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专题05二面角综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2016·上海闵行区·高二期末）如图，正方体，则下列四个命题:
①点在直线上运动，三棱锥的体积不变
②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变
③点在直线上运动，二面角的大小不变
④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的直线.
其中的真命题是（ ）
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A．①③ B．①③④ C．①②④ D．③④
2．（2018·徐汇·上海中学）如图，已知直三棱柱，所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
3．（2021·上海高二专题练习）如图，正方体，则下列四个命题：
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①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变
②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变
③点在直线上运动时，二面角的大小不变
④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
其中的真命题是 （ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④
4．（2021·上海高二专题练习）等腰直角斜边CB上一点P满足，将沿AP翻折至，使二面角为，记直线、、CP与平面所成角分别为、、，则（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2021·上海市洋泾中学高二月考）在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为________.
6．（2020·上海师范大学第二附属中学高二期中）将边长为1的正方形沿对角线折叠，使得点和的距离为1，则二面角的大小为______.
7．（2021·上海高二专题练习）如图，在正四棱锥中，，则二面角的平面角的余弦值为______.2-1-c-n-j-y
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8．（2020·上海市七宝中学高二期中）在120°的二面角内有一点，到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则到该二面角棱的距离为________
9．（2018·上海市第二中学高二期中）在正四棱柱中，底面边长为1,与底面所成的角的大小为，如果平面与底面ABCD所成的二面角是锐角,则此二面角大小为______(结果用反三角函数值表示).21*cnjy*com
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10．（2021·上海高二专题练习）三角形的边在平面内，在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为____________．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
11．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期中）已知正三棱锥，顶点为，底面是.
（1）若该三棱锥的侧棱长为，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；【出处：21教育名师】
（2）若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；
（3）若该棱锥的体积为定值，求该三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小.
12．（2021·上海徐汇区·位育中学高二期中）如图，是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．www.21-cn-jy.com
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（1）设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
（2）若点到平面的距离为，求二面角；
（3）在（2）的条件下，若平面内存在点满足到直线的距离与到直线的距离相等，求的最小值．
13．（2021·上海市第三女子中学高二期末）如图，在多面体中，均垂直于平面ABC，，．
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（1）求点A到平面的距离；
（2）求平面ABC与平面所成锐二面角的大小；
（3）求这个多面体的体积．
14．（2021·上海市建平中学高二月考）已知正方形的边长为4，，分别是，的中点，平面，且，交于，于.
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（1）求二面角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
15．（2021·宝山·上海交大附中）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．21cnjy.com
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（1）求证：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
16．（2021·上海浦东新区·华师大二附中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点.【版权所有：21教育】
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（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
（2）求异面直线EF与AB之间的距离
（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30° 若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由.21·世纪*教育网
17．（2021·上海高二专题练习）已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中，为边长等于的正方形，△和△均为正三角形，在三棱锥中，
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（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小.
18．（2020·上海闵行区·闵行中学高二期中）如图，在直角△中，，△通过△以直线为轴顺时针旋转120°得到（），点为线段上一点，且.21教育网
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（1）求证：，并证明：平面；
（2）分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求异面直线与所成角的大小（用反余弦运算表示）；2·1·c·n·j·y
（3）若，求锐二面角的大小.
19．（2020·上海市七宝中学高二期中）如图，在梯形中，∥，，，，且，又平面，.
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求：（1）二面角的大小（用反三角函数表示）；
（2）点到平面的距离.
20．（2020·上海复旦附中高二期中）定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.
（1）若等腰四面体的每条棱长都是，求该等腰四面体的体积；
（2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形：
（3）设等腰四面体的三个侧面与底面所成的角分别为，请判断是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.
21．（2016·宝山区·上海交大附中高二期中）如图，已知直四棱柱，底面底面为平行四边形，，且三条棱的长组成公比为的等比数列，【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求异面直线与所成角的大小;
（2）求二面角的大小.
22．（2016·上海市金山中学高二月考）如图，正三角形的边长为，、、分别为各边的中点，将△沿、、折叠，使、、三点重合，构成三棱锥．21教育名师原创作品
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(1)求平面与底面所成二面角的余弦值；
(2)设点、分别在、上， (为变量) ；
①当为何值时，为异面直线与的公垂线段 请证明你的结论
②设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，试求的值．
23．（2017·上海市南洋模范中学高二期中）如图，在直角梯形，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设.21·cn·jy·com
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（1）当为直角时，求直线与平面所成角的大小；
（2）当为多少时，三棱锥的体积为；
（3）在（2）的条件下，求此时二面角的大小.
24．（2018·上海市淞浦中学）在长方体中，分别是的中点，，，.
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（1）求异面直线与所成的角的大小
（2）求二面角的大小
25．（2021·上海）如图1，平面四边形关于直线对称，，，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：21*cnjy*com
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（1）求、两点间的距离；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
26．（2018·上海市张堰中学）如图,四棱锥的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=,E为PC的中点.
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(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；
(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；
(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的长；如果不存在,请说明理由
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专题05二面角综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方体，则下列四个命题:
①点在直线上运动，三棱锥的体积不变
②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变
③点在直线上运动，二面角的大小不变
④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的直线.
其中的真命题是（ ）
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A．①③ B．①③④ C．①②④ D．③④
【答案】B
【分析】
①由正方体的性质，易知平面，因此直线上的点到平面的距离不变，又的面积不变，所以体积不变.②点在直线上运动，的大小在改变，所以直线与平面所成角的大小改变，③点在直线上运动，两面的位置不变，所以二面角的大小不变.④用向量法来判断，建立空间直角坐标系，设，由的方程来判断.21教育名师原创作品
【详解】
①由正方体的性质可得:，于是平面，因此直线上的点到平面的距离不变，点在直线上运动，又的面积不变，因此三棱锥的体积不变.
②点在直线上运动，由①可知:直线上的点到平面的距离不变，而的大小在改变，因此直线与平面所成角的大小改变，故不正确.
③点在直线上运动，由①可知:点到平面的距离不变，点到的距离不变，可得二面角的大小不变，正确；
④如图所示，
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不妨设正方体的棱长为，，，设，∵，则，化为，因此的轨迹是过点的直线，正确.
其中真命题是①③④.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了几何体的体积，线面角，面面角及距离问题，还考查了转化化归的能力，属于中档题.
2．如图，已知直三棱柱，所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取BC中点O，连结AO、，则，，从而是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．
【详解】
取BC中点O，连结AO、，
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直三棱柱，所有棱长均为2，
，，
，，
是二面角的平面角，
，，
．
二面角的余弦值为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二面角的余弦值的求法，二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，属于中档题．
3．如图，正方体，则下列四个命题：
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①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变
②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变
③点在直线上运动时，二面角的大小不变
④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
其中的真命题是 （ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】
①由与平面的位置关系判断直线与直线所成角的大小变化情况；
②考虑与平面所成角的大小，然后判断直线与平面所成角的大小是否不变；
③根据以及二面角的定义判断二面角的大小是否不变；
④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥的体积是否不变.
【详解】
①如下图，连接，
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因为，所以平面，
所以，所以直线与直线所成角的大小不变；
②如下图，连接，记到平面的距离为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设正方体棱长为，所以，所以，
又因为，所以，
所以与平面所成角的正弦值为：，
又因为，所以，
所以所以与平面所成角的正弦值为：，
显然，所以直线与平面所成角的大小在变化；
③因为，所以四点共面，又在直线上，所以二面角的大小不变；
④因为，平面，平面，所以平面，
所以当在上运动时，点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变.
所以真命题有：①③④.
故选：D.
【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关 ( http: / / www.21cnjy.com )系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：<1>作出线段的射影，计算出射影长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；<2>计算线段在平面外的一个端点到平面的距离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦.
4．等腰直角斜边CB上一点P满足，将沿AP翻折至，使二面角为，记直线、、CP与平面所成角分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立坐标系，找出在平面ABC上的射影N，判断N到A，B，P三点的距离大小得出结论．
【详解】
以A为原点建立平面直角坐标系如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过C作，垂足为H，使得，设MH的中点为N，
二面角为，
在平面ABC上的射影为连接NP，NA，显然．
设，则，
，
到直线AC的距离，
，
．
，即N在直线下方，
．
设到平面ABC的距离为h，则，，，
，
，即．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了空间角的大小比较，转化的思想，属于中档题．
二、填空题
5．在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为________.www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
为二面角的一个面内一点.是它到另一个面的距离,,是它到棱的距离.得出为二面角的平面角,在中求解即可.
【详解】
作图如下:
( http: / / www.21cnjy.com / )
为二面角的一个面内一点.
是它到另一个面的距离,
,
是它到棱的距离.
,
，
又，
平面,
得出,
所以为二面角的平面角,
.
在中,
.
故答案为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定和性质及二面角的平面角的定义;把语言文字转化为数学图形是求解本题的关键;属于中档题;考查学生的空间想象能力.21·世纪*教育网
6．将边长为1的正方形沿对角线折叠，使得点和的距离为1，则二面角的大小为______.
【答案】
【分析】
设翻折前与相交于点，则，，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知即为所求，易证为等腰直角三角形，故，从而得解．21*cnjy*com
【详解】
设翻折前与相交于点，则，，而翻折之后的图形如图所示，
为二面角的平面角．
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，，
为等腰直角三角形，且，
二面角的大小为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于拔高题．
7．如图，在正四棱锥中，，则二面角的平面角的余弦值为______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
设，则，过作，垂足为，连，则根据，可得，所以为二面角的平面角,在中，用余弦定理可求得结果.
【详解】
设，则，
因为，所以，
过作，垂足为，连，则根据，可得，
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以为二面角的平面角,
在中,，所以，
所以在直角中，，同理，
在中，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档题.
8．在120°的二面角内有一点，到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则到该二面角棱的距离为________
【答案】
【分析】
设垂足分别为，，先计算的长，再利用外接圆的直径为到棱的距离，即可求得结论．
【详解】
由题意，设垂足分别为，，则
在中，，，，
设到棱的距离为，则
故答案为：
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【点睛】
本题考查点线距离的计算，解题的关键是正确运用余弦定理，正弦定理，属于中档题．
9．在正四棱柱中，底面边长为1,与底面所成的角的大小为，如果平面与底面ABCD所成的二面角是锐角,则此二面角大小为______(结果用反三角函数值表示).
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【答案】
【分析】
先找出直线与底面所成的角为，通过题意可得，，通过二面角的概念可得即为平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，进而可求得结果.
【详解】
∵在正四棱柱中，底面，
∴是直线与底面所成的角，
∵与底面所成的角的大小为，即，
故而，，
由正四棱柱的性质可得，，，面面，
∴即为平面与底面ABCD所成的二面角的平面角，
，即，
即平面与底面所成的二面角的大小为，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面所成的角，两平面所成的角，熟练掌握线面角以及二面角的概念是解题的关键，属于中档题.
10．三角形的边在平面内，在平面外，和分别与面成和的角，且平面与平面成的二面角，那么的大小为____________．
【答案】或
【分析】
对为锐角和钝角两种情况讨论，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，过点在平面内作，垂足为点，连接，设，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出的三边边长，结合余弦定理可求得的大小.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）若为锐角，如下图所示，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，连接，设，
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则与平面所成的角为，，，
与平面所成的角为，则，，
，，，
，，平面，
平面，，
所以，平面与平面所成二面角为，
，，，，，
，
，，，
所以，，，所以，；
（2）若为钝角，如下图所示，过点作平面的垂线，垂足为点，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，连接，设，
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则与平面所成的角为，，，
与平面所成的角为，则，，
，，，
，，平面，
平面，，
所以，平面与平面所成二面角为，
，，，，，
，
，，，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
，所以，.
综上所述，或.
故答案为：或.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出三边的边长，并结合余弦定理求解.
三、解答题
11．已知正三棱锥，顶点为，底面是.
（1）若该三棱锥的侧棱长为，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；
（3）若该棱锥的体积为定值，求该三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小.
【答案】（1）；（2）侧面积为，体积为；（3）.
【分析】
（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解；
（2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解；
（3）设为点在底面的投影，点到的距离为，利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】
（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
所以是等边三角形，所以，
所以质点移动路程的最小值为，
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（2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为,圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为，
（3）设为点在底面的投影，设点到的距离为，于点，
则，连接，则，所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以
，
令，则，
所以
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角为时其表面积最小.
12．如图，是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．
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（1）设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
（2）若点到平面的距离为，求二面角；
（3）在（2）的条件下，若平面内存在点满足到直线的距离与到直线的距离相等，求的最小值．
【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）
【分析】
(1)根据线面角的定义、异面直线所成角的定义可以求出的大小,最后可以证明出结论；
(2)根据面面垂直的性质定理可以找到点C在平面的射影的位置,利用相似三角形性质可以求出正四棱柱的高；【版权所有：21教育】
(3)以为空间直角坐标系的坐标原点，以所在的直线为轴，设出点P的坐标,由题意可以求出点P的轨迹方程,计算出的表达式,进行恒等变形最后求出的最小值.
【详解】
(1)设正四棱柱的高为,因为底面,所以
,于是有.因为∥,如下图所示：所以
,由勾股定理可知：,在等腰三角形中,底边上的高为,
所以,.
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(2)因为为与的交点,三角形是以为底边的等腰三角形,所以,根据线面垂直的判定理可知：平面,由面面垂直的判定定理可知：平面平面,这两个平面的交线为,因此点C在平面的射影在上,即,如上图所示：
在矩形中, ,
因为∽,所以有,
所以正四棱柱的高为2，
因为，，所以是二面角的平面角，
，所以；
(3) 以为空间直角坐标系的坐标原点，以所在的直线为轴，如上图所示：设,因为平面,故,由题意可知；21·cn·jy·com
所以有,
当时, 有最大值1,此时,而也达到最小值,所以
有最大值,因此有最小值,最小值为.
13．如图，在多面体中，均垂直于平面ABC，，．
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（1）求点A到平面的距离；
（2）求平面ABC与平面所成锐二面角的大小；
（3）求这个多面体的体积．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）延长、交于，延长、交于，连接、、、、，利用等体积法有，即可求A到平面的距离；
（2）由（1）易得、，根据线面垂直的判定有面，进而可知为平面ABC与平面所成锐二面角，即可求角的大小；
（3）将几何体补全为直棱柱，则有，利用棱柱、棱锥的体积公式即可求几何体的体积.
【详解】
（1）延长、交于，延长、交于，连接、、、、，
∵均垂直于平面ABC，，，
∴，，解得，，
∴在△中，、，，则，
∵，，，
∴，即，故，
∵，若A到平面的距离为，
∴，故.
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（2）由（1）知：且，即，
∵，
∴面，则平面ABC与平面所成锐二面角为，
又，故.
（3）将几何体补全为如下图示的直棱柱，
∴，而，，
∴.
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14．已知正方形的边长为4，，分别是，的中点，平面，且，交于，于.
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（1）求二面角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用判定定理证明平面，从而得出为二面角的平面角，进而由边角关系得出其大小；
（2）由平面，结合，利用判定定理得出平面；
（3）证明平面，将点到平面的距离转化为求点到平面的距离，即的长.
【详解】
（1）连接交于点，由中位线定理可知
四边形为正方形，，故
平面，平面，
又平面
平面
平面，
故为二面角的平面角，设其为
，
（2）平面，平面，
又，平面
平面
（3）过点作，垂足于点
，，即平面
平面，平面
平面
即点到平面的距离等于点到平面的距离，即的长
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15．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
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（1）求证：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）证明面，可得，结合，由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）由题意可得，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求解.
【详解】
（1）因为是圆柱的底面圆的直径，所以，即，
因为是圆柱的母线，则面，
因为面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面；
（2）三棱锥体积为，
要使得三棱锥体积最大，只需的面积最大，
即点到的距离最大，此时，
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设底面圆的圆心为，连接，则，
由面，面，可得，
因为，所以 面，所以，
因为，，取的中点，连接，则，
作，连接，则为的中点，
由，，，
则面，所以，
可得即为二面角的平面角，
因为，
所以，，，
在中，，
所以，所以，
故二面角的平面角为.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的 ( http: / / www.21cnjy.com )空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
16．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点.
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（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
（2）求异面直线EF与AB之间的距离
（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30° 若存在，求出BP的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；
（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可；
（3）假设存在，利用二面角P-AC-B的大小为30求解即可.
【详解】
（1）取中点，连结，如图，
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又为中点，，
连结，则或其补角即为异面直线与所成角，
为中点，正方体边长为2，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）因为，
所以异面直线EF与AB之间的距离即为直线与平面间的距离，
即点B与平面的距离，
连接，交于,
因为,
所以，又,
所以平面,
即为点B到平面的距离.
因为,
所以，
即异面直线EF与AB之间的距离为.
（3）假设棱BB1上存在一点P满足题意，
连接交于 ，连接,
所以为二面角的平面角，
设，，
即，所以，
故当存在长为时，二面角的大小为．
17．已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中，为边长等于的正方形，△和△均为正三角形，在三棱锥中，21世纪教育网版权所有
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（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）取的中点，连，，通过证明平面，可以得到；
（2）根据题意可以证明平面，从而可知就是与平面所成的角；容易计算得到其大小；
（3）取的中点，连，，易证得就是二面角的平面角，然后在直角三角形中求得结果即可.
【详解】
（1）证明：取的中点，连，，如图：
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根据展开图可知，，，所以，，
又，所以平面，
因为平面，所以
（2）根据展开图可知，且，
所以，又，所以，
所以平面，所以就是与平面所成的角，
且，
所以与平面所成的角的大小为.
（3）取的中点，连，，如图：
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由（2）可知，由（1）知，且，
所以平面，所以，
根据等腰三角形的性质易得，又，所以平面，
所以，所以就是二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
由题知二面角为锐角，所以.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角和二面角的求法，
解题关键是根据展开图得到几何体中的角度和长度，属于中档题.
18．如图，在直角△中，，△通过△以直线为轴顺时针旋转120°得到（），点为线段上一点，且.
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（1）求证：，并证明：平面；
（2）分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求异面直线与所成角的大小（用反余弦运算表示）；2-1-c-n-j-y
（3）若，求锐二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用余弦定理求得，通过证明，证得平面.
（2）利用直线和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，进而求得线线角的大小.
（3）判断出锐二面角的平面角，进而求得其大小.
【详解】
（1）由于，所以，在三角形中，由余弦定
理得.
所以，所以.
依题意可知，所以平面，由于平面，所以.
因为，所以平面.
（2）在三角形中，由余弦定理得.所以.
依题意建立如图所示空间直角坐标系.则，设，由得，
所以，解得，所以.
所以.设异面直线与所成角为，则，由于，所以.
（3）由于，所以是等腰直角三角形斜边的中点，所以，所以.
由（1）知平面，所以，所以锐二面角的平面角的平面角为，其大小为.
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【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查异面直线所成的角，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.【来源：21·世纪·教育·网】
19．如图，在梯形中，∥，，，，且，又平面，.
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求：（1）二面角的大小（用反三角函数表示）；
（2）点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）过A作，连接PE，根据平面，得到，由线面垂直的判定定理得到平面，从而二面角的平面角，然后根据求得，再利用求解.【出处：21教育名师】
（2）过A作，根据，得到，易得，从而得到平面，由面面垂直的判定定理可得平面，得到平面，即为点到平面的距离，然后在中求解.
【详解】
（1）如图所示：
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过A作，连接PE，
因为平面，平面
所以，又
所以平面，
所以二面角的平面角，
因为，
所以，
所以，
所以，
即二面角的大小.
（2）如图所示：
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过A作，
因为，
所以
因为平面，平面
所以，又
所以平面，又平面，
所以平面，又平面平面，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
在中，.
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题主要考查二面角的求法以及点到直线的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.21教育网
20．定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.
（1）若等腰四面体的每条棱长都是，求该等腰四面体的体积；
（2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形：
（3）设等腰四面体的三个侧面与底面所成的角分别为，请判断是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】（1）（2）证明见解析；（3）是定值；定值为1
【分析】
由条件，四面体的对棱相等，则可以将四面体放到长方体中去.
（1）当等腰四面体的每条棱长都是时，长方体是正方体,且正方体的棱长为，该等腰四面体的体积为正方体的体积减去4个角上的4个全等的小三棱锥的体积，则可求出答案.
（2）设长方体的长、宽、高分别为,在该四面体的每个面中，任意两边的平方之和都大于第三边的平方,从而可证.
（3）过作平面交平面于点,为面与底面所成的角, ,根据题意设，面与底面所成的角分别为，同理可得：，又≌≌≌,从而可得答案.2·1·c·n·j·y
【详解】
由条件，四面体的对棱相等，则可以将四面体放到长方体中去,如图.
(1)当等腰四面体的每条棱长都是时，长方体是正方体,且正方体的棱长为.
此时该等腰四面体的体积为正方体的体积减去4个角上的4个全等的小三棱锥的体积.
所以.
(2)设长方体的长、宽、高分别为.
则，，.
在面中，
所以为锐角.
同理：在该四面体的每个面中，任意两边的平方之和都大于第三边的平方.
根据余弦定理可得，每个面中的三角形均为锐角三角形.
所以等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形.
(3) 的值为定值1.
过作平面交平面于点,则
过作交于,所以平面,则.
所以为面与底面所成的角,设
设面与底面所成的角分别为.
同理可得：
又≌≌≌
.
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【点睛】
本题考查求锥体的体积和二面角，考查补形思想，属于中档题.
21．如图，已知直四棱柱，底面底面为平行四边形，，且三条棱的长组成公比为的等比数列，
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（1）求异面直线与所成角的大小;
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）不妨设，由，，三条棱的长组成公比为的等比数列，可得，．在中，利用余弦定理可得：．利用勾股定理的逆定理可得．由底面，可得，可得平面，即可得出异面直线与所成角;（2）由（1）可得：平面．在中，经过点作，垂足为，连接，可得．即为二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）不妨设，，，三条棱的长组成公比为的等比数列，，．
在中，，解得．，．
．
底面，平面，，
又，
平面，
，
异面直线与所成角为．
（2）由（1）可得：平面．
在中，经过点作，垂足为，连接，则．
即为二面角的平面角．
在中，．
在中，．
．
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【点睛】
本题考查了空间位置关系空间角、直角三角形的边角关系及其面积计算公式、勾股定理及其逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．如图，正三角形的边长为，、、分别为各边的中点，将△沿、、折叠，使、、三点重合，构成三棱锥．
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(1)求平面与底面所成二面角的余弦值；
(2)设点、分别在、上， (为变量) ；
①当为何值时，为异面直线与的公垂线段 请证明你的结论
②设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，试求的值．
【答案】（1） （2）①λ=1，证明见解析 ②
【分析】
（1）取DE的中点G，连接AG、FG ( http: / / www.21cnjy.com ) ，利用正三角形的性质，可以得到∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角，最后利用余弦定理求出即可；
（2）①当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，利用等腰三角形的性质可以证明MN⊥AD， MN⊥EF；
②过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角，
通过平行线可以得到比例式子，可以证明∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角，求出的表达式，最后利用正棱锥的性质、平行线的性质可以求出的值.
【详解】
解：（1）如图，取DE的中点G，连接AG、FG
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由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角
由题意得AG=FG=．在△AGF中，
∴平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值为
（2）①λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段
当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，
则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段．
②过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ．
由MH∥DF，得 又，∴
∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ．
∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN
由题意得，三棱锥A—DEF是正棱锥，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O．
∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF
又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴
【点睛】
本题考查了二面角的求法，考查了异面直线所成的角的应用，考查了正棱锥的性质应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
23．如图，在直角梯形，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设.
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（1）当为直角时，求直线与平面所成角的大小；
（2）当为多少时，三棱锥的体积为；
（3）在（2）的条件下，求此时二面角的大小.
【答案】（1）；（2）或；（3）或
【分析】
(1)先证明直线与平面所成角为,再在直角三角形中求解正切值即可.
(2)根据体积求出到平面的距离.再求解即可.
(3)取中点,证明二面角为,再求解的余弦值即可.
【详解】
(1) 当为直角时,因为点是的中点,,故四边形为矩形.
故,又,,故,又,
故平面.故直线与平面所成角为.
又.故.
即直线与平面所成角的大小为.
(2)设到平面的距离为.因为,.
故平面.故到平面的高线在平面中.
又.故.
故,又.故或.
(3) 取中点,连接.因为,故.
又.故,又.故二面角为.
由(1),当时,.此时
.故.
故二面角为.
当时,.此时
.故.
故二面角为.
综上二面角为或
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【点睛】
本题主要考查了线面夹角,锥体的体积计算以及二面角的计算等.需要根据题意找到对应的垂直关系从而找到所求的角.属于中等题型.21cnjy.com
24．在长方体中，分别是的中点，，，.
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（1）求异面直线与所成的角的大小
（2）求二面角的大小
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）作出异面直线与所成的角，解三角形求得角的大小.
（2）利用面积比求得二面角的的余弦值，进而求得面面角的大小.
【详解】
（1）连接，由于，所以是异面直线与所成的角，根据长方体的几何性质可知为直角三角形，故，故，也即异面直线与所成的角的大小为.
（2）设二面角的大小为，由于平面，所以,.,,，所以,所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小为.
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【点睛】
本小题主要考查空间异面直线所成角的求法，考查空间二面角的求法，属于中档题.
25．如图1，平面四边形关于直线对称，，，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：21*cnjy*com
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（1）求、两点间的距离；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据题意取BD的中点E，容易证明是二面角的平面角，进而求出结果；
（2）通过勾股定理证明，进而通过线面垂直的判定定理得到结论；
（3）先通过等体积法求出点到平面的距离，进而根据线面角的定义求出线面角的正弦值.
【详解】
（1）由题意，是以C为直角，直角边边长为2的等腰三角形，是边长为的正三角形.
如图，
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取的中点，连接，
由，得：
就是二面角的平面角，
.
在中，易得，由余弦定理：
，.
（2）由，,
，,
,,又
平面．
（3）设点到平面的距离为，
∵
,.
于是与平面所成角的正弦为．
26．如图,四棱锥的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=,E为PC的中点.
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(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；
(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；
(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的长；如果不存在,请说明理由
【答案】（1）（2）2（3）
【分析】
（1）连接AC,BD交于O，连接EO，可证明DO是平面PAC的垂线，即可得到
线面角为，解三角形即可求解（2）作交AD于F, 连接EF，可证明就是二面角E-AD-C的平面角，解三角形即可求解（3）过O作于M，可证明PC⊥平面MBD成立，根据中位线确定M点位置，即可求出CM的长.
【详解】
（1） 连接AC,BD,
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则由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC,
又由底面ABCA为菱形可得BD⊥AC于O，
平面PAC.
连接OE，则OE为DE在平面PAC上的射影，
即为DE与平面PAC所成的角.
E为PC中点可得,
由菱形性质可得，在中，
，
在中，，
.
（2）因为，PA⊥底面ABCD，
所以底面ABCD，
作交AD于F, 连接EF,
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则，
所以就是二面角E-AD-C的平面角，
由ABCD是菱形，且，得，
又，
在中，.
（3）过O作于M,
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则由PA⊥底面ABCD可得平面PAC⊥底面ABCD于AC,
又底面ABCD，
平面PAC
,
而由平面PAC且，
可得平面MBD
故在线段PC上存在一点M,使PC⊥平面MBD成立，
此时，所以M是CE的中点，
故
在可解得，所以,
在中，
所以.
【点睛】
本题主要考查了直线和平面所成的角，直线和平面垂直的性质，需熟练掌握空间线线，线面，面面垂直的相互转化，属于难题.www-2-1-cnjy-com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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