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专题03直线、平面平行的判定与性质综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市第五十四中学高二月考）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）21cnjy.com
A．异面 B．相交 C．不能确定 D．平行
2．（2021·上海高二专题练习）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形有（ ）个
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com / )（4） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·上海高二专题练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为，给出下列三个结论：2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
① 当时，为四边形；
② 当时，为等腰梯形；
③ 当时，的面积为；
以上结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，四棱锥为阳马，底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．平面
C．与平面所成的角等于与平面所成的角
D．与所成的角等于与所成的角
5．（2021·上海市建平中学高二 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体是（ ）21世纪教育网版权所有
A．平行六面体 B．四棱柱 C．斜三棱柱 D．四棱锥
6．（2021·上海徐汇区·位育中学）设是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
7．（2021·上海高二专题练习）在正方体中，为上一点，且，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）21教育网
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2021·上海高二专题练习）设表示平面,表示直线,给定下列四个命题：
①②
③④
其中正确的命题是___________(填序号).
9．（2021·上海高二专题练面过正四棱柱的顶点A，底面边长为3，侧棱长为4，∥平面平面平面则所成角的余弦值为_______.2-1-c-n-j-y
10．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；
②平面；
③；
④平面，
正确的编号为___________________.
12．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，长方体中，，分别为中点，点P在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021·上海高二专题练习）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：www-2-1-cnjy-com
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
三、解答题
14．（2021·上海高二专题练习）已知正方体中的棱长为，是中点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，过、、作一截面，求出截面面积．
15．（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）如图，已知长方体，，，直线与平面所成的角为30°，垂直于E．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若F为棱上的动点，试确定F的位置使得平面，并说明理由；
（2）若F为棱上的中点；求点A到平面的距离；
（3）若F为棱上的动点（端点，除外），求二面角的大小的取值范围．
16．（2021·上海市行知中学高二月考）如图，四边形为矩形，且平面，E为的中点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点A到平面的距离；
（2）探究在上是否存在点G，使得平面，并说明理由.
17．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，作出平面EFG截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021·上海市建平中学高二期中）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行；
（2）求四棱锥的表面积．
19．（2021·上海高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为菱形，，平面，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，是内的一点，求点到平面，平面，平面的距离的平方和最小值.
20．（2021·上海市西南位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：平面平面；
（2）若与平面的距离为，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题03直线、平面平行的判定与性质综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市第五十四中学高二月考）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）21教育网
A．异面 B．相交 C．不能确定 D．平行
【答案】D
【分析】
由题意设，然后过直线作平面与都相交，利用线面平行的性质定理与判定定理，即可求解.
【详解】
设，过作平面与都相交，
记，则有，
,
.
故选:D
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理和判定定理综合应用，属于基础题.
2．（2021·上海高二专题练习）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形有（ ）个
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com / )（4） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】
（1）如图，连接，易知，，,故平面平面，平面，故平面，（1）正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图，连接，易知，由线面平行的判定定理可得平面，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（2）错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图，易知，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（3）错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）如图，连接，易知，，故，故由线面平行的判定定理可得平面，故（4）正确.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：.
【点睛】
本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
3．（2021·上海高二专题练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为，给出下列三个结论：www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
① 当时，为四边形；
② 当时，为等腰梯形；
③ 当时，的面积为；
以上结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据题意作出满足条件的图形，由线线，线面，面面关系结合正方体的结构特征找出截面再论证得到结论.
【详解】
当时，即Q为CC1中点时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为平面平面，所以 ，又，
所以截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故可得截面APQM为四边形，故①正确；
当时，Q与C1重合，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
取的中点F，连接AF， 因为平面平面，所以，且，又，所以截面APC1F为菱形，所以其面积，故③正确.【来源：21·世纪·教育·网】
故选：D
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断以及正方体的截面问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.
4．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，四棱锥为阳马，底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．平面
C．与平面所成的角等于与平面所成的角
D．与所成的角等于与所成的角
【答案】D
【分析】
由线面垂直的判定定理结合 ( http: / / www.21cnjy.com )线面垂直的定义，判断出A正确；由线面平行的判定定理可得B正确；由线面角的求法可得C正确；由线面垂直的判定可得线线角的大小判断出D错误．www-2-1-cnjy-com
【详解】
四棱锥为阳马，底面为正方形，则
又底面，底面，则
平面，平面，，A正确；
平面，平面，平面，B正确；
平面，点到平面的距离，设与平面所成的角为，则，设与平面所成的角为，则，又，所以，即与平面所成的角等于与平面所成的角，C正确；
平面，平面，则，即与所成的角为，而与所成的角即与所成的角，显然不为直角，D错误；【出处：21教育名师】
故选：D
【点睛】
本题考查空间点线面的位置关系，考查空间角的求法，考查学生空间想象能力，属于中档题．
5．（2021·上海市建平 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高二月考）有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体是（ ）21·cn·jy·com
A．平行六面体 B．四棱柱 C．斜三棱柱 D．四棱锥
【答案】C
【分析】
先画出几何体，由三棱锥和 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥的棱长都相等推知三棱锥的各个面和四棱锥的侧面都是正三角形，再分别证得侧棱平行，由面与面平行的判断定理可证得两个面平行，由斜三棱柱的结构特征得到结论．【版权所有：21教育】
【详解】
解：这个组合体为一斜三棱柱，
如图三棱锥为S﹣AED，正四棱锥为S﹣ABCD，重合的面为△ASD，
设AD，BC中点分别为M N，
由题意知AD⊥ME，AD⊥MS，AD⊥MN，
又ME∩MS=M，MN∩MS=M，
∴AD⊥面MNS，由AD⊥面MES，且面MNS∩面MES=MS，
∴面MNS与面MES重合，
又∵SE=AB=MN，EM=SN，
∴MNSE为平行四边形，
又MN∥AB，
∴AB∥SE，
∴四边形ABSE为平行四边形，四边形CDES为平行四边形，
∴SC∥DE，SB∥AE，
又SC∩SB=S，AE∩DE=E，
∴面SBC∥面EAD，
又AB=SE=CD，AB不垂直于面SBC，
∴组合体为斜三棱柱，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2021·上海徐汇区·位育中学）设是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】
判断由能否得到，再判断由能否得到即可．
【详解】
充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；
必要性：若，结合，且，是平面外，则，可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．
故是的充分非必要条件．
故选：A．
7．（2021·上海高二专题练习）在正方体中，为上一点，且，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别在、上取点、，使得，，连接、，可证明平面平面，由平面知点在线段上，易证为与平面所成角，，设出棱长，可求得的最大值、最小值，从而可得答案．
【详解】
解：如图：分别在、上取点、，使得，，连接、，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，，，，
四边形为平行四边形，则，
，
，，，，
又，，
，，
四边形为平行四边形，则，
且，
平面平面，
平面，点必在线段上，
连接，平面，即为与平面所成角，
设正方体棱长为3，则，当为中点时，最短为，
当与或重合时，最长为2，
，即所求正切值的取值范围是，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成的角、面面平行的判定及性质，考查学生分析问题解决问题的能力及空间想象能力，属于难题．21*cnjy*com
二、填空题
8．（2021·上海高二专题练习）设表示平面,表示直线,给定下列四个命题：
①②
③④
其中正确的命题是___________(填序号).
【答案】②④
【分析】
利用线面垂直的判定方法、线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法、性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.
【详解】
对于①,
与平行、相交或，
故①错误;
对于②,
,
由直线与平面垂直的性质：
两条直线平行,
其中一条直线垂直与一个平面,
则另外一条直线也垂直此平面.
.
故②正确;
对于③,
,
由线面垂直的性质可得,
或,
故③错误;
对于④,
，
由垂直于同一平面的两直线平行,
，
故④正确;
故答案为 ②④
【点睛】
本题考查立体几何中的线面垂直的判定、线面垂直的性质和线面平行的判定、线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;
9．（2021·上海高二专题练面过正四棱柱的顶点A，底面边长为3，侧棱长为4，∥平面平面平面则所成角的余弦值为_______.
【答案】
【分析】
如图：平面,平面平面可知,,
在中,与所成角的余弦值即为所求.
【详解】
作图如下:
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为平面,
平面,
所以,
又,
，
由平面
所以，
即.
同理可得,
,
所以在中,与所成角的余弦值即为所求.
因为为正四棱柱,
所以,
.
.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查空间直线角度相关问题、点线面位置关系、面面平行和线面平行的性质定理;利用面面平行和线面平行的性质定理把所成角转化为与所成角是求解本题关键;重点考查学生的空间想象能力;21*cnjy*com
10．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.
【详解】
如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，
所以，平面，
则平面.因为，
所以同理得平面，又.
所以平面平面EFG.
因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.
在中，，
故当时.线段的长度最小，最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；
②平面；
③；
④平面，
正确的编号为___________________.
【答案】①②④
【分析】
①，由面，面，得，；
②，取的中点，可得，面；
③，若，可得面，从而得到，与已知矛盾；
④，取中点，可得面，得到，即可得平面.
【详解】
对于①，正方体中
面，面，
，
故正确；
对于②，如图，取的中点，
为中点，所以，，
正方体中，为中点，
所以可得，，
所以，，
所以为平行四边形，
所以，
而面，面
所以面，
故正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
对于③，若，
正方体中，面，面，
所以，
而，面，，
所以面
而面，所以
与已知矛盾，故错误；
对于④，如图，取中点，
根据平面几何关系，得到，
面，，
所以面，
而面，所以
正方体中，易得面，
而面，所以.
面，，
所以面，
故正确．
故答案为：①②④
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【点睛】
本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，属于中档题.
12．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，长方体中，，分别为中点，点P在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是___________.
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【答案】
【分析】
首先找出过点且与平面平行的平面，然后在所作的平面内找线段长度的最小值即可.
【详解】
连接，
因为分别为中点，
所以，又因为面，面，所以面，
同理面，
又因为，所以面面，
因为直线平面，所以点在直线上，且当时，线段的长度最小，
在中，，，，
所以，，
所以，
在中，设边上的高为，
则，所以，即线段长度的最小值为.
故答案为：.
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13．（2021·上海高二专题练习）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：21世纪教育网版权所有
（1）若，，则
（2）若a，b在平面α内，且，，则
（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交
（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交
其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）
【答案】（3）（4）
【分析】
简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；
（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；
（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，
根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；
（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，
直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.
在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，∴P a，则直线a与点P确定一个平面，
可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，
由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查线面的平行相交，异面直线等关系，关键难点在于（4）的构造性证明.
三、解答题
14．（2021·上海高二专题练习）已知正方体中的棱长为，是中点.
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（1）求证：平面；
（2）设的中点为，过、、作一截面，求出截面面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接、交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）作出截面图形，判断出截面图形的形状，并求出各边边长，由此可求得截面面积.
【详解】
（1）记、的交点为，则为的中点，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）如下图所示，取的中点，连接、，取的中点，连接、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在正方体中，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
同理可证四边形为平行四边形，则且，
所以，且，所以，四边形为平行四边形，
则截面图形为平行四边形，
又，则四边形为菱形，则，
且，，则菱形的面积为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了正方体截面面积的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15．（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）如图，已知长方体，，，直线与平面所成的角为30°，垂直于E．
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（1）若F为棱上的动点，试确定F的位置使得平面，并说明理由；
（2）若F为棱上的中点；求点A到平面的距离；
（3）若F为棱上的动点（端点，除外），求二面角的大小的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）延长交于，在上取点，使得，连接，可证得，从而可得，由此可得，再由证明线面平行即得；
（2）用等体积法可求得点A到平面的距离；
（3）作，垂足为，作于，连接，是二面角的平面角，设，，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围．
【详解】
（1）时，平面，证明如下：
延长交于.
因为平面，所以是直线与平面所成的角，即，所以．
由，所以，，
在上取点，使得，连接，
∵，则，，又，∴是平行四边形， ，
，是平行四边形，
∴，∴是平行四边形，∴
∴，又平面，平面，∴平面，即平面．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2），，
由长方体性质可得，，，∵，∴，
∴，设到平面的距离为，则由得
，∴．
（3）作，垂足为，作于，连接，则平面，平面，∴，同理，
∵，平面，∴平面，
而平面，∴，∴是二面角的平面角，
设，，则由是矩形得，，
则，
∴，是锐角，∴．
∴二面角的范围是．
【点睛】
方法点睛：本题考查线面平行 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．
16．（2021·上海市行知中学高二月考）如图，四边形为矩形，且平面，E为的中点.
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（1）求点A到平面的距离；
（2）探究在上是否存在点G，使得平面，并说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，点G是的中点上，使得平面，理由见解析.
【分析】
（1）由可求得到平面距离；
（2）在上存在中点，使得平面，结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.
【详解】
（1）连结,∵为的中点,,
则,同理可得,∴,∴,
又平面,且平面， ∴,
又∵,∴平面,又平面,∴.
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，
∴,
设到平面的高为，
，解得
所以到平面距离为.
（2）在上存在中点,使得平面.理由如下:
取的中点,连结.
∵是的中点, ∴,且,
又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,
所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,
又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.
17．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，作出平面EFG截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）．21cnjy.com
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【答案】见详解
【分析】
利用面面平行的性质定理，平面与长方体左右面的交线平行，上下两个面的交线平行，因此还需过作，交于；过作，交于，连接即可.2·1·c·n·j·y
【详解】
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说明：由于不知道三个点的具体位置，故该图只是可能的一种情形.
18．（2021·上海市建平中学高二期中）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，．
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（1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行；
（2）求四棱锥的表面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据线面平行判定定理即可证明；
（2）先证明的形状，再根据图形面积公式计算即可．
【详解】
（1）连接，因为、分别为、中点，所以
又因为平面，面，所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，同理
又平面，所以
又因为是正方形，所以，，所以平面
又平面，所以，同理
则四棱锥的表面积
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19．（2021·上海高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为菱形，，平面，.
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（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，是内的一点，求点到平面，平面，平面的距离的平方和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题可知，，根据面面平行的判定定理，即可证出平面平面，再根据面面平行的性质即可得出平面；
（2）当，即，过作，根据线面垂直的判定定理即可得出平面，则为所求角，从而得出；
（3）当，即，则，连接交于点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，可设，可知点到平面，平面，平面的距离分别为，要使得取得最小值，即作为平面的高时，结合三棱锥的体积，利用等体积法求出，而，代入即可求出结果.
【详解】
证明：（1）四边形是菱形，，
又，，，
平面平面，
又平面，
平面.
（2）当，即，
过作，交延长线于，连结，，
而平面，又，
平面，
，又，，
平面，
为与平面所成的角，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
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（3）当，即，则，
所以四边形为正方形，连接交于点，连接，
以为原点，分别以作为轴，建立空间直角坐标系，
则，又是内的一点，可设，
可知点到平面，平面，平面的距离分别为，
所以点到平面，平面，平面的距离的平方和为：，
而相当于点到点的距离的平方，
要使得取得最小值，当且仅当平面时，
即作为平面的高时，则，
由于四边形为正方形，则，所以，
由于，则，
所以为等腰三角形，则，
而，，
所以
由于，则，
得，
所以.
所以点到平面，平面，平面的距离的平方和最小值为：.
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【点睛】
本题考查面面平行的判定定理和利用面 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行的性质证明线面平行，以及线面垂直的判定定理，考查利用几何法求解线面角，以及利用等体积法求点到面距离的最值，考查推理证明能力，属于中档题.2-1-c-n-j-y
20．（2021·上海市西南位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
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（1）求证：平面平面；
（2）若与平面的距离为，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当与平面的距离为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）通过线面平行证明面面平行；
（2）找到三棱锥合适的底和高，并求出底和高关于的表达式，从而求出体积的表达式；
（3）求出表达式之后，利用函数思想即可求解体积的最大值，以及此时的值.
【详解】
（1）斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且为的中点，为的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
连接，如图所示：
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所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，所以平面，因为,平面，
所以平面平面
（2）因为，为的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面平面，且平面平面，，平面，
所以平面，平面，
所以与平面的距离，
因为平面，所以，中， ，所以，，所以
因为平面，则平面，平面，所以，且，，平面，
所以平面，且平面，
所以，记交点为，则三角形为直角三角形，
因为，且，，，
所以，，，
所以，
所以，即
（3）由（2）得：，，令，所以当，时，，此时，
所以当与平面的距离时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为6.
【点睛】
本题目第一小问是面面平行的证明，应用定理即可，比较基础；
第二问题目难度较大，需要找到各线段之间的位置关系以及长度关系，求三棱锥的体积，确定合适的底面和高，并求出底面积和高关于的表达式，涉及到线面垂直的证明，相似比例等内容；
第三问根据二次函数求最值的方法即可解决.
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