初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：06 因式分解
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵
又∵
∴多项式 与多项式 的公因式是 .
故答案为：A.
【分析】将第一个多项先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解因式；将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，然后找出两个分解结果中相同的因式即可.
2．（2021七下·慈溪期中）下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，②a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），③4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
②4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
③a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意
④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式"并结合各选项即可判断求解.
3．（2021八上·金昌期末）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：因为 ，所以A选项错误；
因为 ，所以B选项错误；
因为 是多项式的乘法，所以C选项错误；
因为 ，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义：是把一个多项式分解成几个整式的乘积形式，可排除A，B，C.
4．（2021七下·慈溪期中）把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．（a+1）（a﹣1）
C．a（a+1）（a﹣1） D．﹣a（a﹣1）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝a（a﹣1），
故答案为：A
【分析】观察多项式可知：每一项都有公因式a，所以可提公因式a分解因式.
5．（2021七下·北仑期中）下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】B、
=（m+1）2，正确；
ACD、都不能分解，错误；
故答案为：B.
【分析】熟记公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2;a2-b2=(a-b)(a+b).
6．（2021八下·中原期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．n2-5n+6=n（n-5）+6 B．4x2-1=（2x-1）2
C．y2-4y-4=（y-2）2 D．4t2-4t+1=（2t-1）2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 ，选项A不是因式分解，故答案为：A错误；
B、4x2-1= ，故答案为：B因式分解不正确；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故答案为：D因式分解正确；
故答案为：D.
【分析】A、根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”可知这个选项不是因式分解；
B、根据平方差公式的特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（2x+1）（2x-1）；
C、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可知多项式y2-4y-4不能用完全平方公式分解；
D、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得原式=（2t-1）2.
7．（2021七下·瑶海期中）已知x2+mx+6=（x+a）（x+b），m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意可知，
（x+2）（x+3）=x2+5x+6
（x-2）（x-3）=x2-5x+6
（x+1）（x+6）=x2+7x+6
（x-1）（x-6）=x2-7x+6
故答案为：A.
【分析】根据十字相乘法进行因式分解，得到答案即可。
8．（2021八下·武侯期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
B．﹣2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
D．（m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 x2﹣2x+1＝（x-1）2，错误；
B、-2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a-2），错误；
C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，不是因式分解，错误；
D、 （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1） ，正确；
故答案为：D.
【分析】首先根据因式分解的定义进行判断是否为分解因式，然后再对原式分别进行分解因式比较结果即可判断.
二、填空题
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．（2021·阿城模拟）分解因式： ；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x+2）x （x+2）= （x+2）（x 1），
故答案为：（x+2）（x-1）
【分析】直接把（x+2）看成一个整体提公因式即可．
11．（2020八上·鲤城期中）已知 ， ，则
【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x+y=4，xy=
∴ xy（x+y）=1×4=4
故答案为：4．
【分析】先将因式分解得到xy（x+y），再将x、y的值代入计算即可。
三、计算题
12．（2020八上·厦门期中）
（1）计算： ；
（2）因式分解：m（a－3）+ 2（3－a）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘单项式；因式分解﹣提公因式法；单项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式及单项式除以单项式计算即可；（2）利用提取公因式因式分解即可。
13．（2021七下·北仑期中）分解因式
（1）4x2﹣ ；
（2）3a﹣6a2+3a3．
【答案】（1）解：4x2﹣
=（2x﹣ ）（2x+ ）
（2）解：3a﹣6a2+3a3
=3a（1﹣2a+a2）=3a（1﹣a）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行因式分解：a2-b2=（a-b)(a+b)；
(2)分解因式时，先提取公因式，再用完全平方公式分解.
14．（2021八上·丰泽期末）已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
四、综合题
15．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
16．（2021八上·沙坪坝开学考）若一个三位或三位以上的整数A分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A的“吉祥数”.如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A的“如意数”.如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16.
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是 ，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是 ，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m，右边数均为n，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”.
【答案】（1）352；9810
（2）由题意得 ，
，
，
， ， ， ，
， ， ， ，
求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136.
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）一个三位数的“吉祥数”是5，设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，
，
，
，
则这个数是352，
一个四位数的“如意数”是81，
设左边数为m，右边数为n，
，
，
m=9，n=0，
则这个数是9810，
故答案为：352，9810；
【分析】（1）设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，由“吉祥数”的定义可得，由平方差公式分解因式可得m、n的值，可得结果，设左边数为m，右边数为n，根据“如意数”的定义可得 ，可得结果；
（2）根据题意可得 ，分解因式分别讨论n与m-n都被6整除的m、n的值，可得结果.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：06 因式分解
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·慈溪期中）下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，②a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），③4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021八上·金昌期末）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·慈溪期中）把多项式a2﹣a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．（a+1）（a﹣1）
C．a（a+1）（a﹣1） D．﹣a（a﹣1）
5．（2021七下·北仑期中）下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·中原期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．n2-5n+6=n（n-5）+6 B．4x2-1=（2x-1）2
C．y2-4y-4=（y-2）2 D．4t2-4t+1=（2t-1）2
7．（2021七下·瑶海期中）已知x2+mx+6=（x+a）（x+b），m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
8．（2021八下·武侯期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
B．﹣2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
D．（m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
二、填空题
9．（2020七下·徐州期中）给出下列多项式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中能够因式分解的是： （填上序号）.
10．（2021·阿城模拟）分解因式： ；
11．（2020八上·鲤城期中）已知 ， ，则
三、计算题
12．（2020八上·厦门期中）
（1）计算： ；
（2）因式分解：m（a－3）+ 2（3－a）
13．（2021七下·北仑期中）分解因式
（1）4x2﹣ ；
（2）3a﹣6a2+3a3．
14．（2021八上·丰泽期末）已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
四、综合题
15．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2b+ab2.
16．（2021八上·沙坪坝开学考）若一个三位或三位以上的整数A分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A的“吉祥数”.如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A的“如意数”.如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16.
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是 ，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是 ，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m，右边数均为n，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵
又∵
∴多项式 与多项式 的公因式是 .
故答案为：A.
【分析】将第一个多项先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解因式；将第二个多项式利用完全平方公式分解因式，然后找出两个分解结果中相同的因式即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：①（p﹣2）（p+2）＝p2﹣4，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
②4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
③a2+2ab+b2﹣1＝a（a+2b）+（b+1）（b﹣1），从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意
④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据因式分解定义"把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式"并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：因为 ，所以A选项错误；
因为 ，所以B选项错误；
因为 是多项式的乘法，所以C选项错误；
因为 ，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义：是把一个多项式分解成几个整式的乘积形式，可排除A，B，C.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝a（a﹣1），
故答案为：A
【分析】观察多项式可知：每一项都有公因式a，所以可提公因式a分解因式.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】B、
=（m+1）2，正确；
ACD、都不能分解，错误；
故答案为：B.
【分析】熟记公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2;a2-b2=(a-b)(a+b).
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 ，选项A不是因式分解，故答案为：A错误；
B、4x2-1= ，故答案为：B因式分解不正确；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故答案为：D因式分解正确；
故答案为：D.
【分析】A、根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”可知这个选项不是因式分解；
B、根据平方差公式的特征“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（2x+1）（2x-1）；
C、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可知多项式y2-4y-4不能用完全平方公式分解；
D、根据完全平方公式的特征“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得原式=（2t-1）2.
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题意可知，
（x+2）（x+3）=x2+5x+6
（x-2）（x-3）=x2-5x+6
（x+1）（x+6）=x2+7x+6
（x-1）（x-6）=x2-7x+6
故答案为：A.
【分析】根据十字相乘法进行因式分解，得到答案即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 x2﹣2x+1＝（x-1）2，错误；
B、-2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a-2），错误；
C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，不是因式分解，错误；
D、 （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1） ，正确；
故答案为：D.
【分析】首先根据因式分解的定义进行判断是否为分解因式，然后再对原式分别进行分解因式比较结果即可判断.
9．【答案】②④⑤⑥
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】① ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
② ，故可以因式分解；
③ ，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；
④ ，故可以因式分解；
⑤ ，故可以因式分解；
⑥ ，故可以因式分解；
综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，
故答案为：②④⑤⑥.
【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】（x+2）x （x+2）= （x+2）（x 1），
故答案为：（x+2）（x-1）
【分析】直接把（x+2）看成一个整体提公因式即可．
11．【答案】4
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x+y=4，xy=
∴ xy（x+y）=1×4=4
故答案为：4．
【分析】先将因式分解得到xy（x+y），再将x、y的值代入计算即可。
12．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘单项式；因式分解﹣提公因式法；单项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式及单项式除以单项式计算即可；（2）利用提取公因式因式分解即可。
13．【答案】（1）解：4x2﹣
=（2x﹣ ）（2x+ ）
（2）解：3a﹣6a2+3a3
=3a（1﹣2a+a2）=3a（1﹣a）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行因式分解：a2-b2=（a-b)(a+b)；
(2)分解因式时，先提取公因式，再用完全平方公式分解.
14．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
15．【答案】（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）
＝6×2
＝12
（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）
＝（9﹣2）×6
＝7×6
＝42.
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；
（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.
16．【答案】（1）352；9810
（2）由题意得 ，
，
，
， ， ， ，
， ， ， ，
求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136.
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）一个三位数的“吉祥数”是5，设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，
，
，
，
则这个数是352，
一个四位数的“如意数”是81，
设左边数为m，右边数为n，
，
，
m=9，n=0，
则这个数是9810，
故答案为：352，9810；
【分析】（1）设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，由“吉祥数”的定义可得，由平方差公式分解因式可得m、n的值，可得结果，设左边数为m，右边数为n，根据“如意数”的定义可得 ，可得结果；
（2）根据题意可得 ，分解因式分别讨论n与m-n都被6整除的m、n的值，可得结果.
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