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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第10章空间直线与平面单元综合培优专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市进才中学高二期中）已知棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱上的动点，且，设与所成的角为，与所成的角，则的最小值（ ）
A．不存在 B．等于 C．等于 D．等于
2．（2021·徐汇区·上海中学高二月考）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，且，点，直线，则
3．（2021·上海高二专题练习）若、是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）
A．过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行
B．过直线至多可以作一个平面与直线垂直
C．唯一存在一个平面与直线、等距
D．可能存在平面与直线、都垂直
4．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为.对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角.以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
5．（2021·上海高二专题练习）在棱长为的正方体中，如果、分别为和的中点，那么直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·上海虹口·高二期末）正方体中，为线段，上的一个动点，则下列错误的是（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．直线直线.
7．（2021·上海高二专题练习）已知正方体记过点A且与三直线 、所成的角都相等的直线的条数为,过点 与三个平面 所成角都相等的直线的条数为则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海高二专题练习）三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（ ）
A．一条 B．两条 C．无数条 D．没有
9．（2021·上海高二专题练习）如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·上海高二专题练习）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）如图，三棱锥中，若，，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为_________.
12．（2021·上海高二专题练习）已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．
13．（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）已知三棱锥中，，，则三棱锥的体积是____________．
14．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）下列命题中正确的个数为_____________个
①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
④若，，则；
15．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）如图，空间四边形ABCD的对角线AC=BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，且，则MN等于_____________
16．（2021·上海市新场中学高二期中）如图，边长为2的正方体ABCD外有一点P，且PA垂直于平面ABCD，PA=3，则PC与平面ABCD所成角的大小是___________(结果用反三角函数值表示).
17．（2021·上海市行知中学高二月考）已知直线l与平面成角，直线，若直线l在内的射影与直线m也成角，则l与m所成的角的大小是___________.
18．（2021·上海市建平中学高二月考）在空间四边形中，， 分别是对角线 的中点，若异面直线 所成角的大小为，则的长为___________.
19．（2021·上海市建平中学高二月考）在四面体中，已在棱的长为，其余各棱长都为1，则与面的所成角大小为___________（用反三角函数表示）．
20．（2021·上海高二专题练习）在棱长为1的正方体中，M为线段上的动点，则（1）三棱锥的体积为定值；（2）；（3）的最大值为90°；（4）的最小值为2.其中正确的序号是_________.
三、解答题
21．（2021·上海市新场中学高二期中）如图，是边长为的正三角形，点是所在平面外一点，且平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）是的中点，求直线和平面所成角的大小.
22．（2021·上海虹口·高二期末）已知如图①，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：
（1）求证：BC平面ABE；
（2）若P为AC的中点，求二面角的余弦值.
23．（2021·上海市实验学校高二期中）某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B，已知AB与地面所成角的大小为，点A在地面上的射影为H，如图，请在地面上选定点M，使得达到最大值.
24．（2021·上海市实验学校高二期中）如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，，点是线段上任意一点.
（1）求证：；
（2）当长为多少时，与平面所成角的大小为.
25．（2021·上海市七宝中学）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．是中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．
26．（2021·上海闵行区·闵行中学高二期末）如图，已知正方体的边长为2，E是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）若P是线段上的动点，求点P到平面的距离的取值范围.
27．（2021·上海市大同中学高二期末）四棱锥中，平面，底面是菱形，，，点是棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角为时，求．
28．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点，在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）设平面与直线交于点，求的值．
29．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
30．（2021·上海市实验学校高二期末）已知四棱锥的底面是正方形，平面，是上的任意一点.
（1）求证：平面平面；
（2）设，，求点到平面的距离；
（3）当的值为多少时，二面角的大小为.
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