物线与圆分别为 ， ， ， （从上到下）.
（1）求抛物线方程并证明 是定值；
（2）若 ， 的面积比是4，求直线l的方程.
21．（2020高二上·丽水期末）已知抛物线 的焦点为 ，且点 是抛物线 上的动点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于 ， 两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当直线 垂直于直线 时，求实数 的取值范围．
22．（2021·漳州模拟）已知直线 ： 与 轴交于点 ，且 ，其中 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点.
（1）求拋物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 相交于 ， 两点( 在第一象限)，直线 ， 分别与抛物线相交于 ， 两点（ 在 的两侧），与 轴交于 ， 两点，且 为 中点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（3）在（2）的条件下，求 的面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由点 在抛物线上，易知 ， ，故焦点到其准线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】 利用点在抛物线上，求解p，即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 是抛物线 的焦点， ，准线方程 ，
设 ， ， ，
，即 ，
线段 的中点横坐标为 ，
线段 的中点到直线 的距离为 ．
故答案为：B．
【分析】 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，再求出线段 的中点到直线 的距离.
3．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，则 ，解得
故答案为：A
【分析】 由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得p的值．
4．【答案】B
【知识点】直线的斜率；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】 的中点到y轴的距离为3，
，即 ，解得 ，
代入抛物线方程可得 ，
因为F点的坐标为 ，所以直线 的斜率为 ．
故答案为：B.
【分析】 由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设P的坐标，由题意可得中点的横坐标，由题意求出P的横坐标，代入抛物线的方程可得P的纵坐标，即可求出直线PF的斜率．
5．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： 的焦点
所以直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，消去 并整理得 ，
所以 ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标再由点斜式求出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理以及弦长公式计算出答案即可。
6．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，
联立方程组 ，可得 ，
由点 在以线段 为直径的圆上，可得 ，
又由 ，可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】首先 联立渐近线方程与抛物线的方程，求得A的坐标，再由题意可得AF1⊥AF2，运用两直线垂直的条件可得p的方程，解方程可得所求值．
7．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用
【解析】【解答】设 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的准线的垂线，垂足分别为 ， ，由抛物线的定义可得 ， ，因为 为线段 的中点，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，所以 的最小值为 ，故答案为：B．
【分析】设 ， ，由抛物线的定义可得 再根据勾股定理及不等式求出 数值，代入 化简即得答案．
8．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由 得 ， ，所以 ，即 ； 消去 得 ，所以 ，或 （舍去），即 ；
同理 即 ； 消去 得 ，所以 ，或 （舍去），即 ；
所以 ，即两条反射光线 和 之间的距离为
故答案为：C
【分析】 由抛物线的方程得F（1，0），又∠OFA=60°，写出直线AF的方程，并联立抛物线的方程，解得yA，同理解得yB，再计算|yA-yB|即可得出答案．
9．【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，易知 ，则 ，如图所示.
则 ，解得 .
∴抛物线方程为 ，且 ，
又 在抛物线上， ，因此 ，解得 .
所以点 的坐标为 或 .
故答案为：BC.
【分析】 根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点以及准线方程，设B的坐标为（m，n），由中点坐标公式可得m的值，进而可得求解出p的值由此得出抛物线的方程，再由点在抛物线上代入计算出点的坐标即可。
10．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线的定义， ，A符合题意；
∵ ， 是 的平分线，∴ ，∴ ，B符合题意；
若 ，由 是外角平分线， ， 得 ，从而有 ，于是有 ，这样就有 ， 为等边三角形， ，也即有 ，这只是在特殊位置才有可能，因此C不符合题意；
连接 ，由A、B知 ，又 ， 是平行四边形，∴ ，显然 ，∴ ，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】利用抛物线的性质：点的焦点到的距离等于焦点到准线的距离由此判断出最值A周期；由角平分线的性质以及平行线的性质即可判断出选项B正确；由平行四边形的性质以及直角三角形中边长的关系即可判断出选项D正确；假设C正确即可得到为等边三角形，于是得出角的大小但是这是一种特殊位置，不适用于任意点故选项C错误。
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，A符合题意；
对于B，设直线 ，代入 可得 ，
所以 ，即 ，所以直线 过点 ，
而抛物线 的焦点为 ，B不符合题意；
对于C，因为 ，
当 时，等号成立，
又直线 过点 ，所以 ，C符合题意；
对于D，因为直线 过点 ，所以 到直线 的距离最大值为4，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】结合题意由抛物线方程以及直线的斜率公式即可判断出选项A；在由直线与圆锥曲线的位置关系结合韦达定理即可判断出B；利用韦达定理即可得出有最小值进而判断出C；由直线过定点即可判断出D。从而得到答案。
12．【答案】B,D
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点A作准线的垂线，垂足为C，由题意，点B为抛物线的准线与轴的交点，
由抛物线的定义可得, ,则 ，
当 取得最小值时，即 取得最小值，也即 取得最小值，
也即是 最大，此时AB与抛物线相切，
设AB的方程为 ，则 消去y可得 ，则 ，解得 ，所以A不正确.
将 代入 中解得点A的坐标 ，可得 为等腰直角三角形， ，所以B符合题意.
设 内切圆的半径为 ，则
解得 ，
当 ，结果仍有
的内切圆的面积为 ,所以C不正确，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】过点A作准线的垂线，垂足为C，则则 ，当 取得最小值时，即 取得最小值，也即 取得最小值，也即是 最大，此时AB与抛物线相切，然后由直线与抛物线相切，求出直线 的斜率，再对各个选项进行逐一分析计算得出答案.
13．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设抛物线 的焦点为 ，则 ，
根据抛物线的焦半径公式可知： ，
所以 ，代入抛物线方程得到： ，
故 .
故答案为： .
【分析】首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义代入数值计算出答案即可。
14．【答案】
【知识点】抛物线的定义；余弦定理
【解析】【解答】如图，过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
设 ，由 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
同理 ，故在 中，
，
解得 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为： 。
【分析】过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，设 ，由 且 ，所以 ，再利用椭圆的定义结合已知条件求出，再利用椭圆的定义求出AF的长，同理 ，在 中，利用余弦定理结合已知条件，进而求出p的值，从而求出点A的坐标。
15．【答案】16
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】不妨设抛物线 （ ），
因为 ，所以 ，所以 是线段 的中点，则 与 轴垂直，
所以 ，
所以 ， ，
点 到 的距离为 ，所以 。
故答案为：16。
【分析】不妨设抛物线 （ ），因为 ，再利用相反向量的定义，所以 ，所以 是线段 的中点，则 与 轴垂直，再利用已知条件 结合数量积的坐标表示，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程，再利用点 ， 在 上，结合弦长公式，进而求出线段AB的长，再利用点到直线的距离公式，进而求出点 到 的距离，再结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
16．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线与双曲线共焦点，所以 ， ，抛物线方程为 ，
双曲线的左焦点为 ，过 与一条渐近线 平行的直线方程为 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
从而 ，离心率为 ．
故答案为： ．
【分析】 由抛物线与双曲线的焦点相同可得p与c的关系，设过左焦点的直线方程为与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于零以及直线平行可得进一步求得a=b，再由双曲线的离心率.的公式结合整体思想求出答案即可。
17．【答案】（1）解：由 消去 整理得 ，
其中 ，
设A（ ， ），B（ ， ）.
则 ， .
所以 ，
所以 =
（2）解：由题意得点F（1，0），
故点F到直线AB的距离 ，
所以 .
即△FAB的面积为
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，由此计算出再结合弦长公式计算出结果即可。
(2)根据题意求出抛物线的焦点坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：圆 的方程可化成 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
设 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
设直线 与 的交点横坐标分别为 和 ，由题意知 ，
即 ，解得 ，故 ．
（2）解：由条件可设直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
因为 与抛物线 相切，所以 ，解得 ．
代入原方程组解得 ．
设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 ： 对称，
所以 解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)首先把圆的方程化为标准方程，由此求出圆心坐标进而得出抛物线的方程，再由斜截式设出直线的方程联立抛物线消去y得到关于x的方程，由韦达定理求出弦长由此求出m的值和点P的坐标。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程解已知条件 与抛物线 相切，利用二次函数的性质即可求出k的值进而得出点A的坐标，再设出点B的坐标，利用点关于直线对称的性质求出点B的坐标，利用点斜式求出直线的方程即可。
19．【答案】（1）解：设 ，当 时，设 ，则 ，
直线m的斜率为 直线m的倾斜角为 ，
由抛物线的定义，有 ，
，解得： ，
若 时，同理可得： ，
或
（2）解：设直线m的方程为 ，代入 ，得 ．
设 ，则 ．
由 ，
得 ，
所以 ．
因为直线m的斜率为 ，所以直线n的斜率为 ，
则直线n的方程为 ．
由 解得 ．
若 四点共圆，再结合 ，得 ，
则 ，解得 ，
所以直线m的方程为
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）首先由抛物线方程求得焦点坐标，得到直线m的方程，与抛物线方程联立，求得A，B的横坐标，再由焦半径公式求得|AF|，|BF|，则答案可求；
（2）设直线m的方程为x=ty+1，由题意可得t≠0，代入y2=4x，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得N的坐标，求出直线n的方程从而求得M的坐标，再由线段垂直结合向量数量积为0求解t，则直线m的方程可求．
20．【答案】（1）由题知， 故
抛物线方程为 .
设直线 的方程为 ， ，
∴ ，
∴
（2） （ ）
由（1）知 ，可求得 ，
故
的方程为 即
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）考查圆锥曲线中的定值问题，利用直线与抛物线的关系，同时结合抛物线的定义求解即可；
（2）由面积比为4，结合（1）求得|AB|=5，从而求得参数m，易得直线l的方程.
21．【答案】解：（Ⅰ）因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，则 ，
所以抛物线方程为： ；
（Ⅱ）设 ，
由题意可知， 不与 轴垂直，
设 ， ，
由 ，得 ，
则 ，得 ，同理可得 ，
所以 ，
若过M的直线与圆相切，可得 ，
化简得 ，
则 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
将 代入，化简得 ，
即 ，因为 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以实数 的取值范围是
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意求出焦点的坐标由此即可求出P的值从而得到抛物线的方程即可。
（Ⅱ） 根据题意可得两条直线的斜率存在，由点斜式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程消去x的关于y的方程，结合韦达定理求出两根之和关于m的代数式即同理结合直线的斜率公式整理得到直线AB的斜率的代数式，再由直线与圆相切的性质d=r整理化简得到从而得到整理结合已知条件代入得到由此进而求出a的取值范围即可。
22．【答案】（1）解：由已知得 ，且 为 的中点，所以 .
所以 ，解得 ，
故抛物线 的方程为
（2）证明：联立 ，解得 ， ，
由 为 的中点得 .
不妨设 ， ，其中 .
则 ， .
所以 ，
即 为定值.
（3）解：由（2）可知直线 的方程为 ，即 ，
与抛物线联立 ，消x可得 ，
解得 或 （舍），
所以 ，即 ，
故点 到直线 的距离 .
设过点 的抛物线的切线方程为 ，
联立 得 ，
由 ，得 ，
所以切线方程为 ，令 ，得 ，
所以要使过 点的直线与抛物线有两个交点， ，
则有 ，
又 ，
所以 ，
即 ，故 的面积的取值范围为
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意首先求出点E的坐标，进而求出点F的坐标，从而即可求出抛物线方程；
(2)与已知条件把直线和抛物线方程联立，解得P，B的坐标，再通过设点D，G的坐标，表示出k1，k2，再代入求出定值即可；
(3)首先表示出直线PC的方程，得到点C的坐标以及点C到直线PB的距离，从而表示出△PBC的面积，再根据定点的切线方程求参数的取值范围，进而确定面积的取值范围．
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