初中数学苏科版八年级上册1.3探索三角形全等的条件 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·姑苏开学考）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）.此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法的道理是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
2．（2021八上·崇川期末）如图，点D，E分别为 的边 ， 上的点，连接 并延长至F，使 ，连接 .若 ， ， ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·溧水期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则下列与BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
4．（2021八上·靖江期末）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（2021八上·海州期末）在△ABC中和△DEF中，已知BC=EF，∠C=∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠A=∠D D．AB=DE
6．（2020八上·常熟期中）如图，∠ABC＝∠BCD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC=BD B．AB＝DC
C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC
7．（2020八上·赣榆期中）如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BE=CF
C．∠ACB=∠DFE=90° D．∠B=∠DEF
8．（2020八上·盐城期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
9．（2020八上·泰州月考）用直尺和圆规画一个角等于已知角，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
10．（2020八上·泰州月考）如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，AD＝c，则EF的长为（ ）
A．c－a B．c－b C．a－b+c D．a+b－c
二、填空题
11．（2020八上·宿迁期中）如图，线段AB//CD，且CE＝BF，请添加一个适当的条件 使ΔABF≌ΔDCE.（只填一个即可）
12．（2020八上·东台期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，增加下列条件：①AB=CD；②AC=DB；③∠A=∠D；④∠ABO=∠DCO.能判定△ABC≌△DCB的是 .（填正确答案的序号）
13．（2020八上·东台月考）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则 的度数为 .
14．（2020八上·东台月考）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 ;
15．（2020八上·宜兴月考）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝60°则∠D= .
16．（2020八上·兴化月考）已知，如图：∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
17．（2020八上·兴化月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝ cm.
18．（2020八上·高新月考）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 .
19．（2020八上·江阴月考）如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对.
20．（2020八上·灌云月考）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC一定全等的图形是 .
三、解答题
21．（2020八上·东海期中）已知：如图，在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 ， ， 与 交于 ，连接 ， ，求证： .
22．（2020八上·江苏月考）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，∠B = ∠C ，求证：BD = CE .
23．（2020八上·东台月考）如图，AD∥BC，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD的延长线交于点F.则△BCE和△FDE全等吗 为什么
24．（2020八上·宜兴月考）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB=DE，AC=DF，BF=EC.求证：△ABC≌△DEF.
25．（2020八上·江阴月考）如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC.
26．（2020八上·洪泽月考）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE.
27．（2020八上·高新月考）已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：BC=EF.
28．（2020八上·高新月考）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE.
29．（2020八上·沭阳月考）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E，求证：AC=CD
30．（2020八上·沭阳月考）如图，如果AB=AC，那么∠B=∠C吗？请说明理由.
31．（2020八上·无锡月考）如图，△ABC中，点D在AC边上，AE∥BC，连接ED并延长ED交BC于点F，若AD=CD,求证：ED=FD.
32．（2020八上·无锡月考）如图，点E在 的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若 ， ，证明： .
四、综合题
33．（2021八上·丹徒期末）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F.
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：BE=CF.
34．（2021八上·丹阳期末）如图， ，
求证：
（1） ；
（2） .
35．（2020八上·阜宁月考）CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF，EF |BE﹣AF|（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
36．（2020八上·无锡月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF，请从下列三个条件：①AB=DE；②∠A=∠D；③∠ACB=∠DFE中选择一个合适的条件，使AB∥ED成立，并给出证明.
（1）选择的条件是 （填序号）
（2）证明：
37．（2020八上·南京月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°.
（1）求证：BD=CE；
（2）求∠3的度数.
38．（2020八上·江都月考）已知：如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明：
（1）DF∥CE；
（2）DE＝CF.
39．（2020八上·江都月考）如图，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为G、F，且AG=AF.
求证：
（1）∠EAF=∠DAG；
（2）AD=AE.
40．如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 ．
（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？
（2）你添加的条件是 请用你添加的条件完成证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】在△OMC和△ONC中，
,
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC，
∴射线OC即是∠AOB的平分线，
故答案为：C.
【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠F=∠ADE，
在 ADE和 FCE中，
∵ ，
∴ ADE FCE（ASA），
∴AD=CF=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠F=∠ADE，由对顶角的性质可得∠FEC=∠DEA，从而利用ASA证明△ADE △FCE，根据全等三角形的对应边相等求出AD的值，然后根据BD=AB-AD计算即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠ACF＝60°，
，
∵AB＝CE，∠B＝∠E，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及平角的定义得出∠BAC=∠FCE，从而利用ASA证△ABC≌△CEF， 再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为C，D两点；画一条射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧，交射线O'A'于C'点；以C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；过点O'及D'作射线O'B'，则∠C'O'D'就是所求的角；
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为：D.
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、 添加AC=DF，根据SAS 即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
B、 添加∠B=∠E，根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
C、添加∠A=∠D，根据AAS即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
D、添加AB=DE， 不能推出△ABC≌△DEF，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理进行判断即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：题干给出了 ∠ABC＝∠BCD ，图形中有公共边BC=CB，故
A、添加AC=DB，不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
B、添加AB=DC，根据SAS能判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
C、添加∠A=∠D时，可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、添加∠ACB=∠DBC，根据ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】用题干给的条件加上选项给的条件，用全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS进行逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AC=DF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
∴添加BE=CF，得出BC=EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
∴添加∠ACB=∠DFE=90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，故C不符合题意；
添加∠B=∠DEF，不能证明△ABC≌△DEF，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据SAS可证△ABC≌△DEF；B、根据SSS可证△ABC≌△DEF；C、根据HL可证△ABC≌△DEF；D、无法证明全等.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，
∴若从“ASA”的判定来添加条件，可添加∠A＝∠D，
若从“AAS”的判定来添加条件，可添加∠B＝∠E，
若从“SAS”的判定来添加条件，可添加BC＝EF或BF＝EC，
故答案为：A.
【分析】在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，已知一对对应角相等及其邻边对应相等，要证△ABC与△DEF全等，添加条件：一组角对应相等或已知一对等角的邻边，据此逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；
以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD.
则∠COD就是所求的角.
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为：D.
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在 ABF和 CDE中，
，
∴ ABF≌ CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵AD＝c，
∵EF＝AF－AE
＝AF－(AD－DE)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c，
故答案为：D.
【分析】先证明 ABF≌ CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再结合AD＝c即可求得EF的长.
11．【答案】CD=AB或∠D=∠A或∠CED=∠AFB
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
故若根据SAS，即可添加CD=AB，
若根据AAS，即可添加∠D=∠A，
若根据ASA，即可添加∠CED=∠AFB，
故答案为：CD=AB或∠D=∠A或∠CED=∠AFB.
【分析】由AB∥CD，可得∠C=∠B，又CE=BF，知一角一邻边，根据SAS、AAS、ASA进行添加即可.
12．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：能判定△ABC≌△DCB的是①③④，
理由是：①∵在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；③∵在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；④∵∠ABC=∠DCB，∠ABO=∠DCO，
∴∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
故答案为：①③④.
【分析】 ①AB=CD，可根据SAS可证△ABC≌△DCB；②AC=DB，可；③∠A=∠D，可根据AAS可证△ABC≌△DCB；④∠ABO=∠DCO，可根据ASA可证△ABC≌△DCB，利用②无法判断△ABC≌△DCB；据此判断即可.
13．【答案】90
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴ =90°.
故答案为：90°.
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
14．【答案】60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵ ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解.
15．【答案】60°
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BE=CF ，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
∴∠A=∠D=60°，
故答案为：60°.
【分析】易证BC=EF，根据边边边证明三角形全等方法即可求证△ABC≌△DEF即可解题.
16．【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，
添加∠A=∠D后可根据ASA判定△ABC≌△DEF.
故答案为：∠A=∠D.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可.
17．【答案】7
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm.
故填7.
【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm.
18．【答案】135°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4=∠2，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°.
故答案为：135°.
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠2=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠3=45°，进而可得答案.
19．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴AD=BC，
而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，
在△ABD与△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
在△ADC与△BCD中，
∴△ADC≌△BCD（SSS）.
故答案为3.
【分析】由OA=OB，OC=OD，∠AOD=∠BOC，根据“SAS”可判断△AOD≌△BOC，则AD=BC，然后根据“SSS”可判断△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD.
20．【答案】乙和丙
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由SAS可知，图乙与△ABC全等，
由AAS可知，图丙与△ABC全等.
故答案为：乙和丙.
【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,从而逐个判断即可.
21．【答案】证明：在 和 中， ，
，
，
由对顶角相等得： ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据SAS可证△AOE≌△AOD，可得∠AOE=∠AOD，再根据ASA可证△AOB≌△AOC，从而可得∠B=∠C.
22．【答案】证明：在DABE 与DACD 中，
,
∴DABE ≌ DACD( ASA) .
∴AD = AE ，
∴AB-AD=AC-AE,
故BD = CE .
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】要证BD=CE，只要证AD=AE即可，故需要先证明DABE ≌ DACD.
23．【答案】解：△BCE≌△FDE.
理由：∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠FDE,∠CBE=∠DFE，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS）,
故答案为△BCE≌△FDE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据AD∥BC，可得∠BCE=∠FDE,∠CBE=∠DFE，点E是CD的中点，可得CE=DE，即可判断△BCE和△FDE全等.
24．【答案】解：证明： ，
，
，
在 和 中，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】根据BF=EC，可以得到BC=EF，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
25．【答案】证明：如图，∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴在△AEB与△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
∴AE=AD.
∴在Rt△ADF与Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得△AEB≌△ADC，则对应边AE=AD；然后由HL推知Rt△ADF≌Rt△AEF，在对应角∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC.
26．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明∠BAC=∠DAE，再利用“SAS”可判断△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
27．【答案】解：∵AB∥ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF.
28．【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△ADE，得到BC=DE.
29．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC与△CED中，
∵∠B=∠E，AB=CE，∠BAC=∠ECD，
∴△ABC≌△CED（ASA）.
∴AC=CD.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠ECD，进而可根据ASA证明△ABC≌△CED，进一步即可证得结论.
30．【答案】解：∠B=∠C，理由如下：
如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，根据SAS可证△ABD≌△ACD，进一步即可证得结论.
31．【答案】证明：∵AE∥BC
∴∠EAD=∠C
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴ED=FD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行可得内错角相等，再利用ASA即可判定△ADE≌△CDF，所以ED=FD.
32．【答案】证明： ， ，
，
，
，
在 与 中，
，
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先证明 再利用角边角证明 即可.
33．【答案】（1）证明：
（2）证明：
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由 ，证明 结合 利用ASA可得结论；
（2）由 全等三角形的对应边相等可得 BO=CO,由BE∥CF，根据二直线平行，内错角相等可得∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC，然后利用AAS判断出△OBE≌△OCF，根据全等三角形的对应边相等可得结论.
34．【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，
在 和 中， ，
（2）证明：如图，设 交 于 ， 交 于 ，
，
，
， ，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直得到 ，求出 ，利用利用SAS证明△DCB≌△ECA；
（2）设 交 于 ， 交 于 ，根据全等三角形的性质得到 ，再根据已知条件转换即可.
35．【答案】（1）=；=
（2）∠α+∠BCA＝180°
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）在图1中，
∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，
故答案为＝，＝.
（ 2 ）∠BCA=180°-∠α
在图2中，
∵∠DFA=180°-∠α=∠BCA，
∴∠BCE+∠ACF＝180°-∠α，
∵∠ACF+∠CAF＝180°-∠α，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
【分析】（1）根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.（2）证明和（1）类似，根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
36．【答案】（1）①③
（2）证明：∵FB=CE，∴BC=EF，在△ABC和△EFD中AB=ED，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△EFD（SSS），∴∠B=∠E，∴AB∥ED.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】（1）选择①AB=ED或③∠ACB=∠DFE即可.故答案为①（答案不唯一）
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理选出合适的条件即可；（2）利用SSS进而判断出全等三角形，得出AB∥ED即可.
37．【答案】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
；
∴
（2）解： ，
，
，
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用已知得出 ，进而借助 得出 ，即可得到 ；（2）利用全等三角形的性质得出 ，再利用三角形的外角得出即可.
38．【答案】（1）证明： AD＝BC，AC=AD+DC，BD=BC+DC，
AC=BD，
AE＝BF，CE＝DF，
△AEC≌△BFD，
∠1=∠2，
DF∥CE
（2）证明：由（1）易得：∠A=∠B，
AD＝BC，AE＝BF，
△AED≌△BFC，
DE＝CF.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得AC=BD，进而可证△AEC≌△BFD，则有∠1=∠2，然后问题得证；（2）由（1）易得∠A=∠B，进而可证△AED≌△BFC，然后根据全等三角形的性质可证.
39．【答案】（1）证明： AG⊥BD，AF⊥CE，
∠AFE=∠AGD=90°，
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
，
Rt△AGB≌Rt△AFC；
∴∠BAG=∠CAF，
又∵∠FAG=∠FAG，
∴∠EAF=∠DAG
（2）证明：由（1）可得：∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
△ABD≌△ACE，
AD=AE.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得Rt△AGB≌Rt△AFC，则有∠BAG=∠CAF，进而问题得证；（2）由（1）可得∠B=∠C，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题得证.
40．【答案】（1）不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等
（2）∠APO=∠BPO
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）∠APO=∠BPO．
理由：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOP中
∴△AOP≌△BOP（ASA），
故答案为：∠APO=∠BPO．
【分析】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；
（2）添加∠APO=∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≌△BOP．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册1.3探索三角形全等的条件 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·姑苏开学考）工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）.此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法的道理是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】在△OMC和△ONC中，
,
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC，
∴射线OC即是∠AOB的平分线，
故答案为：C.
【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
2．（2021八上·崇川期末）如图，点D，E分别为 的边 ， 上的点，连接 并延长至F，使 ，连接 .若 ， ， ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠F=∠ADE，
在 ADE和 FCE中，
∵ ，
∴ ADE FCE（ASA），
∴AD=CF=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠F=∠ADE，由对顶角的性质可得∠FEC=∠DEA，从而利用ASA证明△ADE △FCE，根据全等三角形的对应边相等求出AD的值，然后根据BD=AB-AD计算即可.
3．（2021八上·溧水期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则下列与BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠ACF＝60°，
，
∵AB＝CE，∠B＝∠E，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及平角的定义得出∠BAC=∠FCE，从而利用ASA证△ABC≌△CEF， 再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案.
4．（2021八上·靖江期末）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为C，D两点；画一条射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧，交射线O'A'于C'点；以C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；过点O'及D'作射线O'B'，则∠C'O'D'就是所求的角；
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为：D.
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等.
5．（2021八上·海州期末）在△ABC中和△DEF中，已知BC=EF，∠C=∠F，增加下列条件后还不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠A=∠D D．AB=DE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、 添加AC=DF，根据SAS 即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
B、 添加∠B=∠E，根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
C、添加∠A=∠D，根据AAS即可推出△ABC≌△DEF，故此选项不符合题意；
D、添加AB=DE， 不能推出△ABC≌△DEF，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理进行判断即可.
6．（2020八上·常熟期中）如图，∠ABC＝∠BCD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC=BD B．AB＝DC
C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：题干给出了 ∠ABC＝∠BCD ，图形中有公共边BC=CB，故
A、添加AC=DB，不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
B、添加AB=DC，根据SAS能判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
C、添加∠A=∠D时，可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、添加∠ACB=∠DBC，根据ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】用题干给的条件加上选项给的条件，用全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS进行逐一判断即可.
7．（2020八上·赣榆期中）如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BE=CF
C．∠ACB=∠DFE=90° D．∠B=∠DEF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AC=DF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
∴添加BE=CF，得出BC=EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
∴添加∠ACB=∠DFE=90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，故C不符合题意；
添加∠B=∠DEF，不能证明△ABC≌△DEF，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据SAS可证△ABC≌△DEF；B、根据SSS可证△ABC≌△DEF；C、根据HL可证△ABC≌△DEF；D、无法证明全等.
8．（2020八上·盐城期中）如图，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，
∴若从“ASA”的判定来添加条件，可添加∠A＝∠D，
若从“AAS”的判定来添加条件，可添加∠B＝∠E，
若从“SAS”的判定来添加条件，可添加BC＝EF或BF＝EC，
故答案为：A.
【分析】在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，已知一对对应角相等及其邻边对应相等，要证△ABC与△DEF全等，添加条件：一组角对应相等或已知一对等角的邻边，据此逐一判断即可.
9．（2020八上·泰州月考）用直尺和圆规画一个角等于已知角，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；
以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD.
则∠COD就是所求的角.
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS.
故答案为：D.
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等.
10．（2020八上·泰州月考）如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，AD＝c，则EF的长为（ ）
A．c－a B．c－b C．a－b+c D．a+b－c
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
在 ABF和 CDE中，
，
∴ ABF≌ CDE（AAS），
∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，
∵AD＝c，
∵EF＝AF－AE
＝AF－(AD－DE)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c，
故答案为：D.
【分析】先证明 ABF≌ CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，再结合AD＝c即可求得EF的长.
二、填空题
11．（2020八上·宿迁期中）如图，线段AB//CD，且CE＝BF，请添加一个适当的条件 使ΔABF≌ΔDCE.（只填一个即可）
【答案】CD=AB或∠D=∠A或∠CED=∠AFB
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
故若根据SAS，即可添加CD=AB，
若根据AAS，即可添加∠D=∠A，
若根据ASA，即可添加∠CED=∠AFB，
故答案为：CD=AB或∠D=∠A或∠CED=∠AFB.
【分析】由AB∥CD，可得∠C=∠B，又CE=BF，知一角一邻边，根据SAS、AAS、ASA进行添加即可.
12．（2020八上·东台期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，增加下列条件：①AB=CD；②AC=DB；③∠A=∠D；④∠ABO=∠DCO.能判定△ABC≌△DCB的是 .（填正确答案的序号）
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：能判定△ABC≌△DCB的是①③④，
理由是：①∵在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；③∵在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；④∵∠ABC=∠DCB，∠ABO=∠DCO，
∴∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中 ，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
故答案为：①③④.
【分析】 ①AB=CD，可根据SAS可证△ABC≌△DCB；②AC=DB，可；③∠A=∠D，可根据AAS可证△ABC≌△DCB；④∠ABO=∠DCO，可根据ASA可证△ABC≌△DCB，利用②无法判断△ABC≌△DCB；据此判断即可.
13．（2020八上·东台月考）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则 的度数为 .
【答案】90
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴ =90°.
故答案为：90°.
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
14．（2020八上·东台月考）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 ;
【答案】60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵ ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解.
15．（2020八上·宜兴月考）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝60°则∠D= .
【答案】60°
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BE=CF ，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
∴∠A=∠D=60°，
故答案为：60°.
【分析】易证BC=EF，根据边边边证明三角形全等方法即可求证△ABC≌△DEF即可解题.
16．（2020八上·兴化月考）已知，如图：∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，
添加∠A=∠D后可根据ASA判定△ABC≌△DEF.
故答案为：∠A=∠D.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可.
17．（2020八上·兴化月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝ cm.
【答案】7
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm.
故填7.
【分析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm.
18．（2020八上·高新月考）在如图所示的3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3的度数为 .
【答案】135°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4=∠2，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°.
故答案为：135°.
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠2=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠3=45°，进而可得答案.
19．（2020八上·江阴月考）如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴AD=BC，
而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，
在△ABD与△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
在△ADC与△BCD中，
∴△ADC≌△BCD（SSS）.
故答案为3.
【分析】由OA=OB，OC=OD，∠AOD=∠BOC，根据“SAS”可判断△AOD≌△BOC，则AD=BC，然后根据“SSS”可判断△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD.
20．（2020八上·灌云月考）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC一定全等的图形是 .
【答案】乙和丙
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由SAS可知，图乙与△ABC全等，
由AAS可知，图丙与△ABC全等.
故答案为：乙和丙.
【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,从而逐个判断即可.
三、解答题
21．（2020八上·东海期中）已知：如图，在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 ， ， 与 交于 ，连接 ， ，求证： .
【答案】证明：在 和 中， ，
，
，
由对顶角相等得： ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据SAS可证△AOE≌△AOD，可得∠AOE=∠AOD，再根据ASA可证△AOB≌△AOC，从而可得∠B=∠C.
22．（2020八上·江苏月考）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ，∠B = ∠C ，求证：BD = CE .
【答案】证明：在DABE 与DACD 中，
,
∴DABE ≌ DACD( ASA) .
∴AD = AE ，
∴AB-AD=AC-AE,
故BD = CE .
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】要证BD=CE，只要证AD=AE即可，故需要先证明DABE ≌ DACD.
23．（2020八上·东台月考）如图，AD∥BC，点E是CD 的中点，BE的延长线与AD的延长线交于点F.则△BCE和△FDE全等吗 为什么
【答案】解：△BCE≌△FDE.
理由：∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠FDE,∠CBE=∠DFE，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴△BCE≌△FDE（AAS）,
故答案为△BCE≌△FDE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据AD∥BC，可得∠BCE=∠FDE,∠CBE=∠DFE，点E是CD的中点，可得CE=DE，即可判断△BCE和△FDE全等.
24．（2020八上·宜兴月考）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB=DE，AC=DF，BF=EC.求证：△ABC≌△DEF.
【答案】解：证明： ，
，
，
在 和 中，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】根据BF=EC，可以得到BC=EF，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
25．（2020八上·江阴月考）如图，已知AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC.
【答案】证明：如图，∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴在△AEB与△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
∴AE=AD.
∴在Rt△ADF与Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得△AEB≌△ADC，则对应边AE=AD；然后由HL推知Rt△ADF≌Rt△AEF，在对应角∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC.
26．（2020八上·洪泽月考）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE.
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证明∠BAC=∠DAE，再利用“SAS”可判断△ABC≌△ADE，然后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
27．（2020八上·高新月考）已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：BC=EF.
【答案】解：∵AB∥ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF.
28．（2020八上·高新月考）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE.
【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC.
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）.
∴BC=DE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△ADE，得到BC=DE.
29．（2020八上·沭阳月考）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，∠B=∠E，求证：AC=CD
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC与△CED中，
∵∠B=∠E，AB=CE，∠BAC=∠ECD，
∴△ABC≌△CED（ASA）.
∴AC=CD.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠ECD，进而可根据ASA证明△ABC≌△CED，进一步即可证得结论.
30．（2020八上·沭阳月考）如图，如果AB=AC，那么∠B=∠C吗？请说明理由.
【答案】解：∠B=∠C，理由如下：
如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，根据SAS可证△ABD≌△ACD，进一步即可证得结论.
31．（2020八上·无锡月考）如图，△ABC中，点D在AC边上，AE∥BC，连接ED并延长ED交BC于点F，若AD=CD,求证：ED=FD.
【答案】证明：∵AE∥BC
∴∠EAD=∠C
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴ED=FD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行可得内错角相等，再利用ASA即可判定△ADE≌△CDF，所以ED=FD.
32．（2020八上·无锡月考）如图，点E在 的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若 ， ，证明： .
【答案】证明： ， ，
，
，
，
在 与 中，
，
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先证明 再利用角边角证明 即可.
四、综合题
33．（2021八上·丹徒期末）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E、F.
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：BE=CF.
【答案】（1）证明：
（2）证明：
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由 ，证明 结合 利用ASA可得结论；
（2）由 全等三角形的对应边相等可得 BO=CO,由BE∥CF，根据二直线平行，内错角相等可得∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC，然后利用AAS判断出△OBE≌△OCF，根据全等三角形的对应边相等可得结论.
34．（2021八上·丹阳期末）如图， ，
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明： ， ，
，
，
，
在 和 中， ，
（2）证明：如图，设 交 于 ， 交 于 ，
，
，
， ，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直得到 ，求出 ，利用利用SAS证明△DCB≌△ECA；
（2）设 交 于 ， 交 于 ，根据全等三角形的性质得到 ，再根据已知条件转换即可.
35．（2020八上·阜宁月考）CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
（1）如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF，EF |BE﹣AF|（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
【答案】（1）=；=
（2）∠α+∠BCA＝180°
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）在图1中，
∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，
故答案为＝，＝.
（ 2 ）∠BCA=180°-∠α
在图2中，
∵∠DFA=180°-∠α=∠BCA，
∴∠BCE+∠ACF＝180°-∠α，
∵∠ACF+∠CAF＝180°-∠α，
∴∠BCE＝∠CAF，
在△在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
【分析】（1）根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.（2）证明和（1）类似，根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|.
36．（2020八上·无锡月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF，请从下列三个条件：①AB=DE；②∠A=∠D；③∠ACB=∠DFE中选择一个合适的条件，使AB∥ED成立，并给出证明.
（1）选择的条件是 （填序号）
（2）证明：
【答案】（1）①③
（2）证明：∵FB=CE，∴BC=EF，在△ABC和△EFD中AB=ED，AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△EFD（SSS），∴∠B=∠E，∴AB∥ED.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】（1）选择①AB=ED或③∠ACB=∠DFE即可.故答案为①（答案不唯一）
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理选出合适的条件即可；（2）利用SSS进而判断出全等三角形，得出AB∥ED即可.
37．（2020八上·南京月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°.
（1）求证：BD=CE；
（2）求∠3的度数.
【答案】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
；
∴
（2）解： ，
，
，
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用已知得出 ，进而借助 得出 ，即可得到 ；（2）利用全等三角形的性质得出 ，再利用三角形的外角得出即可.
38．（2020八上·江都月考）已知：如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明：
（1）DF∥CE；
（2）DE＝CF.
【答案】（1）证明： AD＝BC，AC=AD+DC，BD=BC+DC，
AC=BD，
AE＝BF，CE＝DF，
△AEC≌△BFD，
∠1=∠2，
DF∥CE
（2）证明：由（1）易得：∠A=∠B，
AD＝BC，AE＝BF，
△AED≌△BFC，
DE＝CF.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得AC=BD，进而可证△AEC≌△BFD，则有∠1=∠2，然后问题得证；（2）由（1）易得∠A=∠B，进而可证△AED≌△BFC，然后根据全等三角形的性质可证.
39．（2020八上·江都月考）如图，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为G、F，且AG=AF.
求证：
（1）∠EAF=∠DAG；
（2）AD=AE.
【答案】（1）证明： AG⊥BD，AF⊥CE，
∠AFE=∠AGD=90°，
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
，
Rt△AGB≌Rt△AFC；
∴∠BAG=∠CAF，
又∵∠FAG=∠FAG，
∴∠EAF=∠DAG
（2）证明：由（1）可得：∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
△ABD≌△ACE，
AD=AE.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得Rt△AGB≌Rt△AFC，则有∠BAG=∠CAF，进而问题得证；（2）由（1）可得∠B=∠C，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题得证.
40．如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 ．
（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？
（2）你添加的条件是 请用你添加的条件完成证明．
【答案】（1）不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等
（2）∠APO=∠BPO
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）∠APO=∠BPO．
理由：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOP中
∴△AOP≌△BOP（ASA），
故答案为：∠APO=∠BPO．
【分析】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；
（2）添加∠APO=∠BPO，利用ASA判断得出△AOP≌△BOP．
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