2021-2022学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
2.2.1 双曲线及其标准方程
第一课时
F
2
F
1
M
x
O
y
平昌县得胜中学
胡 胜
一、复习
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|)
的点的轨迹是
平面内与两定点F1、F2的距离的
二 、引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？同学们，先观察一段动
画，然后总结
平面内与两定点F1、F2的距离的
椭圆
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
上面 两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
F
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（2a< |F1F2|）
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
三、双曲线定义
| |MF1| - |MF2| | = 2a
对双曲线定义的两点说明：
(1)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,且点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左支上.
(2)在双曲线定义中,规定2a<|F1F2|,若把|F1F2|用2c表示,则
当2a<2c时,P的轨迹为双曲线.
当2a=2c时,P的轨迹为以F1,F2为端点的两条射线.
当2a>2c时,动点P的轨迹不存在.
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
法拉利主题公园
生活中的双曲线
x
y
o
　　　设P（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
F1
F2
P
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
　　　以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角
坐标系
1. 建系.
2.设点．
3.列式． | |MF1| - |MF2| | = 2a
4.化简.
四、如何求双曲线的标准方程？
移项两边平方后整理得：
两边再平方后整理得：
由双曲线定义知：
设
代入上式整理得：
F1
F2
y
x
o
y2
a2
-
x2
b2
=
1
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 （推导过程略）
想一想
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程:
焦点在x轴上
焦点在y轴上
注：双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式,即Ax2+By2=1(AB<0)而椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，而椭圆的焦点所在位置与分母的大小有关,所以由方程定焦点：椭圆看大小，双曲线看符号
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）
F(±5,0)
F(0,±5)
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
　　一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双
　　曲线的标准方程.
∵　2a = 6,　c=5
∴　a = 3, c = 5
∴　b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为：
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
解:
点P的轨迹为双曲线
五、课堂练习
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
2）a= ，c=4 ，焦点在坐标轴上.
解：双曲线的标准方程为
:
2.已知双曲线过P1(-2 , )和P2( ,4)两点,求双曲线
的标准方程.
∵双曲线的焦点位置不确定,∴可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0).
∵P1,P2在双曲线上,
∴ 解得
故所求双曲线方程为
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
又|AB|=800
又800>|PA|-|PB|=680>0,所以 x>0
例3.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A
和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根
据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2
的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M
的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
例4、如果方程 表示双曲线，求m的范围
解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
m-1
+
2-m
=
1
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
六、总结
定 义
标准 方 程
焦 点
a.b.c的关系
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）
作业 ：
习题 2. 2A组 3、(1)(2)