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专题02空间点、直线、平面之间的位置关系解答题难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2021·上海高二专题练习）在长方体中，已知，，，E、F分别是线段AB、BC上的点，且.21教育网
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（1）求二面角的正切值；
（2）求直线与所成角的余弦值.
2．（2021·上海高二专题练习）如图，平面，是边长为2的正三角形，，平面，垂足为点，是的中点.21世纪教育网版权所有
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（1）求异面直线与所成的角大小；
（2）求证：不可能是的垂心（三角形三条高的交点）.
3．（2021·徐汇区·上海中学高二月考）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.
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（1）证明：平面PAC；
（2）求异面直线与AP所成角的大小.
4．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，在直三棱柱中，AC＝BC＝2，，∠ACB＝90°，E，F分别为的中点．
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（1）求异面直线与EF所成角的大小；
（2）求四棱锥的体积．
5．（2021·上海）如图，在正方体中，E是BC的中点，
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（1）过三点作正方体的截面；
（2）半平面与平面所成的二面角的大小；
6．（2021·上海高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；
（1）求的值；
（2）求直线到平面的距离.
7．（2021·上海高二专题练习）已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径.
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（1）求证：；
（2）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）.
8．（2021·上海高二专题练习）在长方体中，，，，为棱的中点.
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（1）求证：平面；
（2）求异面直线和所成的角的大小.
9．（2021·上海高二专题练习）已知在空间四边形中，，，连结空间四边形的两条对角线 .
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（1）求证：；
（2）若，，求异面直线与的所成角.(用反余弦表示)
10．（2021·上海高二专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图所示.
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（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线PM与OB所成的角的大小.
11．（2021·上海高二专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．21cnjy.com
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（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；
（2）证明：四面体为鳖臑；
（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．
12．（2021·上海市光明中学）如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设.21·cn·jy·com
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(1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；
(2)当为多少时，三棱锥的体积为
(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.
13．（2021·宝山·上海交大附中）如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
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（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
14．（2021·上海高二专题练习）如图，已知是圆锥的底面直径，是底面圆心，，，是母线的中点，是底面圆周上一点，．
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（1）求直线与底面所成的角的大小；
（2）求异面直线与所成的角．
15．（2021·上海高二专题练习）如图，三棱柱中，它的体积是底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，在底面的射影是D，且D为BC的中点.
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(1)求侧棱与底面ABC所成角的大小；
(2)求异面直线与所成角的大小.
16．（2021·上海高二专题练习）如图,在四棱锥中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.www.21-cn-jy.com
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(1)求证BD⊥平面PAC；
(2)若PA=AB求异面直线PB与AC所成角的大小(用反三角函数值表示)．
17．（2021·上海青浦区·高二期末）如图，圆锥的底面圆心为，直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，且．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求二面角的大小．
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18．（2021·上海）如图，为正六棱柱，底面边长，高.
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（1）若，求异面直线和所成角的大小；
（2）计算四面体的体积（用来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长和高满足：（为定值），则当底面边长和高分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
19．（2021·上海高二专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
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（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
20．（2021·上海高二专题练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，E为棱BC的中点．
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(1)求异面直线AE与CD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在三棱锥的外接球上,求A、B两点间的球面距离．
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专题02空间点、直线、平面之间的位置关系解答题难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2021·上海高二专题练习）在长方体中，已知，，，E、F分别是线段AB、BC上的点，且.2-1-c-n-j-y
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（1）求二面角的正切值；
（2）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．21*cnjy*com
【详解】
以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
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则有3，、3，、0，、1，、3，
于是，2，
设向量与平面垂直，
则有
，其中
取则是一个与平面垂直的向量，
向量0，与平面CDE垂直，
与所成的角为二面角的平面角
，
二面角的正切值为；
设与所成角为，则，
直线与所成的余弦值为．
【点睛】
本题主要考查了空间向量求平面间的夹角，异面直线的夹角，属于中档题．
2．（2021·上海高二专题练习）如图，平面，是边长为2的正三角形，，平面，垂足为点，是的中点.21教育名师原创作品
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（1）求异面直线与所成的角大小；
（2）求证：不可能是的垂心（三角形三条高的交点）.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）取中点，连接，，由题意，得到即为异面直线与所成的角或其补角；根据题中数据，求出，，，得出，即可求出结果；
（2）先假设是的垂心，连接并延长交于点， 根据线面垂直的判定定理和性质，得出，即为直角三角形，推出矛盾，即可证明结论成立.
【详解】
（1）取中点，连接，，
因为是的中点，则，
所以即为异面直线与所成的角或其补角.
因为是边长为2的正三角形，所以；
又平面，所以，，
因为，所以，，
因此，
所以异面直线与所成的角大小为.
（2）假设是的垂心，连接并延长交于点，则，
∵平面，平面，∴.
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
又平面，∴，
因为，平面，平面，∴面，
因为平面，∴，
因此为直角三角形，与是正三角形矛盾，
所以不可能是的垂心.
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【点睛】
本题主要考查求异面直线所成的角，考查线面垂直的判定与性质，涉及反证法的应用，属于常考题型.
3．（2021·徐汇区·上海中学高二月考）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.
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（1）证明：平面PAC；
（2）求异面直线与AP所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）和交于点，则为的中点．推导出．由此能证明直线平面；
（2）由，得即为异面直线与所成的角或其补角．由此能求出异面直线与所成角的大小．
【详解】
（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点.
连结PO，又因为P是的中点，所以.
又因为平面PAC，平面PAC
所以直线平面PAC.
（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角.
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因为，且，
所以.
又，所以
故异面直线与AP所成角的大小为.
【点睛】
方法点睛：异面直线所成的角的求法
方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）
方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
4．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，在直三棱柱中，AC＝BC＝2，，∠ACB＝90°，E，F分别为的中点．
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（1）求异面直线与EF所成角的大小；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）取的中点，连接、，可证即为异面直线与所成的角，再由直三棱柱的性质与，可得平面，从而得到平面，再求出、，最后利用锐角三角函数计算可得；
（2）连接，即可得到，再由直三棱柱的性质可得平面，最后根据计算可得；
【详解】
解：（1）取的中点，连接、，因为，分别为的中点．
所以，且
所以即为异面直线与所成的角，因为在直三棱柱中，，，，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以，所以，所以21教育网
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（2）连接，因为，所以，又，，又三棱锥为直三棱柱，所以平面，所以
5．（2021·上海）如图，在正方体中，E是BC的中点，
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（1）过三点作正方体的截面；
（2）半平面与平面所成的二面角的大小；
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）连接,作中点，连接,则过三点作正方体的截面为平面
（2）建立空间直角坐标系得解
【详解】
（1）连接,作中点，连接,则过三点作正方体的截面为平面
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（2）不妨设正方体棱长为2，建立如图空间直角坐标系.
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设平面的法向量为
则,令，则
又平面法向量为
设平面与平面所成的二面角的平面角为（如图知为钝角）
，解得
6．（2021·上海高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；
（1）求的值；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意可得：就是异面直线与所成的角，即，根据线段的长度关系可得：为等边三角形，进而可求得答案；
（2）由平面得，直线到平面的距离等于点到平面的距离，再根据求到平面的距离，分别求出两个三角形的面积即可达到答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，
即，
又连接，
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∵，则，
∴为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，【出处：21教育名师】
又∵，，
∴平面，并且，
∵的面积，
并且的面积，
∵，
∴，
∴，
∴直线到平面的距离为．
【点睛】
本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法和等体积法的合理运用，属于中档题．21世纪教育网版权所有
7．（2021·上海高二专题练习）已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径.
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（1）求证：；
（2）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易进一步得到BP⊥；
（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，结合圆柱的体积为，，我们易得∠即为异面直线与所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：解：（1）证明：易知AP⊥BP，
又由⊥平面PAB，
得⊥BP，
从而BP⊥平面，
故BP⊥；
（2）解：延长PO交圆O于点Q，连接BQ，，
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则BQAP，得∠或它的补角为异面直线与所成的角.
由题意，解得＝3.
又，则为的直角三角形，
则，
得，
由余弦定理得，
则异面直线与所成的角为.
【点睛】
本题考查的知识点是直线与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直的性质及异面直线及其所成的角，其中熟练掌握圆柱的几何特征，并从中分析出相关直线之间的位置关系是解答本题的关键.
8．（2021·上海高二专题练习）在长方体中，，，，为棱的中点.
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（1）求证：平面；
（2）求异面直线和所成的角的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面，可以证明，即得证；
（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余弦定理可得解
【详解】
（1）由题意，，，，为棱的中点.
故
即：
又长方体，故平面
平面，
又
平面
（2）取为中点，连接，故
且
故四边形为平行四边形
故，即异面直线和所成的角的大小即为
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连接，
因此异面直线和所成的角的大小为
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题【来源：21·世纪·教育·网】
9．（2021·上海高二专题练习）已知在空间四边形中，，，连结空间四边形的两条对角线 .
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（1）求证：；
（2）若，，求异面直线与的所成角.(用反余弦表示)
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取中点，连接、，由题意结合平面几何的知识可得、，由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）取中点，取中点，连接，由题意可得或其补角即为异面直线与的所成角，计算出后，结合余弦定理即可得解.
【详解】
（1）证明：取中点，连接、，如图：
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因为，，所以，，
又，所以平面，
因为平面，所以；
（2）取中点，取中点，连接，如图：
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由，，
所以且，且，
所以或其补角即为异面直线与的所成角，
所以，，
所以，
在中，，
所以异面直线与所成的角为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质与判定的应用及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.21*cnjy*com
10．（2021·上海高二专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，，OA、OB是底面半径，且，M为线段AB的中点，如图所示.
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（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线PM与OB所成的角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；
（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该三角形为直角三角形，，所以异面直线与所成的角即．
【详解】
（1）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4，
，，
.
（2）取OA中点E，连接PE、EM，
E为OA的中点，M为AB的中点，
，与所成角为所求，
，，
为线段的中点，
， ，
在中，
，
在中，
，
，
，，
，
，
答：异面直线PM与OB所成的角的大小为.
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【点睛】
本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
11．（2021·上海高二专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．
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（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；
（2）证明：四面体为鳖臑；
（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【分析】
（1）推导出侧棱在平面上的射影是，从而是侧棱与平面所成角，，从而求得立柱的长.
（2）四边形是长方形，从而是直角三角形，由此得出，从而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能证明四面体为鳖臑.www-2-1-cnjy-com
（3）利用转化法求出异面直线与的距离，即可求得三角形面积的最小值.
【详解】
（1）因为侧棱平面，所以侧棱在底面上的射影是，所以是侧棱与平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.
（2）证明：由题意知四边形是长方形，所以三角形是直角三角形.
由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因为，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面体为鳖臑.
（3）与是两异面直线，，所以平面，则两异面直线与的距离等于到平面的距离，也即到平面的距离，等于到直线的距离.因为，所以，则到的距离为.
所以线段上的动点到的最小距离为.则三角形面积的最小值为.
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【点睛】
本小题主要考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
12．（2021·上海市光明中学）如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设.
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(1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；
(2)当为多少时，三棱锥的体积为
(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE折起后间距离最短
【分析】
（1）取PA的中点E，连结OE，BE，则∠BOP为PC，BD所成的角，先证 PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出的三边长，使用余弦定理求出，进而可得角；（2）P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式求出得出θ的值；（3）设，则，根据定理可得化简，故而当时，间的距离最短，故而可得结论.
【详解】
（1）∵AB∥CD，，，∴四边形ABCD是矩形，
连结AC交BD与O，则O是AC，BD的中点，
取PA的中点E，连结OE，BE，
则OE是的中位线，∴，，
∴是异面直线PC，BD所成的角，
∵，，，
∴平面ABCD，
∴，，
，
∴，
∴．
即异面直线PC与BD所成的角为．
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（2）P到平面ABCD的距离，
，
∴，
∴，
∴或.
（3）设，则，折起后平面平面AECD，
则为直线与平面AECD所成的角.
于是，
要使最短，则折起后应最小，最大，
∴当即时，最大，
此时最短，
即当时，沿AE折起后间距离最短.
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的计算，棱锥的体积计算，以及的应用，作出空间角是解题关键，也可使用向量法求出，属于中档题．
13．（2021·宝山·上海交大附中）如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().
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（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当三棱锥的体积为时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】
（1）作，交于，连结，则异面直线与所成角为，由此能求出当时，异面直线与所成角的大小．
（2）由，能求出结果．
【详解】
解：（1）当时，，取棱的中点，连接、，
则，即是异面直线与所成角或其补角，
又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，
则.则异面直线与所成角的大小为.
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（2）因为，，两两互相垂直，平面,平面,
所以平面,
则，
即, 又（），，则.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（2021·上海高二专题练习）如图，已知是圆锥的底面直径，是底面圆心，，，是母线的中点，是底面圆周上一点，．
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（1）求直线与底面所成的角的大小；
（2）求异面直线与所成的角．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）作出直线与底面所成的角，解三角形求得线面角的大小.
（2）作出直线与所成的角，解三角形求得异面直线所成角的大小.
【详解】
（1）因为是圆锥的底面直径，是底面圆心，，是母线的中点，是底面圆周上一点，.，圆锥母线长.过作，交于，连接，则是中点，.，所以，所以是直线和底面所成角.因为，所以.即与底面所成的角的大小为.21cnjy.com
（2）由（1）得,.连接，则，，所以是异面直线与所成的角，由余弦定理得.所以异面直线与所成的角为.
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【点睛】
本小题主要考查线面角、线线角的求法，考查空间想象能力，属于中档题.
15．（2021·上海高二专题练习）如图，三棱柱中，它的体积是底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，在底面的射影是D，且D为BC的中点.
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(1)求侧棱与底面ABC所成角的大小；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】
【分析】
面,就是侧棱与底面所成的角,运用棱柱的体积公式和解直角三角形,即可得到所求值.
取的中点E,连接, ，则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小,运用解直角三角形,计算即可得到所求值.
【详解】
作图如下：
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依题意得,
面,
就是侧棱与底面所成的角,
由,
则,
由D为中点,
，
即有.
由，
即有,
所以.
即侧棱与底面所成角为.
取中点，连接,
则(或其补角)为所求的异面直线所成角的大小.
由面,
,
面面,
所以面,
故,
,
所以所求异面直线与所成角为.
【点睛】
本题考查空间角的求法.主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法;考查直线与平面的位置关系;属于中档题;【版权所有：21教育】
线面角和异面直线所成角的求解步骤：
作出所要求的角;
证明所作的角即为所求的角（或其补角）；
在三角形中，通过解三角形求角的大小或其角的三角函数值.
16．（2021·上海高二专题练习）如图,在四棱锥中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
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(1)求证BD⊥平面PAC；
(2)若PA=AB求异面直线PB与AC所成角的大小(用反三角函数值表示)．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】
（1）推导出，，由此能证明平面．
（2）设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．
【详解】
证明：（1）四边形是菱形，，
又平面，，
平面，平面，
平面．
（2）设，，，
，，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
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则，，，，，，，0，，，，，
，，，，，，
设与所成角为，
则．
与所成角．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21·cn·jy·com
17．（2021·上海青浦区·高二期末）如图，圆锥的底面圆心为，直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，且．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求二面角的大小．
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【答案】（1）（2）
【详解】
试题分析: (1)方法一: 找出异面直线PC与OE所成的角, 三角形AOC为等腰直角三角形, E为劣弧BC的中点, 所以 ,所以OE∥AC,则 或其补角为异面直线PC与OE所成的角,再计算; 方法二: 建立空间直角坐标系,分别求出的坐标, 利用向量数量积求出的夹角,再得到异面直线PC与OE所成的角; (2)方法一: 由(1)中的建系,求出平面APC的法向量,易得平面ACE的法向量为(0,0,1),用夹角公式,求出平面APC与平面ACE的夹角, 方法二: 取AC的中点为D,作出二面角的平面角,求出.
试题解析: （1）证明：方法（1）∵是圆锥的高，∴⊥底面圆，
根据中点条件可以证明∥，
或其补角是异面直线与所成的角；
所以
异面直线与所成的角是
方法(2)如图,建立空间直角坐标系,
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,
,, ,
设与夹角,
异面直线与所成的角
（2）、方法（1）、设平面的法向量
，
平面的法向量
设两平面的夹角,则
所以二面角的大小是 ．
方法（2）、
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取中点为，连接，又圆锥母线，∴
∵底面圆上∴
又为劣弧的中点，即有∈底面圆
∴二面角的平面角即为
∵为半圆弧的中点，∴又直径
∴
∵底面圆且 底面圆O，∴
又∴△中，
∴ 所以二面角的大小是
18．（2021·上海）如图，为正六棱柱，底面边长，高.
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（1）若，求异面直线和所成角的大小；
（2）计算四面体的体积（用来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长和高满足：（为定值），则当底面边长和高分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
【答案】（1）；（2）；（3），，取得最小.
【分析】
（1）延长相交于点，延长相交于点，连接，
得是直四棱柱，证明,所以异面直线和所成角的大小即为直线和所成角的大小.解三角形可得.
（2）建立空间直角坐标系,求出平面法向量，求出到平面的距离，可得四面体的体积.
（3）求出正六棱柱的表面积, 正六棱柱的体积，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.
【详解】
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（1）补形如图：延长相交于点，延长相交于点，连接
由正六边形性质知是平行四边形，从而得是直四棱柱，则 且所以四边形是平行四边形，所以,
所以异面直线和所成角的大小即为直线和所成角的大小.
在三角形中，由平面几何知识和余弦定理得：，，,
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（2）如图，建立分别以为轴的空间直角坐标系，则
，，，
，，
设平面法向量为
, ，令 ，则，
所以到平面的距离
又，，,
（3）由题知，正六棱柱的表面积
正六棱柱的体积
又
所以当时，有最大值，也即取得最小值，
此时，
【点睛】
本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题.2·1·c·n·j·y
19．（2021·上海高二专题练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
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（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）在四棱锥中， 平面，得到，由四边形为直角梯形，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．21·世纪*教育网
（2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）由（2），设，利用换元法求得，结合在上的单调性，即可计算得到结论．
【详解】
（1）由题意，在四棱锥中，平面，
因为平面，所以，
又由四边形为直角梯形，所以，
因为，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
（2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
可得,
由题意，可得，又由，可得平面，
所以是平面的一个法向量，
又由，
设平面的法向量为，
由，取，可得，
所以，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为．
（3）由（2）可得，设，
又，则，
又，从而，
设，
则，
当且仅当时，即时，的最大值为，
因为在上是减函数，此时直线与所成的角取得最小值，
又因为，所以.
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【点睛】
本题考查了线线垂直及线面的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（2021·上海高二专题练习）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，E为棱BC的中点．
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(1)求异面直线AE与CD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在三棱锥的外接球上,求A、B两点间的球面距离．
【答案】（1）；（2）三棱锥的体积为；（3）A、B两点间的球面距离为．
【分析】
（1）根据异面直线所成角的定义即可求异面直线与所成角的大小；
（2）根据锥体的体积公式即可求该三棱锥的体积．
（3）由勾股定理求出外接球的半径，即可求出A、B两点间的球面距离．
【详解】
解：（1）取中点，连结、，
因为，
所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．
在中，，，
所以．
所以，异面直线与所成的角的大小为．
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（2）作平面，则是正的中心，
连结，，
所以，
所以，．
三棱锥的体积为
（3）如图设球心为 ，半径为，在中，
解得，
A、B两点间的球面距离为
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【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的大小的求法以及锥体的体积计算，要求熟练掌握相应的公式．
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