初中数学北师大版八年级下学期 第六章 6.4 多边形的内角与外角和
一、单选题
1．（2021·道里模拟）如图，点F在正五边形ABCDE的边CD的延长线上，连接BD，则∠BDF的度数（ ）
A．36° B．144° C．134° D．120°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
∴∠C=540÷5=108°，
∵CB=CD，
∴∠CDB= ×（180° ∠C）=36°，
∴∠BDE=108°-36°=72°
由多边形的外角和等于360°可得∠EDF=360°÷5=72°，
∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=72°+72°=144°．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠BDE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．
2．（2021九下·广州开学考）若一个正 边形的每个内角为150°，则这个正 边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的每一个内角都等于 ，
∴它的每一个外角= ．
∵多边形外角和为 ，
∴它的边数= ÷ =12．
故答案为：C
【分析】先根据内角度数求出外角度数，再利用多边形的外角和定理求出边数．
3．（2021九下·大兴期中）若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2) 180°，
解得n=6，
故答案为：A．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可。
4．（2021八下·柯桥月考）在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．80° C．120° D．130°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠B比∠D大60°，
∴∠B=∠D+60°
∵四边形ABCD， ∠A+∠C=180° ，
∴∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴180°+∠D+60°+∠D=360°
解之：∠D=60°
∴∠B=60°+60°=120°.
故答案为：C.
【分析】由已知∠B比∠D大60°，可得到∠B=∠D+60°，再利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C+∠B+∠D=360°，整体代入可求出∠D的度数，从而可求出∠B的度数.
5．（2021八上·襄州期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n-2） 180°=3×360°，
解得：n=8.
故答案为：C.
【分析】设多边形的边数是n，则其内角和为(n-2) 180°，由于任何多边形的外角和都是360°，从而根据题意列出方程，求解即可.
6．（2021八上·武汉期末）一个多边形每一个外角都等于 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ，
则这个多边形的边数为10，
故答案为：B．
【分析】根据多边形外角和为360°进行计算即可.
7．（2021八上·恩施期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设切下一个三角形后多边形的边数为x，
由题意得(x－2)·180°＝1 080°，
解得x＝8.
而七边形、八边数、九边形切下一个三角形后均有可能形成一个八边形.
故答案为：D.
【分析】n边形的内角和为：（n-2）×180°，再根据剩下一个内角和为1080°的多边形，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据题意可求出n的值.
8．（2020八上·红桥期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故答案为：D
【分析】先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
二、填空题
9．（2021·雁塔模拟）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1＋∠2＝ °.
【答案】180
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】由已知可得
∠1＋∠2＝（8-2）×180°÷8×2-（180°-90°）=180°
故答案为：180
【分析】由多边形的内角和=（n-2）·180°可求得正八边形的内角和，于是用这个内角和除以8可求得每一个内角的度数，然后由角的构成可求解.
10．（2021·咸宁模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ACB＝ 度.
【答案】60
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知：形成的最中间的图形为正六边形，
∴正六边形的外角和为360°，
∴ .
故答案为：60.
【分析】根据图形可判断为正六边形，根据正六边形的外角和为360°可得结果.
11．（2021八上·哈巴河期末）一个n边形的内角和为1260°，则n= .
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由一个n边形的内角和为1260°，则有：
，
解得：n=9，
故答案为：9.
【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）可直接列出方程，求解即可.
12．（2021八上·开州期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 .
【答案】18
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AD，且∠DAB＝90°，
∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE.
∴∠ABE＝∠D，AC＝AE.
根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC＝180°
∴∠ABE+∠ABC＝180°.
∴C、B、E三点共线.
∴△ACE是等腰直角三角形.
∵四边形ABCD面积＝△ACE面积＝ ×AC2＝ ×62＝18.
故答案为：18.
【分析】将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE，可得∠ABE＝∠D，由四边形内角和为360°和平角的定义可得C、B、E三点共线，由此可判断△ACE是等腰直角三角形，可求解三角形面积.
13．（2020八上·朝阳期末）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是 ．
【答案】④
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①不符合题意，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于 ；
②不符合题意，可以是四个直角；
③不符合题意，可以是四个直角；
④符合题意．
故答案为：④．
【分析】根据四边形的内角和的性质逐项判定即可。
14．（2020八上·呼和浩特期末）过 边形的一个顶点有9条对角线，则 边形的内角和为 ．
【答案】1800°
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
15．（2020七下·建湖月考）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ．
【答案】240m
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷15°=24，
∴小亮所走的路程是=24×10=240m.
故答案为：240m.
【分析】根据小亮的走法可知，他行走的轨迹正好是一个正多边形，先根据正多边形的外角和定理求出边数，则小亮的行走的总路程可求.
16．（2020八上·武汉月考）在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD=50°，则∠C的度数是 .
【答案】50°或130°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①高AD，BE所在的直线交于点M在三角形内部，如图，
∵∠BMD=50°，
∴∠EMD=180°-∠BMD=130 ，
∵AD、BE是高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
在四边形CDME中，
∠C=360°-∠EMD-∠BEC-∠ADC
=360°-130°-90° -90°
=50°；
②高AD，BE所在的直线交于点M在三角形外部，如图，
∵AD、BE是高，
∴∠BDM=∠AEM=90°，
在四边形CDME中，
∠DCE=360°-∠BMD-∠BDM -∠AEM
=360°-50°-90° -90°
=130°，
∴∠ACB=∠DCE=130°；
故答案为：50°或130°.
【分析】根据题意可知要分两种情况讨论：①两高交点在三角形内部；②两高交点在三角形外部，分别画图求解即可.
三、解答题
17．（2017八上·高安期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？
【答案】解：根据题意，得
（n﹣2） 180=360×3+180，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
18．（2020八上·商城月考）已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数.
【答案】解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，
根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，
解得x=2，
故这两个多边形的边数分别是4和10.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x， 利用多边形内角和公式，根据“两个多边形的所有内角的和为1800°”列出方程，求解即可.
19．（2020八上·富顺期中）如图是一个凹多边形， ， ， ， ；求 的值．
【答案】证明：连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，
， ， ，
∴ ．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形内角和的公式：，得到五边形BCDEF的内角和，再求出的和，再利用三角形内角和的性质，求出,最后求出的值。
20．（2020八上·莆田月考）已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
【答案】解：设此多边形有n条边，由题意，得
n=2（n-3），
解得n=6．
故此多边形有6条边．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据多边形对角线的规律：从一个点出发可引（n-3）（n大于3）列出方程求解即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第六章 6.4 多边形的内角与外角和
一、单选题
1．（2021·道里模拟）如图，点F在正五边形ABCDE的边CD的延长线上，连接BD，则∠BDF的度数（ ）
A．36° B．144° C．134° D．120°
2．（2021九下·广州开学考）若一个正 边形的每个内角为150°，则这个正 边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2021九下·大兴期中）若正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2021八下·柯桥月考）在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．80° C．120° D．130°
5．（2021八上·襄州期末）一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形
6．（2021八上·武汉期末）一个多边形每一个外角都等于 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（2021八上·恩施期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．以上都有可能
8．（2020八上·红桥期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
二、填空题
9．（2021·雁塔模拟）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则∠1＋∠2＝ °.
10．（2021·咸宁模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ACB＝ 度.
11．（2021八上·哈巴河期末）一个n边形的内角和为1260°，则n= .
12．（2021八上·开州期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为 .
13．（2020八上·朝阳期末）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是 ．
14．（2020八上·呼和浩特期末）过 边形的一个顶点有9条对角线，则 边形的内角和为 ．
15．（2020七下·建湖月考）如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 ．
16．（2020八上·武汉月考）在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD=50°，则∠C的度数是 .
三、解答题
17．（2017八上·高安期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？
18．（2020八上·商城月考）已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数.
19．（2020八上·富顺期中）如图是一个凹多边形， ， ， ， ；求 的值．
20．（2020八上·莆田月考）已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
∴∠C=540÷5=108°，
∵CB=CD，
∴∠CDB= ×（180° ∠C）=36°，
∴∠BDE=108°-36°=72°
由多边形的外角和等于360°可得∠EDF=360°÷5=72°，
∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=72°+72°=144°．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的内角和公式求出正五边形的五个角的度数之和，进而求出每个内角的度数，即可得出∠BDE的度数，再根据正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数，然后根据角的和差关系计算即可．
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正多边形的每一个内角都等于 ，
∴它的每一个外角= ．
∵多边形外角和为 ，
∴它的边数= ÷ =12．
故答案为：C
【分析】先根据内角度数求出外角度数，再利用多边形的外角和定理求出边数．
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2) 180°，
解得n=6，
故答案为：A．
【分析】利用多边形的内角和公式计算即可。
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠B比∠D大60°，
∴∠B=∠D+60°
∵四边形ABCD， ∠A+∠C=180° ，
∴∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴180°+∠D+60°+∠D=360°
解之：∠D=60°
∴∠B=60°+60°=120°.
故答案为：C.
【分析】由已知∠B比∠D大60°，可得到∠B=∠D+60°，再利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C+∠B+∠D=360°，整体代入可求出∠D的度数，从而可求出∠B的度数.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n-2） 180°=3×360°，
解得：n=8.
故答案为：C.
【分析】设多边形的边数是n，则其内角和为(n-2) 180°，由于任何多边形的外角和都是360°，从而根据题意列出方程，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ，
则这个多边形的边数为10，
故答案为：B．
【分析】根据多边形外角和为360°进行计算即可.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设切下一个三角形后多边形的边数为x，
由题意得(x－2)·180°＝1 080°，
解得x＝8.
而七边形、八边数、九边形切下一个三角形后均有可能形成一个八边形.
故答案为：D.
【分析】n边形的内角和为：（n-2）×180°，再根据剩下一个内角和为1080°的多边形，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再根据题意可求出n的值.
8．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故答案为：D
【分析】先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
9．【答案】180
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】由已知可得
∠1＋∠2＝（8-2）×180°÷8×2-（180°-90°）=180°
故答案为：180
【分析】由多边形的内角和=（n-2）·180°可求得正八边形的内角和，于是用这个内角和除以8可求得每一个内角的度数，然后由角的构成可求解.
10．【答案】60
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由图可知：形成的最中间的图形为正六边形，
∴正六边形的外角和为360°，
∴ .
故答案为：60.
【分析】根据图形可判断为正六边形，根据正六边形的外角和为360°可得结果.
11．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由一个n边形的内角和为1260°，则有：
，
解得：n=9，
故答案为：9.
【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）可直接列出方程，求解即可.
12．【答案】18
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AD，且∠DAB＝90°，
∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE.
∴∠ABE＝∠D，AC＝AE.
根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC＝180°
∴∠ABE+∠ABC＝180°.
∴C、B、E三点共线.
∴△ACE是等腰直角三角形.
∵四边形ABCD面积＝△ACE面积＝ ×AC2＝ ×62＝18.
故答案为：18.
【分析】将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE，可得∠ABE＝∠D，由四边形内角和为360°和平角的定义可得C、B、E三点共线，由此可判断△ACE是等腰直角三角形，可求解三角形面积.
13．【答案】④
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①不符合题意，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于 ；
②不符合题意，可以是四个直角；
③不符合题意，可以是四个直角；
④符合题意．
故答案为：④．
【分析】根据四边形的内角和的性质逐项判定即可。
14．【答案】1800°
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
15．【答案】240m
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷15°=24，
∴小亮所走的路程是=24×10=240m.
故答案为：240m.
【分析】根据小亮的走法可知，他行走的轨迹正好是一个正多边形，先根据正多边形的外角和定理求出边数，则小亮的行走的总路程可求.
16．【答案】50°或130°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①高AD，BE所在的直线交于点M在三角形内部，如图，
∵∠BMD=50°，
∴∠EMD=180°-∠BMD=130 ，
∵AD、BE是高，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
在四边形CDME中，
∠C=360°-∠EMD-∠BEC-∠ADC
=360°-130°-90° -90°
=50°；
②高AD，BE所在的直线交于点M在三角形外部，如图，
∵AD、BE是高，
∴∠BDM=∠AEM=90°，
在四边形CDME中，
∠DCE=360°-∠BMD-∠BDM -∠AEM
=360°-50°-90° -90°
=130°，
∴∠ACB=∠DCE=130°；
故答案为：50°或130°.
【分析】根据题意可知要分两种情况讨论：①两高交点在三角形内部；②两高交点在三角形外部，分别画图求解即可.
17．【答案】解：根据题意，得
（n﹣2） 180=360×3+180，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
18．【答案】解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，
根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，
解得x=2，
故这两个多边形的边数分别是4和10.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x， 利用多边形内角和公式，根据“两个多边形的所有内角的和为1800°”列出方程，求解即可.
19．【答案】证明：连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，
， ， ，
∴ ．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形内角和的公式：，得到五边形BCDEF的内角和，再求出的和，再利用三角形内角和的性质，求出,最后求出的值。
20．【答案】解：设此多边形有n条边，由题意，得
n=2（n-3），
解得n=6．
故此多边形有6条边．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据多边形对角线的规律：从一个点出发可引（n-3）（n大于3）列出方程求解即可。
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