初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习

初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2021·泸县）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数 （其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
2．（2021·江都模拟）关于x的一元二次方程 （t为实数）有且只有一个根在 的范围内，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． 或 D．
3．（2021·绥宁模拟）二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
4．（2021·武汉模拟）若方程 在 范围内有实数根，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·青岛模拟）若二次函数 的顶点在第一象限，且经过点 ， ， 则 的变化范围是 （　　）
A． ； B． ； C． ； D．
6．（2021九下·玉门月考）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴相交.则下列关于 、 的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021九下·江油开学考）抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，6） B．（0，﹣6）
C．（﹣6，0） D．（﹣3，0），（2，0）
9．（2021九上·武汉期末）已知二次函数 的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当 时，二次函数的值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
10．（2021九上·民勤期末）抛物线y＝－x2+3x－5与坐标轴的交点的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．（2021·丰台模拟）已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　 　．
12．（2021·黄岛模拟）若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
13．（2021·东台模拟）抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴 ，如图所示，则当 时，x的取值范围是　 　.
14．（2021九下·武汉月考）抛物线 经过点 ， 两点，则不等式 的解集是　 　.
15．（2021·下陆模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为　 　.
16．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　 　.
17．（2021九上·临海期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为　 　
18．（2021九上·崇左期末）如果抛物线 与x轴有交点，那么a的取值范围是　 　.
19．（2020九上·丰台期末）抛物线 与x轴有且只有1个公共点，则b=　 　．
20．（2021九上·西林期末）如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 　 　 .
三、解答题
21．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
22．（2020九上·德惠期末）若抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标．
23．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
24．（2020九上·袁州期中）若抛物线 与 轴只有一个交点，求实数 的值．
25．（2020九上·宜春月考）已知抛物线的解析式为 ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
26．（2020九上·大庆月考）已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
27．（2020九上·大庆月考）已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，求这三个交点的坐标，求出顶点坐标，并直接写出当x2-4x+3＞0时，x的取值范围．
28．（2020九上·北京月考）若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
29．（2020九上·澧县期末）已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
30．（2019九上·台江期中）抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．
四、综合题
31．（2021·镇平模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.
32．（2021九下·渝北月考）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下.
（1）补全下表，在所给坐标系中画出函数的图象：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 　 　 　 　 …
（2）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有　 　个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是　 　.
33．（2021九上·淮安期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 …
y … 0 ﹣1 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为　 　；
不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为　 　.
34．（2020九上·蚌埠月考）已知关于x的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
35．（2020九上·广州期中）如图，已知抛物线y=x2＋2x-3，与x轴的两个交点分别是A，B（A在B的左侧）．
（1）求A，B的坐标；
（2）利用函数图象，求当y<5时x的取值范围．
36．（2020九上·多伦期中）已知二次函数 （m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
37．（2020九上·南开月考）已知二次函数 .
（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当 取何值时， ？
（3）直接写出当 时，求 的取值范围．
38．（2020九上·永定期中）已知抛物线 ，直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求 的面积；
（3）若线段 与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．
39．（2020九上·北京月考）利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；
（2）已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(结果保留两位有效数字)．
40．（2020九上·丰台期中）已知二次函数 的图象与 轴有公共点．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求此时二次函数与 轴的交点坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴ ，
∵二次函数 （其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，
∴ ，
，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴ ，
∴0＜a＜4.
故答案为：D.
【分析】利用已知可求出直线l为y=4；将y=4代入函数解析式，可得一元二次方程，再根据二次函数的图象与直线l有两个不同的交点，可知b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后根据对称轴在y轴右侧，可知x＞0可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
①当 时，即 ，
原方程为 ，
，满足条件；
②当 时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当 时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当 时，方程的两个根一个在 范围内，另一个在 范围内；
当 时，方程的两个根都在 范围内；
即满足条件的t的范围为 或 ，
故答案为：C.
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当 时，得出 ，②当 时，利用二次函数图象，即可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点.
故答案为：B.
【分析】先求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac＞0，图象与x轴有两个不同的交点；b2﹣4ac=0，图象与x轴有一个交点；b2﹣4ac＜0，图象与x轴没有交点，据此即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设二次函数 和动直线 ，
，
抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时， ，当x=4时， ，
∵方程 在 范围内有实数根，
∴二次函数 和动直线 在 范围内有有公共点，
∴ .
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标（1，-1），再求出x=-1与x=4时的y的值，结合函数图象，利用抛物线 与直线y=t在 范围内有有公共点确定t的范围即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），
∴易得：c=1，a-b+c=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，
得到：0＜a+b+c＜2，
故答案选A
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），再结合函数图象求解即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵A（m，0）是抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2020=2021.
故答案为：D.
【分析】把 代入求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线与y轴负半轴相交， 、 ，
∴
由 ，抛物线开口向上，
∵另一根 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 满足的条件是 ，
故答案为：B.
【分析】由二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，可得 ，由抛物线与y轴负半轴相交，可知 ， 时，抛物线开口向上，另一根 利用函数值得不等式组 解不等式得 ；可得 满足的条件是 .
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=x2+x-6中x=0，得y=-6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6）.
故答案为：B.
【分析】求图象与y轴的交点，可以令x=0，求出对应的y值即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象上有两点A（ ，2023）和B（ ，2023），
∴ 、 是方程 的两个根，
∴ ，
∴当 时，有： ，
故答案为：C.
【分析】由题意可知 、 是方程 的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2的值，再根据x=x1+x2，可求出x的值，将x的值代入函数解析式可求出二次函数的值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于抛物线y=－x2+3x－5，
∵△=9-20=-11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴有一个交点，
∴抛物线y=－x2+3x－5与坐标轴交点个数为1个，
故答案为：B.
【分析】设y=－x2+3x－5，求出b2-4ac，当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，抛物线与y轴只有一个交点，由此可得答案.
11．【答案】0＜m＜1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴当y=0时， ，
解得 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：0＜m＜1．
【分析】根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可。
12．【答案】m＞9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
【分析】由于二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，可得△＜0，据此解答即可.
13．【答案】x＜-1或x＞3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数的对称轴为 ，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图象，当 时，x的取值范围是x＜-1或x＞3，
故答案为：x＜-1或x＞3.
【分析】函数的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性求出其与x轴的另一个交点，求当 时，x的取值范围，就是求x轴下方图象自变量的取值范围，据此即可得出答案.
14．【答案】 或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴
由 的向左平移3个单位得到，
∵抛物线 经过点 ， 两点
∴ 的经过点（-4，t），（2，t），
∵
∴ 开口向上
∴当 或 时
即 的解集为 或
故答案： 或
【分析】将，变形为，由 的向左平移3个单位得到 即得 的一定经过点（-4，t），（2，t），由，抛物线开口向上，结合二次函数的性质进行解答即可.
15．【答案】2或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2＋bx＋c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5.
【分析】利用点A，B的纵坐标相等，可得到当y=4时的x的值，将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，由此可得到点A、B也向右平移了3个单位，可得到x的值即方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解.
16．【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0,
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
17．【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵图象与y轴交于点(0，-3)，
∴c=-3,
∵am2+bm-3=0, an2+bn-3=0, 即am2+bm=3, an2+bn=3,
∴am2+bm+an2+bn=6, 即 a(m2+n2)+b（m+n）=6；
故答案为：6.
【分析】 根据图象与y轴交于点(0，-3)求出c值，根据图象与x轴的交点分别列式，两式联合即可求出a(m2+n2)+b（m+n）的值.
18．【答案】 且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9-4a×1≥0，
∴a≤ ，
故答案为:a≤ 且a≠0.
【分析】根据抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点可得a≠0且b2-4ac≥0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求解.
19．【答案】±4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴有且只有1个公共点，
∴令 =0，
∴ ，
∴ =±4，
故答案为：±4．
【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
20．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是 ， ，
故答案是 ， .
【分析】二次函数与x轴的交点的横坐标即方程 的解，于是看图根据其交点坐标即可得出答案.
21．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
22．【答案】解：∵抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，
∴当y＝0时，方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝0，
解得：k＝ ．
当k＝ 时，该二次函数为：y＝x2+x+ ＝（x+ ）2，
∴顶点坐标是（﹣ ，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】 由于抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点， 可得△=0，求出k值，即可求出顶点坐标.
23．【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
24．【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有两个相等的实数根，
∴该方程根的判别式的值为零，即 ，
∴ .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换成一元二次方程根的判别式的问题求解，列出不等式求解即可。
25．【答案】解：令y=0，
∴ >0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
26．【答案】解：令y＝0，则kx2﹣2x﹣1＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的解，
解得：k＞﹣1且k≠0．
∴实数k的取值范围k＞﹣1且k≠0．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。
27．【答案】解：当x=0时，y=x2-4x+3=3，C（0，3），
当y=0时，x2-4x+3=0，(x-3)(x-1)=0，x=3或x=1，
A(1，0)，B（3，0），
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
抛物线的顶点坐标为（2，-1），
当x2-4x+3＞0时y=x2-4x+3在x轴的上方，x的取值范围是x<1或x 3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】先求出抛物线与轴的人两个焦点坐标，再结合图形求范围即可。
28．【答案】解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程 有两个相等的实数根，
则 ，解得 ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由题意得 ，即可求解．
29．【答案】解：二次函数
∵ ， ， ，
∴
，
而 ，
∴ ，即m为任何实数时， 方程 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】计算判别式，并且配方得到△= ，然后根据判别式的意义得到结论．
30．【答案】解：∵抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同交点，
∴△=4-4m＞0，
解得m＜1．
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
31．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0，
解得m＜ ；
（2）解：m的最大整数为2，
抛物线解析式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
所以A（1，0），B（3，0）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，则方程 x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相同的实数根，由一元二次方程的判别式△＞0列不等式求解即可；
（2）根据（1）求出m的范围，找出m的最大整数，代入抛物线方程，令y=0，求解即可解答.
32．【答案】（1）解：根据函数的对称性补全的表格和图象如下：
（2）解：本题答案不唯一，
①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大
（3）3；3；2；﹣1＜a＜0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（3）从图象可以看出：
①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有2个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是:﹣1＜a＜0；
故：答案为：①3，3；②2；③﹣1＜a＜0.
【分析】 （1）根据函数的对称性补全的表格，并依据表格数据画出函数的图象即可；
（2）本题答案不唯一，符合题意即可。例如：①函数y＝x2 2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）观察图象即可求解．
33．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3)，
把(2，-1)代入得：a(2-1)(2-3)=-1，
解得a=1，
所以该二次函数的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3；
（2）x＜1或x＞3；0＜x＜4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由(1)知，该函数解析式为y=(x 1)(x 3)，则该抛物线的开口方向向上，
∵y>0时，
∴x＜1或x＞3；
∵y<3，
∴0＜x＜4.
故答案为：x＜1或x＞3；0＜x＜4.
【分析】（1）由表格可得抛物线与x轴的交点坐标，设交点式，将 (2，-1)代入即可出结论；
（2）利用二次函数图象，求不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是求x轴上方部分相应的自变量的取值范围， 求不等式ax2＋bx＋c＜3的解集就是求抛物线在直线y=3下方的图象的自变量的取值范围.
34．【答案】（1）解： ，
， ，
二次函数 的图象与x轴有两个交点；
（2）解：当 时，二次函数为 ，令 ，
则 ，
解得 或 ， 与x轴交点为 ， ，
两交点间的距离为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数与x轴的交点坐标，再求两点之间的距离即可。
35．【答案】（1）当x ＋2x-3=0时，计算得出x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0)；
（2）当y=5时，x ＋2x-3=5，整理得x ＋2x-8=0，计算得出x1=-4，x2=2，
由函数图象可得，当-4【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2+2x-3=0即可得到A点和B点坐标；（2）先计算出y=5所对应的自变量的值，然后根据二次函数图象求解．
36．【答案】（1）解：∵ ，
∴方程 没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）解：∵ ，
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
37．【答案】（1）解： ，与 轴交于 ，
令 得 .
解得： ， ，
∴抛物线与 轴交点为 ，
（2）解：如图，∵抛物线与 轴交点为 ，
∴当 时， 或 ；
（3）解：如图，
∵ =2（x+1）2-8
∴当x=-1时，y最小值为-8
当x=-4时，y=2（-4+1）2-8=10
∴当 时，求 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）令x=0，即可得到答案；
（2）根据函数图象和x轴的交点，求出答案即可；
（3）将函数化为顶点式，根据函数的图象和性质求出y的取值范围即可。
38．【答案】（1）证明：∵
∴抛物线与x轴必有公共点
（2）解：∵
∴其定点C的横坐标为
又∵定点C在直线 上，所以定点C的坐标为
把点 代入抛物线 中，解得
∴抛物线方程为
∴抛物线与x轴的交点分别为 和
∴
∴
（3）解：当 时， ，则N为
当 时， ，即M为
∵拋物线的对称轴为
∴分两种情况：
①由 ，得
∴ ，解得 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点；
②当 ，解得 或 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是 或 或 ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线于x轴的交点问题转化为求一元二次方程根的判别式的问题求解即可；（2）求出点C的坐标，在利用三角形的面积计算公式计算即可；（3）将直线解析式与抛物线解析式联立方程，利用二次函数与x轴的交点情况，分类讨论求解即可。
39．【答案】（1）答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的解为x≈1.5.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】（1）由范例可得应把x2-2x-1=0进行整理，也可得到x2-1=2x，那么可得y=x2-1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解．（2）把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解．
40．【答案】（1）解： 二次函数与 轴有公共点
（2）解： 为正整数
令
二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将二次函数的问题转化为一元二次方程根的判别式的问题；（2）根据题意，求m具体的值，再代入求解即可。
1 / 1初中数学苏科版九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2021·泸县）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数 （其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
直线l：y=4，
，
∴ ，
∵二次函数 （其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，
∴ ，
，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴ ，
∴0＜a＜4.
故答案为：D.
【分析】利用已知可求出直线l为y=4；将y=4代入函数解析式，可得一元二次方程，再根据二次函数的图象与直线l有两个不同的交点，可知b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后根据对称轴在y轴右侧，可知x＞0可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围.
2．（2021·江都模拟）关于x的一元二次方程 （t为实数）有且只有一个根在 的范围内，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
①当 时，即 ，
原方程为 ，
，满足条件；
②当 时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当 时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当 时，方程的两个根一个在 范围内，另一个在 范围内；
当 时，方程的两个根都在 范围内；
即满足条件的t的范围为 或 ，
故答案为：C.
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当 时，得出 ，②当 时，利用二次函数图象，即可得出结论.
3．（2021·绥宁模拟）二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．0 D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点.
故答案为：B.
【分析】先求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac＞0，图象与x轴有两个不同的交点；b2﹣4ac=0，图象与x轴有一个交点；b2﹣4ac＜0，图象与x轴没有交点，据此即可得出答案.
4．（2021·武汉模拟）若方程 在 范围内有实数根，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设二次函数 和动直线 ，
，
抛物线的顶点坐标为（1，-1），
当x=-1时， ，当x=4时， ，
∵方程 在 范围内有实数根，
∴二次函数 和动直线 在 范围内有有公共点，
∴ .
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标（1，-1），再求出x=-1与x=4时的y的值，结合函数图象，利用抛物线 与直线y=t在 范围内有有公共点确定t的范围即可.
5．（2021·青岛模拟）若二次函数 的顶点在第一象限，且经过点 ， ， 则 的变化范围是 （　　）
A． ； B． ； C． ； D．
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），
∴易得：c=1，a-b+c=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，
得到：0＜a+b+c＜2，
故答案选A
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），再结合函数图象求解即可。
6．（2021九下·玉门月考）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵A（m，0）是抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2020=2021.
故答案为：D.
【分析】把 代入求解即可.
7．（2021九下·苏州开学考）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴相交.则下列关于 、 的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线与y轴负半轴相交， 、 ，
∴
由 ，抛物线开口向上，
∵另一根 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 满足的条件是 ，
故答案为：B.
【分析】由二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，可得 ，由抛物线与y轴负半轴相交，可知 ， 时，抛物线开口向上，另一根 利用函数值得不等式组 解不等式得 ；可得 满足的条件是 .
8．（2021九下·江油开学考）抛物线y＝x2+x﹣6与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，6） B．（0，﹣6）
C．（﹣6，0） D．（﹣3，0），（2，0）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=x2+x-6中x=0，得y=-6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-6）.
故答案为：B.
【分析】求图象与y轴的交点，可以令x=0，求出对应的y值即可.
9．（2021九上·武汉期末）已知二次函数 的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当 时，二次函数的值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象上有两点A（ ，2023）和B（ ，2023），
∴ 、 是方程 的两个根，
∴ ，
∴当 时，有： ，
故答案为：C.
【分析】由题意可知 、 是方程 的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2的值，再根据x=x1+x2，可求出x的值，将x的值代入函数解析式可求出二次函数的值.
10．（2021九上·民勤期末）抛物线y＝－x2+3x－5与坐标轴的交点的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于抛物线y=－x2+3x－5，
∵△=9-20=-11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴有一个交点，
∴抛物线y=－x2+3x－5与坐标轴交点个数为1个，
故答案为：B.
【分析】设y=－x2+3x－5，求出b2-4ac，当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，抛物线与y轴只有一个交点，由此可得答案.
二、填空题
11．（2021·丰台模拟）已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　 　．
【答案】0＜m＜1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴当y=0时， ，
解得 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：0＜m＜1．
【分析】根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可。
12．（2021·黄岛模拟）若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＞9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
【分析】由于二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，可得△＜0，据此解答即可.
13．（2021·东台模拟）抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴 ，如图所示，则当 时，x的取值范围是　 　.
【答案】x＜-1或x＞3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数的对称轴为 ，抛物线和x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图象，当 时，x的取值范围是x＜-1或x＞3，
故答案为：x＜-1或x＞3.
【分析】函数的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性求出其与x轴的另一个交点，求当 时，x的取值范围，就是求x轴下方图象自变量的取值范围，据此即可得出答案.
14．（2021九下·武汉月考）抛物线 经过点 ， 两点，则不等式 的解集是　 　.
【答案】 或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴
由 的向左平移3个单位得到，
∵抛物线 经过点 ， 两点
∴ 的经过点（-4，t），（2，t），
∵
∴ 开口向上
∴当 或 时
即 的解集为 或
故答案： 或
【分析】将，变形为，由 的向左平移3个单位得到 即得 的一定经过点（-4，t），（2，t），由，抛物线开口向上，结合二次函数的性质进行解答即可.
15．（2021·下陆模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为　 　.
【答案】2或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2＋bx＋c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5.
【分析】利用点A，B的纵坐标相等，可得到当y=4时的x的值，将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，由此可得到点A、B也向右平移了3个单位，可得到x的值即方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解.
16．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0,
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
17．（2021九上·临海期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为　 　
【答案】6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵图象与y轴交于点(0，-3)，
∴c=-3,
∵am2+bm-3=0, an2+bn-3=0, 即am2+bm=3, an2+bn=3,
∴am2+bm+an2+bn=6, 即 a(m2+n2)+b（m+n）=6；
故答案为：6.
【分析】 根据图象与y轴交于点(0，-3)求出c值，根据图象与x轴的交点分别列式，两式联合即可求出a(m2+n2)+b（m+n）的值.
18．（2021九上·崇左期末）如果抛物线 与x轴有交点，那么a的取值范围是　 　.
【答案】 且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9-4a×1≥0，
∴a≤ ，
故答案为:a≤ 且a≠0.
【分析】根据抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点可得a≠0且b2-4ac≥0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求解.
19．（2020九上·丰台期末）抛物线 与x轴有且只有1个公共点，则b=　 　．
【答案】±4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴有且只有1个公共点，
∴令 =0，
∴ ，
∴ =±4，
故答案为：±4．
【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
20．（2021九上·西林期末）如图，若关于 的二次函数 的图象与 轴交于两点，那么方程 的解是 　 　 .
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象与 轴交于两点 ， ，则方程一元二次方程 的解是 ， ，
故答案是 ， .
【分析】二次函数与x轴的交点的横坐标即方程 的解，于是看图根据其交点坐标即可得出答案.
三、解答题
21．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
22．（2020九上·德惠期末）若抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，求k的值及顶点坐标．
【答案】解：∵抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点，
∴当y＝0时，方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2＝0，
解得：k＝ ．
当k＝ 时，该二次函数为：y＝x2+x+ ＝（x+ ）2，
∴顶点坐标是（﹣ ，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】 由于抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2与x轴只有一个交点， 可得△=0，求出k值，即可求出顶点坐标.
23．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
24．（2020九上·袁州期中）若抛物线 与 轴只有一个交点，求实数 的值．
【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有两个相等的实数根，
∴该方程根的判别式的值为零，即 ，
∴ .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换成一元二次方程根的判别式的问题求解，列出不等式求解即可。
25．（2020九上·宜春月考）已知抛物线的解析式为 ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
【答案】解：令y=0，
∴ >0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
26．（2020九上·大庆月考）已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
【答案】解：令y＝0，则kx2﹣2x﹣1＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的解，
解得：k＞﹣1且k≠0．
∴实数k的取值范围k＞﹣1且k≠0．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】根据题意将该题转化为求一元二次方程根的判别式求解。
27．（2020九上·大庆月考）已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，求这三个交点的坐标，求出顶点坐标，并直接写出当x2-4x+3＞0时，x的取值范围．
【答案】解：当x=0时，y=x2-4x+3=3，C（0，3），
当y=0时，x2-4x+3=0，(x-3)(x-1)=0，x=3或x=1，
A(1，0)，B（3，0），
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
抛物线的顶点坐标为（2，-1），
当x2-4x+3＞0时y=x2-4x+3在x轴的上方，x的取值范围是x<1或x 3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】先求出抛物线与轴的人两个焦点坐标，再结合图形求范围即可。
28．（2020九上·北京月考）若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
【答案】解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程 有两个相等的实数根，
则 ，解得 ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由题意得 ，即可求解．
29．（2020九上·澧县期末）已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；
【答案】解：二次函数
∵ ， ， ，
∴
，
而 ，
∴ ，即m为任何实数时， 方程 都有两个不等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴都有两个交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】计算判别式，并且配方得到△= ，然后根据判别式的意义得到结论．
30．（2019九上·台江期中）抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】解：∵抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同交点，
∴△=4-4m＞0，
解得m＜1．
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
四、综合题
31．（2021·镇平模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.
【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0，
解得m＜ ；
（2）解：m的最大整数为2，
抛物线解析式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
所以A（1，0），B（3，0）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，则方程 x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相同的实数根，由一元二次方程的判别式△＞0列不等式求解即可；
（2）根据（1）求出m的范围，找出m的最大整数，代入抛物线方程，令y=0，求解即可解答.
32．（2021九下·渝北月考）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下.
（1）补全下表，在所给坐标系中画出函数的图象：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 　 　 　 　 …
（2）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有　 　个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是　 　.
【答案】（1）解：根据函数的对称性补全的表格和图象如下：
（2）解：本题答案不唯一，
①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大
（3）3；3；2；﹣1＜a＜0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（3）从图象可以看出：
①函数图象与x轴有3个交点，所以对应方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有2个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，a的取值范围是:﹣1＜a＜0；
故：答案为：①3，3；②2；③﹣1＜a＜0.
【分析】 （1）根据函数的对称性补全的表格，并依据表格数据画出函数的图象即可；
（2）本题答案不唯一，符合题意即可。例如：①函数y＝x2 2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（3）观察图象即可求解．
33．（2021九上·淮安期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 …
y … 0 ﹣1 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为　 　；
不等式ax2＋bx＋c＜3的解集为　 　.
【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3)，
把(2，-1)代入得：a(2-1)(2-3)=-1，
解得a=1，
所以该二次函数的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3；
（2）x＜1或x＞3；0＜x＜4
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（2）由(1)知，该函数解析式为y=(x 1)(x 3)，则该抛物线的开口方向向上，
∵y>0时，
∴x＜1或x＞3；
∵y<3，
∴0＜x＜4.
故答案为：x＜1或x＞3；0＜x＜4.
【分析】（1）由表格可得抛物线与x轴的交点坐标，设交点式，将 (2，-1)代入即可出结论；
（2）利用二次函数图象，求不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是求x轴上方部分相应的自变量的取值范围， 求不等式ax2＋bx＋c＜3的解集就是求抛物线在直线y=3下方的图象的自变量的取值范围.
34．（2020九上·蚌埠月考）已知关于x的二次函数 ．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
【答案】（1）解： ，
， ，
二次函数 的图象与x轴有两个交点；
（2）解：当 时，二次函数为 ，令 ，
则 ，
解得 或 ， 与x轴交点为 ， ，
两交点间的距离为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出二次函数与x轴的交点坐标，再求两点之间的距离即可。
35．（2020九上·广州期中）如图，已知抛物线y=x2＋2x-3，与x轴的两个交点分别是A，B（A在B的左侧）．
（1）求A，B的坐标；
（2）利用函数图象，求当y<5时x的取值范围．
【答案】（1）当x ＋2x-3=0时，计算得出x1=-3，x2=1，∴A(-3，0)，B(1，0)；
（2）当y=5时，x ＋2x-3=5，整理得x ＋2x-8=0，计算得出x1=-4，x2=2，
由函数图象可得，当-4【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2+2x-3=0即可得到A点和B点坐标；（2）先计算出y=5所对应的自变量的值，然后根据二次函数图象求解．
36．（2020九上·多伦期中）已知二次函数 （m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）解：∵ ，
∴方程 没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）解：∵ ，
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数 的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案.（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
37．（2020九上·南开月考）已知二次函数 .
（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（2）直接写出当 取何值时， ？
（3）直接写出当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）解： ，与 轴交于 ，
令 得 .
解得： ， ，
∴抛物线与 轴交点为 ，
（2）解：如图，∵抛物线与 轴交点为 ，
∴当 时， 或 ；
（3）解：如图，
∵ =2（x+1）2-8
∴当x=-1时，y最小值为-8
当x=-4时，y=2（-4+1）2-8=10
∴当 时，求 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）令x=0，即可得到答案；
（2）根据函数图象和x轴的交点，求出答案即可；
（3）将函数化为顶点式，根据函数的图象和性质求出y的取值范围即可。
38．（2020九上·永定期中）已知抛物线 ，直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求 的面积；
（3）若线段 与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵
∴抛物线与x轴必有公共点
（2）解：∵
∴其定点C的横坐标为
又∵定点C在直线 上，所以定点C的坐标为
把点 代入抛物线 中，解得
∴抛物线方程为
∴抛物线与x轴的交点分别为 和
∴
∴
（3）解：当 时， ，则N为
当 时， ，即M为
∵拋物线的对称轴为
∴分两种情况：
①由 ，得
∴ ，解得 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点；
②当 ，解得 或 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是 或 或 ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线于x轴的交点问题转化为求一元二次方程根的判别式的问题求解即可；（2）求出点C的坐标，在利用三角形的面积计算公式计算即可；（3）将直线解析式与抛物线解析式联立方程，利用二次函数与x轴的交点情况，分类讨论求解即可。
39．（2020九上·北京月考）利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；
（2）已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(结果保留两位有效数字)．
【答案】（1）答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．
（2）在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，
∴方程的解为x≈1.5.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】（1）由范例可得应把x2-2x-1=0进行整理，也可得到x2-1=2x，那么可得y=x2-1和y=2x两图象交点的横坐标就是该方程的解．（2）把方程x3-x-2=0整理得x3=x+2，那么可得y=x3和y=x+2两图象交点的横坐标就是该方程的解．
40．（2020九上·丰台期中）已知二次函数 的图象与 轴有公共点．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求此时二次函数与 轴的交点坐标．
【答案】（1）解： 二次函数与 轴有公共点
（2）解： 为正整数
令
二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将二次函数的问题转化为一元二次方程根的判别式的问题；（2）根据题意，求m具体的值，再代入求解即可。
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