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专题01空间点、直线、平面之间的位置关系综合题专练
（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市松江二中高二月考）已知直线a，b及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
2．（2021·上海杨浦·复旦附中 ( http: / / www.21cnjy.com )高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）21教育网
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A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
3．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ）
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A．（1）为真命题；（2）为真命题 B．（1）为真命题；（2）为假命题
C．（1）为假命题；（2）为真命题 D．（1）为假命题；（2）为假命题
4．（2021·上海普陀·曹杨二中高二月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（ ）
A．四边形 B．空间三点
C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线
5．（2021·上海市大同中学）已知和是成角的两条直面直线，则过空间一点且与都成角的直线共有（ ）21cnjy.com
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
6．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，与所成角和与所成角相等，则
7．（2021·上海市洋泾中学高二月考）关于直线、及平面、，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．（2021·上海市建平中学高二月考）的三边长分别3 4 5，为所在平面外一点，令集合{为所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合的子集个数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（2021·上海市亭林中学高二期中）设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为（ ）2·1·c·n·j·y
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．平行、相交或异面
10．（2021·上海市进才中学高二期中）已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．直线与是异面直线
B．直线在上的射影可能与平行
C．过有且只有一个平面与平行
D．过有且只有一个平面与垂直
二、填空题
11．（2021·上海奉贤区·高二期末）在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑中，侧棱底面，，，，则异面直线与所成角的大小为______．
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12．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为________
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13．（2021·上海静安·高二期末）如图，三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，且，若M是BC的中点，则异面直线PM与AC所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）21·世纪*教育网
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14．（2021·上海市复兴高级中学）四面体中，，，则异面直线与的距离为________
15．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）已知空间四边形，，且与所成的角为，设、分别是、的中点，则的长度为______．
16．（2021·徐汇区·上海中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高二月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.www-2-1-cnjy-com
17．（2021·上海市中国中学高二月考）一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______．2-1-c-n-j-y
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18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）如图，是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线(其中i是正整数)，质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是___________.
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19．（2021·上海徐汇区·位育中学）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，用过三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________21*cnjy*com
20．（2021·上海市建平中学高二月考）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.
三、解答题
21．（2021·上海市松江二中高二月考）在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点.【版权所有：21教育】
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（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示）
22．（2021·上海市西南位育中学高二期中）长方体中，，点是棱的中点.
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（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
23．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面，并求出这截面的周长.
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24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点．【出处：21教育名师】
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（1）若，求异面直线和所成角的正切值；
（2）若．试证明：平面．
25．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为1．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求二面角平面角大小的余弦值；
（3）在直线上是否存在一个动点，使得在平面的投影恰好为的重心，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．21教育名师原创作品
26．（2021·上海市大同中学）如图，在四棱锥中，面，，为线段上的点.
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（1）证明：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值；
（3）在（2）的条件下求异面直线与所成角的余弦值.
27．（2021·上海市大同中学）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：21*cnjy*com
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（1）D1，M，N，C四点共面；
（2）D1M、DA、CN三线共点．
28．（2021·上海市中国中学高二月考）已知空间四边形各边及对角线的长都是1．
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（1）求边、的距离；
（2）求异面直线与所成角大小．
29．（2021·上海市建平中学高二月考）如图，已在正四棱锥，，底面边长为4，为的中点.
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（1）求作平面与正四棱锥的截面；
（2）求二面角的大小.
30．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，.点分别是棱的中点.
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（1）求证：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
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专题01空间点、直线、平面之间的位置关系综合题专练
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市松江二中高二月考）已知直线a，b及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（ ）21教育网
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据空间中点，线，面的位置关系及有关的判定定理，性质定理即可判断出正确命题.
【详解】
①若，则可能或者；
②若，则可能，或者直线与平面相交；
③若，则可能或者；
④若，则由线面垂直的性质定理可得.
故选：B.
2．（2021·上海杨浦·复旦附中高二 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项．
【详解】
由平面展开图可得原正方体如图所示：
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由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；
连接，则为等边三角形，
而，故或其补角为与所成的角，
因为，故与所成的角为，故③正确；
因为，又平面，所以，故平面
又平面，所以，则④正确；
综上，正确命题的序号为：③④．
故选：C．
3．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1）为真命题；（2）为真命题 B．（1）为真命题；（2）为假命题
C．（1）为假命题；（2）为真命题 D．（1）为假命题；（2）为假命题
【答案】B
【分析】
作出过与两直线相交的直线判断①；通过平移直线，，结合异面直线所成角的概念判断②．
【详解】
解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面，
直线必与 相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题；
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分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，，都成角，故②为假命题．
①为真命题，②为假命题．
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故选：B
4．（2021·上海普陀·曹杨二中高二月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（ ）
A．四边形 B．空间三点
C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线
【答案】C
【分析】
利用平面的基本性质，对四个选项逐一判断即可得解.
【详解】
对于选项A，四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，所以选项A不正确；
对于选项B，空间三点如果在一条直线上，所以不能确定一个平面，所以选项B不正确；
对于选项C，设这四条直线分别为、、、，取其中两条相交直线和，则它们可确定一个平面，取，设其与、的交点分别为A、B，则由题意知这两点不同，且，，所以有A、，从而；同理可证明，所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，所以选项C正确；21·世纪*教育网
对于选项D，交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的条棱，不能确定一个平面，所以选项D不正确.
故选：C．
5．（2021·上海市大同中学）已知和是成角的两条直面直线，则过空间一点且与都成角的直线共有（ ）21*cnjy*com
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】B
【分析】
将直线平移，使两直线经过点，设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，结合图形，然后通过线线之间的关系进行分析求解，即可得到答案.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
将直线平移，使两直线经过点，如图所示
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设直线所成角的角平分线为，
过点垂直于直线所在平面的直线为，
因为所成角为，当直线经过点且直线
在直线所在平面内且垂直于直线，
此时与直线所成角均为；
当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋
转，此时与直线所成角相等，且所成角从
变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，
综上所述，过空间定点与成角的直线共有条.
故选：B.
6．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）21*cnjy*com
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，与所成角和与所成角相等，则
【答案】A
【分析】
对选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即可判断A正确，对选项B，C，D，借助长方体和正方体依次判断即可得到答案.
【详解】
对选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即可判断A正确；
对选项B，在长方体中，如图所示：
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满足，，，此时与的位置关系为异面，故B错误；
对选项C，在长方体中，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
满足，，，此时与相交，故C错误；
对选项D，在正方体中，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
满足，与所成角和与所成角相等，此时与相交，故C错误；
故选：A
7．（2021·上海市洋泾中学高二月考）关于直线、及平面、，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】
根据已知条件判断直线、的位置关系，可判断ABC选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，则与平面内的直线平行或异面，
因为，则与平行或异面，A选项错误；
对于B选项，，过直线的平面与的交线满足，
，，，故，B选项正确；
对于C选项，若，，则与平行、相交或异面，C选项错误；
对于D选项，若，，则、或与相交，D选项错误.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：对于空间线面位置关系的组合 ( http: / / www.21cnjy.com )判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．2·1·c·n·j·y
8．（2021·上海市建平中学高二月考）的三边长分别3 4 5，为所在平面外一点，令集合{为所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】
分别讨论在平面上的射影在的内部和外部，计算直角三角形的内切圆的半径和旁切圆的半径，结合勾股定理，可得结论．
【详解】
解：若在平面上的射影在的内部，可得射影为的内心，
可得内切圆的半径为，存在两个点（平面的上下两侧）；
若在平面上的射影在的外部，可得射影为的旁心（三角形的外角平分线的交点）．
若与斜边相切，则旁切圆的半径大于3，不成立；
若与边长为3的边相切，可得旁切圆的半径小于3，成立，且有两个点；
若与边长为4的边相切，可得旁切圆的半径为，不成立．
综上可得，这样的点共有4个，
则的子集个数为．
故选：．
9．（2021·上海市亭林中学高二期中）设直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为（ ）
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．平行、相交或异面
【答案】D
【分析】
两条平行线可以和一个平面成相等的角；两条相交线可以和一个平面成相等的角；两条异面直线可以和一个平面成相等的角.
【详解】
棱柱的侧棱所在直线与底面成等角，所以两条平行直线可以和一个平面成相等的角；
一个圆锥的所有母线所在直线与圆锥底面成等角，非重合母线是相交的；
将一条母线平移，与其中一条母线成异面直线，可知两条异面直线可以和一个平面成等角；
则直线与平面所成的角相等，则直线的位置关系为平行、相交或异面，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关空间两直线位置关系的判断，方法如下：
（1）结合几何体，判断空间直线与平面成等角对应的特征；
（2）结合几何体，可以得出与平面成等角的两条直线可以平行，可以相交，也可以异面，从而得到结果.
10．（2021·上海市进才中学高二期中）已知平面，B，，，且，，且，则下列叙述错误的是（ ）
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A．直线与是异面直线
B．直线在上的射影可能与平行
C．过有且只有一个平面与平行
D．过有且只有一个平面与垂直
【答案】D
【分析】
利用反证法判断选项正确；举例说明选项正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项错误．
【详解】
对于选项，若直线与是共面直线，设与共面，
不共线的三点，，均在与内，与重合，
又不共线的三点，，均在与内，与重合，则与重合，与矛盾，
故直线与是异面直线，所以选项正确；
对于选项，当，，且二面角为锐二面角时，直线在上的射影与平行，所以选项正确；
对于选项，在上任取一点，过该点作的平行线，则由与确定一个平面，该平面与平行，
若过另外有平面与平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线外的一点有两条直线与平行，
与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项正确；
对于选项，只有当与异面垂直时，过有且只有一个平面与，否则，不存在过与垂直的平面，故选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
二、填空题
11．（2021·上海奉贤区·高二期末）在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑中，侧棱底面，，，，则异面直线与所成角的大小为______．
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【答案】或.
【分析】
由题意，把底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑补成一个长方体，分，和三种情况讨论，结合异面直线所成角的求法，即可求解.
【详解】
由题意，把底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑补成一个长方体，其中在鳖臑中，侧棱底面，，，，
当底面直角中，角时， 如图（1）所示：
在长方体中，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为，，，
可得，，，
在中，由余弦定理可得，
所以异面直线与所成的角为；
当底面直角中，角时， 如图（2）所示：
在长方体中，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为，，，则，
可得，，，
在中，由余弦定理可得，
所以异面直线与所成的角为.
当底面直角中，角时，因为，，此时，所以不成立.
故答案为：或.
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12．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为________
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【答案】
【分析】
如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH，根据中位线定理得，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角，设，解三角形可求得答案.21cnjy.com
【详解】
如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH，
因为为母线的中点，所以，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角，
设，则，所以，
所以，又，所以满足，
所以，所以异面直线和所成角为，
故答案为：.
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13．（2021·上海静安·高二期末）如图，三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，且，若M是BC的中点，则异面直线PM与AC所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）【版权所有：21教育】
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【答案】
【分析】
取的中点，记为，连接，，由于，分为为，的中点，可推得，为异面直线与所成的角，在中，运用余弦定理，即可求解．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图所示，取的中点，记为，连接，，
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，分为为，的中点，
，
为异面直线与所成的角，
，，，
在中，由余弦定理可得，
异面直线与所成角的大小是．
故答案为：．
14．（2021·上海市复兴高级中学）四面体中，，，则异面直线与的距离为________
【答案】
【分析】
分别取与的中点、，连接、、、、，证明出为、的公垂线，并计算出的长，由此可得出结果.www-2-1-cnjy-com
【详解】
分别取与的中点、，连接、、、、，
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因为，，、分别为、的中点，
则，，且，
为的中点，故，同理可证，
故为、的共垂线段，且.
故答案为：.
15．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）已知空间四边形，，且与所成的角为，设、分别是、的中点，则的长度为______．
【答案】或
【分析】
连接，取的中点，连接、，分或进行讨论，结合余弦定理可求得的长.
【详解】
连接，取的中点，连接、，如下图所示：
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、分别为、的中点，则且，
同理可知且，
因为与所成的角为，则或.
①若，则为等边三角形，故；
②若，由余弦定理可得.
综上所述，或.
故答案为：或.
16．（2021·徐汇区· ( http: / / www.21cnjy.com )上海中学高二月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
【答案】④
【分析】
根据平面的公理及推论进行判断得解
【详解】
解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；
②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；
③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；
④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，
又因三角形的三个顶点不共线，故④对；
⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；
⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；
⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．
故答案为：④．
17．（2021·上海市中国中学高二月考）一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为______．
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【答案】
【分析】
把展开图还原成正方体，确定的位置，作出异面直线所成的角，然后求角的余弦．
【详解】
把展开图还原成正方体，如图中位置，
由正方体性质知与平行且相等，即是平行四边形，，直线与所成角为（或其补角），
同样棱与侧面垂直，垂直，则可得，
设正方体棱长为1，，，，
中，．
所以直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
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18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）如图，是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线(其中i是正整数)，质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是___________.
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【答案】
【分析】
由质点的运动规则得到质点走过4段后又回到起点A,可以看作以4为周期,由此能求出质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角.
【详解】
不妨设质点的运动路线为:
，
即走过4段之后又回到起点A，
可以看作以4为周期,
，
所以质点走完第99段与第1段所在的直线分别是和,
,
所以质点走完的第99段与第1段所在的直线所成角为.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题考查空间中直线与直线的位置关系和实际问题中的周期性问题;通过分析路线特点找出以4为周期是求解本题的关键.
19．（2021·上海徐汇区·位育中学）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，用过三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________
【答案】
【分析】
根据题意画出截面图形，再利用相似和全等三角形求出截面图形的边长，即可得出答案.
【详解】
解：如图所示（保留作图痕迹）
作、的延长线交于点，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，则五边形即为截面图像，
由三角形相似得：，，，
所以，，，，，
所以五边形的周长为，
即截面图像的周长为.
故答案为：.
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20．（2021·上海市建平中学高二月考）已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围.
【详解】
将直线平移交于点，设平移后的直线为，
过点作及其外角的角平分线，则；
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在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；
综上所述：.
故答案为：.
三、解答题
21．（2021·上海市松江二中高二月考）在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点.2-1-c-n-j-y
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（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据几何体的体积为，求出棱；然后判断出，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角.
（2）通过建立空间直角坐标系，用向量法求直线C1D与平面所成角.
【详解】
（1）设正四棱柱的高为，
因为几何体的体积为，所以，
解得，即，
所以正四棱柱为正方体.
所以连接与，则交点为，连接与，则交点为，
在正方体中，，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角.
因为,所以面,
又因为面,所以，
在中，，所以，
因为，所以，
即异面直线与所成角为.
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（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，,
设面的法向量为，
则 ，即 ，取，所以，
设直线C1D与平面所成角为，
则，
所以，即直线C1D与平面所成角为.
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22．（2021·上海市西南位育中学高二期中）长方体中，，点是棱的中点.
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（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先判断出为异面直线与所成角.在直角三角形中，求出,，即可得到异面直线与所成角为.
（2）利用等体积法，由求出点到平面的距离..
【详解】
（1）长方体中，，所以（或其补角）即为异面直线与所成角.
在长方体中，，点是棱的中点，所以
.
在直角三角形中，,
由图示可知：为锐角，所以，
即异面直线与所成角为.
（2）设点到平面的距离为d，则.
在中，,
所以,所以，
所以.
而,
所以，解得：.
即点到平面的距离为.
23．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知正方体的棱长为2，若，分別是的中点，作出过，，三点的截面，并求出这截面的周长.
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【答案】作图答案见解析，周长为.
【分析】
根据一个平面与两个平行平面相交交线平行即可做 ( http: / / www.21cnjy.com )出截面，再根据平行线分线段成比例，三角形相似、三角形全等利用勾股定理求出截面图形各个边长即可求周长.
【详解】
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连接，因为面面，所以截面与两平面的交线平行，
过点作交于点，连接，
同理过点作交于，连接，
则五边形即为所求截面，
因为，是的中点，所以，可得，
因为，所以，所以，可得，，
，
因为，所以，所以，，
所以，，，
，，
所以这截面五边形的周长为.
24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）若，求异面直线和所成角的正切值；
（2）若．试证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）采用平移直线法进行求解，连接，，可得或其补角即为异面直线所成角，结合线段长度求解出结果；21·cn·jy·com
（2）通过证明，再结合线面垂直的判定定理完成证明.
【详解】
（1）连接，，
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∵长方体中，，
∴或其补角即为异面直线和所成角，
∵平面，平面，∴，
中，，
∴中，，
即异面直线和所成角的正切值等于；
（2）∵中，，且中，，
∴，结合
∴，可得．
∴，得
又∵平面，平面，∴
∵、是平面内的相交直线
∴平面．
25．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为1．
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（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求二面角平面角大小的余弦值；
（3）在直线上是否存在一个动点，使得在平面的投影恰好为的重心，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在；理由见解析．
【分析】
（1）由题知，正四棱柱为长方体，连结，交于O点，取AB的中点E，连结OE，则，直线与直线所成角即直线与直线所成角或其补角，分别求得各边长，由余弦定理求得夹角的余弦值；
（2）由，证得平面，从而，即为二面角的平面角的补角，分别求得各边长，从而求得夹角的余弦值；
（3）假设在直线上存在点，使得在平面的投影恰好为的重心N，由线面垂直的性质与判定可得，与题设矛盾，即可得解.
【详解】
（1）由题知，正四棱柱为长方体，连结，交于O点，取AB的中点E，连结OE，则，直线与直线所成角即直线与直线所成角或其补角，
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在中，，，
，
则
即直线与直线所成角的余弦值为.
（2）连结，交于F点，则，
又在长方体中平面，平面，则
又，则平面，
故
作于M点，又，
则平面，，即为二面角的平面角的补角，
在中，，，
则
则二面角的平面角的余弦值为.
（3）连结，交于H，则的重心N在CH上，
若在直线上存在点，使得在平面的投影恰好为的重心N，
则平面，则，
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又平面，则,
因为平面，相交，
所以平面，,
而在平面内作于Q点，Q点显然不与H点重合
故不存在点P满足条件.
26．（2021·上海市大同中学）如图，在四棱锥中，面，，为线段上的点.
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（1）证明：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值；
（3）在（2）的条件下求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）通过证明，来证得平面.
（2）作出直线与平面所成的角，进而计算出线面角的正切值.
（3）作出异面直线与所成的角，进而计算出线线角的余弦值.
【详解】
（1）在四棱锥中，面，所以，
因为，设，
则是的垂直平分线，故是的中点，且，
又，所以平面；
（2）若是的中点，且是的中点，则且，
因为面，所以面，所以，
故平面，故即为与所成的角，
在中，由余弦定理得
，
所以，又，
所以，即与所成的角的正切值为；
（3）取中点，连接，
易得为异面直线与所成角（或其补角），
因为面，所以，所以，
则，
因为面，所以，
所以，
所以，
所以，
，
所以，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
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27．（2021·上海市大同中学）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：21教育名师原创作品
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（1）D1，M，N，C四点共面；
（2）D1M、DA、CN三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）连接A1B，推出四边形A1BCD1为平行四边形，由此能证明M，N，C，D1四点共面．
（2）推导出直线D1M与CN必相交，设D1MCNK，推导出K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，由此能证明D1M、DA、CN三线共点．
【详解】
证明：（1）连接A1B，D1C，
因为M，N分别为AA1和AB的中点，
所以MNA1B，
因为A1D1BC，A1DBC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以A1BD1C，所以MND1C，
所以MN与D1C确定一个平面，
所以M，N，C，D1四点共面．
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（2）因为MNA1B，且A1B，
所以直线D1M与CN必相交，
设D1MCNK，
因为KD1M，D1M平面AA1D1D，
所以K平面AA1D1D，
又因为KCN，CN平面ABCD，
所以K平面ABCD，
所以K是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，
又因为平面ABCD平面AA1D1DAD，所以KAD，
所以D1M、DA、CN三线共点．
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28．（2021·上海市中国中学高二月考）已知空间四边形各边及对角线的长都是1．
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（1）求边、的距离；
（2）求异面直线与所成角大小．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将四面体放入正方体中，根据四面体的边长求出正方体的棱长，可证为与的公垂线，即可得解；
（2）连接，可证，再由正方形的性质得到，即可得到；
【详解】
解：（1）依题意将四面体放入如图所示正方体中，
因为空间四边形各边及对角线的长都是1，
所以正方体的棱长为，在矩形中，
分别为、的中点，所以，
所以面，面，所以，
同理可证，所以为与的公垂线，
所以与的距离为；
（2）连接，因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
所以异面直线与所成角为.
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29．（2021·上海市建平中学高二月考）如图，已在正四棱锥，，底面边长为4，为的中点.
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（1）求作平面与正四棱锥的截面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）取中点，平面即所求截面；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接，则平面为平面与正四棱锥的截面；
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的夹角公式即可求出结果.21世纪教育网版权所有
【详解】
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（1）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，又因为底面是正方形，所以，
所以，所以平面为平面与正四棱锥的截面；
（2）
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连接交于点，因为正四棱锥，所以两两垂直，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为，底面边长为4，则，,
所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量；
，,
设为平面的一个法向量，
则，即，取，则，
则
由图知二面角的的平面角为锐角，
所以二面角的平面角为.
30．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，.点分别是棱的中点.
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（1）求证：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由已知证明可得答案；
（2）作，证明直线平面， 即为直线与平面所成的角，在直角中可求得答案.
【详解】
（1）证明：点分别是棱的中点，
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四点共面.
（2）作，垂足为F
平面，平面，
直线直线
直线且与相交于
直线平面
即为直线与平面所成的角.
在直角中，，所以，
由面积可得，
在直角中，，，
直线与平面所成的角为.
【点睛】
对于线面角的求法的步骤作：作（或找） ( http: / / www.21cnjy.com )出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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