高中数学人教版2019选修一3.2 圆锥曲线的方程之双曲线
一、单选题
1．（2021·宝鸡模拟）已知双曲线 的一条渐近线被圆 截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 =1 的渐近线方程为 ，即 ,
圆 ,即为 ，
圆心为（0，5），半径为5，
圆心到渐近线的距离为 ，
由弦长公式可得8=2 ，
化简可得 ，
，
则 。
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而设出渐近线方程，再转化为直线的一般式方程，再将圆的一般方程转化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，再结合弦长公式得出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
2．（2021·甘肃模拟）双曲线 的渐近线方程为 ，实轴长为2，则 为（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，
又双曲线的实轴长为2，所以 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】 利用双曲线的渐近线方程以及实轴长得到 即可推出结果.
3．（2021·昆明模拟）双曲线 的顶点到渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，
由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，
∴ ，即顶点到渐近线的距离为 。
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，再利用点到直线的距离公式，进而求出顶点到渐近线的距离。
4．（2021·兰州模拟）点 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则双曲线的一条渐进方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，点 为双曲线右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，
因为 ，由双曲线的定义，可得 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐进方程是 ，即 .
所以双曲线的一条渐进方程是 .
故答案为：C.
【分析】 由已知利用双曲线定义求得a，即可求得双曲线的渐近线方程．
5．（2021·淄博模拟）实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 是黄金双曲线，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：A
【分析】利用实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，进而结合双曲线中实轴和焦距的定义，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的关系式，从而求出 的值。
6．（2021·枣庄模拟）已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆和双曲线的性质进行运算即可求出。
7．（2021·包头模拟）已知 、 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 是 左支上的动点， ，当点 在线段 上时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ， ，即直线 ，
联立方程 ，解得： 或
， ，
,
点 到直线 的距离 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 根据题意由已知条件求得双曲线的焦点坐标，以及直线AF1的方程，与双曲线的方程联立，求得P的坐标，可得|AP|，由点到直线的距离公式可得F2到直线AP的距离，再由三角形的面积公式，可得所求值．
8．（2021·沈阳模拟）已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，故 为直角三角形，且 ，∴ .
由双曲线定义可得 .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ .
又 ，整理得 .
所以 .所以 ，
又 ，所以 ，所以双曲线 的离心率的取值范围为 .
故答案为：B
【分析】首先由题意结合勾股定理结合双曲线的定义整理即可得到，即得到，结合离心率公式由整体思想即可得出e的取值范围。
二、多选题
9．（2021·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（ ）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
【答案】A,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．
10．（2021·德州模拟）已知双曲线 ， 、 分别为双曲线的左、右顶点， 、 为左、右焦点， ，且 ， ， 成等比数列，点 是双曲线 的右支上异于点 的任意一点，记 ， 的斜率分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）．
A．当 轴时，
B．双曲线的离心率
C． 为定值
D．若 为 的内心，满足 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】等比数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，
如图，
对于A，当PF2⊥x轴时，点P为 ，
，显然 ，即A不符合题意；
对于B，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 （舍负），即B符合题意；
对于C，设 ，则 ，所以 ，
由点 在双曲线上可得 ，
代入 ，C符合题意；
对于D，设圆I的半径为r，
，
即 ， 由双曲线的定义知，
，即 ， D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】根据题意结合双曲线的简单性质以及等比数列的性质即可判断出选项A错误，由双曲线的性质即可判断出选项B正确，结合斜率的公式代入数值计算出结果即可判断出选项C正确，由双曲线的性质以及离心率的公式整理即可得出结果由此判断出选项D正确，从而得出答案。
11．（2020高二上·梅县期末）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ）
A．设 、 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为双曲线
B．设定圆 上一定点 作圆的动弦 ， 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为椭圆
C．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
【答案】C,D
【知识点】轨迹方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对于A选项，若动点 的轨迹为双曲线，则 ，即 ，
但 与 的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由 可得 ，
可得 ，所以，点 为线段 的中点，
如下图所示：
当 为圆 的一条直径时， 与 重合；
当 不是圆 的直径时，由垂径定理可得 ，
设 的中点为 ，由直角三角形的几何性质可得 （定值），
所以，点 的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程 ，可得 ， ，
所以，方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线 的焦距为 ，焦点坐标为 ，
椭圆 的焦距为 ，焦点坐标为 ，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】 结合题意若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离由此即可判断出选项A错误；根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆由此即可判断出选项B错误；由方程2x2-5x+2=0的两根， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率即得出选项C正确；由双曲线 与椭圆 焦点坐标都是由此即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
12．（2020高二上·淄博期末）已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点， ， 分别为其实轴的左右端点，且 ，点 为双曲线右支一点， 为 的内心，则下列结论正确的有（ ）
A．离心率
B．点 的横坐标为定值
C．若 成立，则
D．若 垂直 轴于点 ，则
【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. ，故有 ，则 左右两边同除 得
，解得 ，A对
B.设圆 与 轴相切于点 ，与 相切于点 ，与 相切于点 ，
则如图有
故
则有
则有 ，又 ，
故
则 ，故 ，点 的横坐标为定值 ，则B对.
C. 若 成立，设内切圆半径为 ，
则有
则
则 ，C对
D. 若 垂直 轴于点 ，设
则
则
又 ，故
故
D不符合题意
故答案为：ABC
【分析】 选项A，结合，与 左右两边同除 得可得关于e的方程，解之即可；
选项B，设内切圆I与 的三边分别相切于点M，N，T，根据圆的切线长定理与双曲线的定义，可推出，即点 的横坐标为定值 ；
选项C，设圆I的半径为r，则有，再利用双曲线的定义，即可得解；
选项D，假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），表示出|，，再判断选项中的等式是否成立即可．
三、填空题
13．（2021·永州模拟）写出一个渐近线方程为 的双曲线标准方程 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设双曲线方程焦点在 轴上，渐近线方程为 ，则
故答案为：
【分析】 利用双曲线的渐近线方程，不妨设a,b的值，即可写出一个双曲线的标准方程.
14．（2021·昆明模拟）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，右顶点为 ， 为原点，若 ，则 的渐近线方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，
，则可得 ，
所以 的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】 通过|OF|=2|OA|，推出a，c关系，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
15．（2021·云南模拟）圆 的圆心到双曲线 的渐近线的距离为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，
双曲线的 的渐近线 ，即 ，
则点 到直线 的距离 ，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为 ；
故答案为： ．
【分析】 求出圆的圆心，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
16．（2021·淄博模拟）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是双曲线 的半焦距，点 是圆 上一点，线段 交双曲线 的右支于点 ，且有 ， ，则双曲线 的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示：
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，又 ，所以
，
即 ，化简得 ，所以 ，
故答案为： ．
【分析】画出图形，为 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，由 ，可得，即可得出双曲线 的离心率。
四、解答题
17．（2020高二上·乐山期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）实轴在 轴上，实轴长为 ，离心率为 ；
（2）焦点为 ，且与双曲线 有相同渐近线．
【答案】（1）解：由题可设双曲线方程为 ，焦距为 ，由题意可知 ， ， ，
双曲线的标准方程为
（2）解：由题可设双曲线方程为 ，焦距为 ，
则 ，渐近线方程为
的渐近线方程为
，即
又 ，则 ，
解得： ，
双曲线的标准方程为 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由已知实轴长可得，利用离心率为 解出，从而得到的值，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由题意可知 ，根据双曲线 可得渐近线方程，再根据 ， 解出即可求出双曲线的标准方程.
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质）已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
19．（2020高二上·福州期中）已知命题 对于任意 ，不等式 恒成立.命题 实数 满足的方程 表示双曲线.
（1）当 时，若“ 或 ”为真，求实数 的取值范围.
（2）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.
【答案】（1）若命题 为真命题，则 ，解得 .
当 时，若命题 为真命题，则方程 表示双曲线，则 ，解得 .
或 为真，则 真或 真，所以， 或 ，所以， .
因此，实数 的取值范围是 ；
（2）解：若命题 为真命题，则 ， ，解得 .
或 ， 或 ，
因为 是 的充分不必要条件，则 或 或 ，
可得 ，解得 .
当 时，则有 或 或 ，合乎题意；
当 时，则有 或 或 ，合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质；非命题
【解析】【分析】（1）分别求出当命题 、 为真命题时对应的实数 的取值范围，由题意可知 真或 真，由此可得出实数 的取值范围；（2）根据 是 的充分不必要条件可得出关于实数 的不等式组，进而可解得实数 的取值范围.
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程）已知双曲线 是其两个焦点，点 在双曲线上.
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 的面积是多少？若 的面积又是多少？
【答案】（1）解：设 ，（不妨设 ）， ，
因为 已知，
所以只需求 即可.
当 时， .
由双曲线方程知 ，
由双曲线的定义，得 ，
两边平方，得 ，
又 ，
即 ，即 ，
求得
（2）解：若 ，则在 中， ，所以 ，
求得 .
同理，可求得 时，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意设出，再由双曲线的性质得出a、b、c的值由双曲线的定义即可得出整理得出由此求出结果。
(2)结合已知条件由余弦定理代入数值计算出有整体思想结合三角形的面积公式计算出结果即可。
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质）已知双曲线方程 .
（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 两点，且 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设弦的两端点为 ，因为A(2,1)为中点，
所以 ，因为 在双曲线上所以 ，两式相减得 ，所以 ,所以 ，
所以，所求弦所在直线方程为 ，即 ．
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）解：假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，因为 ，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标再把点的坐标代入到双曲线的方程，结合中点坐标公式由点差法计算出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)由(1)的方法联立直线与椭圆的方程校园后点的关x的方程结合二次函数的性质，即可得出由此得到直线与双曲线无交点，所以直线l不存在 。
22．（2020高三上·上海期中）已知 、 是双曲线 的两个顶点，点 是双曲线上异于 、 的一点， 为坐标原点，射线 交椭圆 于点 ，设直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 .
（1）若双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 ，求 的方程；
（2）在（1）的条件下，如果 ，求 的面积；
（3）试问： 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，可设双曲线 的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ，
因此，双曲线 的方程为 ；
（2）解：设射线 所在直线的方程为 ，设点 ，则 ，
因为点 在双曲线 上，所以 ，可得 .
， .
所以，射线 所在直线的方程为 .
联立直线 的方程与椭圆 的方程 ，解得 ，
所以，点 的纵坐标为 ，因此， 的面积为 ；
（3）解：设点 、 ，
由于点 在双曲线 上，则 ，得 ，
， ， ，
同理可得 ，因此， .
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线 的方程为 ，将点 的坐标代入双曲线 的方程，求出 的值，可求出双曲线 的方程；（2）设点 的坐标为 ，设直线 的方程为 ，则 ，由点 在双曲线 上得出 ，可得出 ，利用斜率公式以及条件 可求出射线 的方程，由此可得出点 的纵坐标，由此计算出 的面积；（3）由题意得出 ，设点 、 ，则 ，利用斜率公式得出 ， ，由此可得出 的值.
1 / 1高中数学人教版2019选修一3.2 圆锥曲线的方程之双曲线
一、单选题
1．（2021·宝鸡模拟）已知双曲线 的一条渐近线被圆 截得的线段长等于8，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2021·甘肃模拟）双曲线 的渐近线方程为 ，实轴长为2，则 为（ ）
A．-1 B． C． D．
3．（2021·昆明模拟）双曲线 的顶点到渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（2021·兰州模拟）点 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则双曲线的一条渐进方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·淄博模拟）实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 是黄金双曲线，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·枣庄模拟）已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·包头模拟）已知 、 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 是 左支上的动点， ，当点 在线段 上时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·沈阳模拟）已知点 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（ ）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
10．（2021·德州模拟）已知双曲线 ， 、 分别为双曲线的左、右顶点， 、 为左、右焦点， ，且 ， ， 成等比数列，点 是双曲线 的右支上异于点 的任意一点，记 ， 的斜率分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）．
A．当 轴时，
B．双曲线的离心率
C． 为定值
D．若 为 的内心，满足 ，则
11．（2020高二上·梅县期末）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ）
A．设 、 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为双曲线
B．设定圆 上一定点 作圆的动弦 ， 为坐标原点，若 ，则动点 的轨迹为椭圆
C．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
12．（2020高二上·淄博期末）已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点， ， 分别为其实轴的左右端点，且 ，点 为双曲线右支一点， 为 的内心，则下列结论正确的有（ ）
A．离心率
B．点 的横坐标为定值
C．若 成立，则
D．若 垂直 轴于点 ，则
三、填空题
13．（2021·永州模拟）写出一个渐近线方程为 的双曲线标准方程 ．
14．（2021·昆明模拟）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，右顶点为 ， 为原点，若 ，则 的渐近线方程为 .
15．（2021·云南模拟）圆 的圆心到双曲线 的渐近线的距离为 .
16．（2021·淄博模拟）已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点， 是双曲线 的半焦距，点 是圆 上一点，线段 交双曲线 的右支于点 ，且有 ， ，则双曲线 的离心率是 ．
四、解答题
17．（2020高二上·乐山期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）实轴在 轴上，实轴长为 ，离心率为 ；
（2）焦点为 ，且与双曲线 有相同渐近线．
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质）已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
19．（2020高二上·福州期中）已知命题 对于任意 ，不等式 恒成立.命题 实数 满足的方程 表示双曲线.
（1）当 时，若“ 或 ”为真，求实数 的取值范围.
（2）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程）已知双曲线 是其两个焦点，点 在双曲线上.
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 的面积是多少？若 的面积又是多少？
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质）已知双曲线方程 .
（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于 两点，且 两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
22．（2020高三上·上海期中）已知 、 是双曲线 的两个顶点，点 是双曲线上异于 、 的一点， 为坐标原点，射线 交椭圆 于点 ，设直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 .
（1）若双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 ，求 的方程；
（2）在（1）的条件下，如果 ，求 的面积；
（3）试问： 是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 =1 的渐近线方程为 ，即 ,
圆 ,即为 ，
圆心为（0，5），半径为5，
圆心到渐近线的距离为 ，
由弦长公式可得8=2 ，
化简可得 ，
，
则 。
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而设出渐近线方程，再转化为直线的一般式方程，再将圆的一般方程转化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，再结合弦长公式得出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
2．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，
又双曲线的实轴长为2，所以 ，得 ，所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】 利用双曲线的渐近线方程以及实轴长得到 即可推出结果.
3．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，
由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，
∴ ，即顶点到渐近线的距离为 。
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的对称性，其两个顶点到两条渐近线的距离都相等，由题意知，右顶点坐标为 ，一条渐近线方程为 ，再利用点到直线的距离公式，进而求出顶点到渐近线的距离。
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，点 为双曲线右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，
因为 ，由双曲线的定义，可得 ，解得 ，
所以双曲线的一条渐进方程是 ，即 .
所以双曲线的一条渐进方程是 .
故答案为：C.
【分析】 由已知利用双曲线定义求得a，即可求得双曲线的渐近线方程．
5．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，
所以 ，
解得 。
故答案为：A
【分析】利用实轴长与焦距之比为黄金数 的双曲线叫黄金双曲线，进而结合双曲线中实轴和焦距的定义，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b的关系式，从而求出 的值。
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆和双曲线的性质进行运算即可求出。
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 ， ，即直线 ，
联立方程 ，解得： 或
， ，
,
点 到直线 的距离 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】 根据题意由已知条件求得双曲线的焦点坐标，以及直线AF1的方程，与双曲线的方程联立，求得P的坐标，可得|AP|，由点到直线的距离公式可得F2到直线AP的距离，再由三角形的面积公式，可得所求值．
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，故 为直角三角形，且 ，∴ .
由双曲线定义可得 .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ .
又 ，整理得 .
所以 .所以 ，
又 ，所以 ，所以双曲线 的离心率的取值范围为 .
故答案为：B
【分析】首先由题意结合勾股定理结合双曲线的定义整理即可得到，即得到，结合离心率公式由整体思想即可得出e的取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．
10．【答案】B,C,D
【知识点】等比数列的性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，
如图，
对于A，当PF2⊥x轴时，点P为 ，
，显然 ，即A不符合题意；
对于B，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 （舍负），即B符合题意；
对于C，设 ，则 ，所以 ，
由点 在双曲线上可得 ，
代入 ，C符合题意；
对于D，设圆I的半径为r，
，
即 ， 由双曲线的定义知，
，即 ， D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】根据题意结合双曲线的简单性质以及等比数列的性质即可判断出选项A错误，由双曲线的性质即可判断出选项B正确，结合斜率的公式代入数值计算出结果即可判断出选项C正确，由双曲线的性质以及离心率的公式整理即可得出结果由此判断出选项D正确，从而得出答案。
11．【答案】C,D
【知识点】轨迹方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】对于A选项，若动点 的轨迹为双曲线，则 ，即 ，
但 与 的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由 可得 ，
可得 ，所以，点 为线段 的中点，
如下图所示：
当 为圆 的一条直径时， 与 重合；
当 不是圆 的直径时，由垂径定理可得 ，
设 的中点为 ，由直角三角形的几何性质可得 （定值），
所以，点 的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程 ，可得 ， ，
所以，方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线 的焦距为 ，焦点坐标为 ，
椭圆 的焦距为 ，焦点坐标为 ，D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】 结合题意若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离由此即可判断出选项A错误；根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆由此即可判断出选项B错误；由方程2x2-5x+2=0的两根， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率即得出选项C正确；由双曲线 与椭圆 焦点坐标都是由此即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
12．【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】A. ，故有 ，则 左右两边同除 得
，解得 ，A对
B.设圆 与 轴相切于点 ，与 相切于点 ，与 相切于点 ，
则如图有
故
则有
则有 ，又 ，
故
则 ，故 ，点 的横坐标为定值 ，则B对.
C. 若 成立，设内切圆半径为 ，
则有
则
则 ，C对
D. 若 垂直 轴于点 ，设
则
则
又 ，故
故
D不符合题意
故答案为：ABC
【分析】 选项A，结合，与 左右两边同除 得可得关于e的方程，解之即可；
选项B，设内切圆I与 的三边分别相切于点M，N，T，根据圆的切线长定理与双曲线的定义，可推出，即点 的横坐标为定值 ；
选项C，设圆I的半径为r，则有，再利用双曲线的定义，即可得解；
选项D，假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），表示出|，，再判断选项中的等式是否成立即可．
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设双曲线方程焦点在 轴上，渐近线方程为 ，则
故答案为：
【分析】 利用双曲线的渐近线方程，不妨设a,b的值，即可写出一个双曲线的标准方程.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，
，则可得 ，
所以 的渐近线方程为 .
故答案为： .
【分析】 通过|OF|=2|OA|，推出a，c关系，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
15．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，
双曲线的 的渐近线 ，即 ，
则点 到直线 的距离 ，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为 ；
故答案为： ．
【分析】 求出圆的圆心，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示：
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，又 ，所以
，
即 ，化简得 ，所以 ，
故答案为： ．
【分析】画出图形，为 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，由 ，可得，即可得出双曲线 的离心率。
17．【答案】（1）解：由题可设双曲线方程为 ，焦距为 ，由题意可知 ， ， ，
双曲线的标准方程为
（2）解：由题可设双曲线方程为 ，焦距为 ，
则 ，渐近线方程为
的渐近线方程为
，即
又 ，则 ，
解得： ，
双曲线的标准方程为 .
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由已知实轴长可得，利用离心率为 解出，从而得到的值，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由题意可知 ，根据双曲线 可得渐近线方程，再根据 ， 解出即可求出双曲线的标准方程.
18．【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
19．【答案】（1）若命题 为真命题，则 ，解得 .
当 时，若命题 为真命题，则方程 表示双曲线，则 ，解得 .
或 为真，则 真或 真，所以， 或 ，所以， .
因此，实数 的取值范围是 ；
（2）解：若命题 为真命题，则 ， ，解得 .
或 ， 或 ，
因为 是 的充分不必要条件，则 或 或 ，
可得 ，解得 .
当 时，则有 或 或 ，合乎题意；
当 时，则有 或 或 ，合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
【知识点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质；非命题
【解析】【分析】（1）分别求出当命题 、 为真命题时对应的实数 的取值范围，由题意可知 真或 真，由此可得出实数 的取值范围；（2）根据 是 的充分不必要条件可得出关于实数 的不等式组，进而可解得实数 的取值范围.
20．【答案】（1）解：设 ，（不妨设 ）， ，
因为 已知，
所以只需求 即可.
当 时， .
由双曲线方程知 ，
由双曲线的定义，得 ，
两边平方，得 ，
又 ，
即 ，即 ，
求得
（2）解：若 ，则在 中， ，所以 ，
求得 .
同理，可求得 时，
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意设出，再由双曲线的性质得出a、b、c的值由双曲线的定义即可得出整理得出由此求出结果。
(2)结合已知条件由余弦定理代入数值计算出有整体思想结合三角形的面积公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：设弦的两端点为 ，因为A(2,1)为中点，
所以 ，因为 在双曲线上所以 ，两式相减得 ，所以 ,所以 ，
所以，所求弦所在直线方程为 ，即 ．
将直线方程代入双曲线方程，整理成关于x的一元二次方程，经检验
（2）解：假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为 ，联立方程 ，消去y得 ，因为 ，因此直线与双曲线无交点，所以直线l不存在
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标再把点的坐标代入到双曲线的方程，结合中点坐标公式由点差法计算出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
(2)由(1)的方法联立直线与椭圆的方程校园后点的关x的方程结合二次函数的性质，即可得出由此得到直线与双曲线无交点，所以直线l不存在 。
22．【答案】（1）解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，可设双曲线 的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ，
因此，双曲线 的方程为 ；
（2）解：设射线 所在直线的方程为 ，设点 ，则 ，
因为点 在双曲线 上，所以 ，可得 .
， .
所以，射线 所在直线的方程为 .
联立直线 的方程与椭圆 的方程 ，解得 ，
所以，点 的纵坐标为 ，因此， 的面积为 ；
（3）解：设点 、 ，
由于点 在双曲线 上，则 ，得 ，
， ， ，
同理可得 ，因此， .
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线 的方程为 ，将点 的坐标代入双曲线 的方程，求出 的值，可求出双曲线 的方程；（2）设点 的坐标为 ，设直线 的方程为 ，则 ，由点 在双曲线 上得出 ，可得出 ，利用斜率公式以及条件 可求出射线 的方程，由此可得出点 的纵坐标，由此计算出 的面积；（3）由题意得出 ，设点 、 ，则 ，利用斜率公式得出 ， ，由此可得出 的值.
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