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第10章空间直线与平面单元综合拔高专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市复兴高级中学）设、是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的（ ）21世纪教育网版权所有
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点 B．三个点
C．一条直线和一个点 D．两条相交直线
3．（2021·上海宝山区·高二期末）设空间三条互不重合的直线、、，则下列结论正确的是 21cnjy.com
A．若，与是异面直线，则与也是异面直线
B．若，与是异面直线，则与也是异面直线
C．若，，则
D．若，，则
4．（2021·上海静安·高二期末）已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（2021·上海市新 ( http: / / www.21cnjy.com )场中学高二期中）空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，当AC、BD满足（ ）时，四边形EFGH是菱形.
A．AC=BD B．AC垂直BD
C．AC平行BD D．AC=BD且AC垂直BD
6．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知是空间三条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．（2021·上海市亭林中学高二期末）在空间中，表示平面，表示两条直线，则下列命题中错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．若，不平行，则与不平行
B．若，不垂直，则与不垂直
C．若，不平行，则与不垂直
D．若，不垂直，则与不平行
8．（2021·上海市亭林中学高二期中）一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
9．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知直二面角，直线在平面上，直线在平面上，且直线与直线不垂直，直线与直线不垂直，则以下判断正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．与可能垂直，但不可能平行
B．与可能垂直，也可能平行
C．与不可能垂直，但可能平行
D．与不可能垂直，也不可能平行
10．（2021·上海市松江二中高二月考）棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ ）
A．有一条侧棱与底面的两边垂直 B．有一条侧棱与底面垂直
C．有一个侧面与底面的一条边垂直 D．有两个相邻的侧面是矩形
二、填空题
11．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条．21*cnjy*com
12．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）空间中四条直线两两相交，经过任意两条可以作一个平面，则最多作________个不同平面．【来源：21cnj*y.co*m】
13．（2021·上海市亭林中学高二期中）已知、、为不重合的三条直线，且，，则与的位置关系是________.21教育网
14．（2021·上海市新场中学高二期中）以下五个命题，真命题的有_______．（填上全部真命题的序号）【出处：21教育名师】
（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（2）若、是异面直线，则一定存在平面过且与平行；
（3）若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则；
（4）分别位于两个给定的不同平面、内的两条直线、一定是异面直线；
（5）已知直线、和平面，不在内，在内，若，则平行.
15．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体的棱长为a，异面直线BD与的距离为________．21·cn·jy·com
16．（2021·上海市建平中学高二期中）长方体中，，，则二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021·上海市亭林中学高二期中）如图所示，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小为________.（用反三角函数值表示）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021·上海市亭林中学高二期中）在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线与这三条直线所成的角的大小都是，则______．
20．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）在长方体中，，，则直线与所成的角的余弦值等于______．21·世纪*教育网
三、解答题
21．（2021·上海市亭林中学高二期中）在直三棱柱中，，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成角.
22．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）在正方体中，是的中点.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
23．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点到平面的距离；
（2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
24．（2021·上海市建平中学高二期中）设正三棱柱的底面边长和高均为1．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点与平面之间的距离；
（2）设是棱的中点，求证：．
25．（2021·上海市亭林中学高二期中）在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，是的中点.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：直线平面；
（2）求直线和平面所成角的大小；
（3）求异面直线和所成角的大小.
26．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求的值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
27．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，过棱上的动点（不同于A、两点）作平行于、的平面，分别交三棱锥的棱、、于、、三点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到直线距离的最小值；
（3）求直线与平面所成角的取值范围．
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第10章 空间直线与平面单元综合拔高专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市复兴高级中学）设、是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的（ ）21世纪教育网版权所有
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义结合线面的位置关系判断即可
【详解】
解：因为，，所以由面面垂直的判定定理可得，
当时，与可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
2．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点 B．三个点
C．一条直线和一个点 D．两条相交直线
【答案】D
【分析】
两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定 ( http: / / www.21cnjy.com )一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.21·cn·jy·com
【详解】
解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；
对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；
对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.
故选：D.
3．（2021·上海宝山区·高二期末）设空间三条互不重合的直线、、，则下列结论正确的是 2·1·c·n·j·y
A．若，与是异面直线，则与也是异面直线
B．若，与是异面直线，则与也是异面直线
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】
由空间中直线的三种位置关系逐一判断四个选项即可．
【详解】
解：若，与是异面直线，则与异面或相交，故错误；
若，与是异面直线，则与平行、相交或异面，故错误；
若，，则与平行、相交或异面，故错误；
若，，由平行公理可得，故正确．
故选：．
4．（2021·上海静安·高二期末）已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】
利用空间想象，结合有关概念、性质，可以得到ABC的反例；利用面面平行的性质定理，结合直线垂直的定义，线面垂直的定义可以证明D正确.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
若，，则，或者，故AC错误；
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若，，则，或者与异面，故B错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )
若，，过作平面，使,则,因为，，所以，因为，所以，故D正确，
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故选：D.
5．（2021·上海市新场 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高二期中）空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，当AC、BD满足（ ）时，四边形EFGH是菱形.
A．AC=BD B．AC垂直BD
C．AC平行BD D．AC=BD且AC垂直BD
【答案】A
【分析】
先利用三角形中位线定理及平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形，然后再根据菱形的定义即可求解．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图所示，连结，，
、、、分别为空间四边形的边、、、的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理，，
所以当时，有，
所以由菱形的定义知四边形为菱形．
故选：A．
6．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知是空间三条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】
利用已知条件判断线线关系，可判断A选项的正误；利用已知条件判断线面关系，可判断BD选项的正误；利用平行线的传递性可判断C选项的正误.
【详解】
对于A选项，若，，则与相交、平行或异面，A错；
对于B选项，若，，则或，B错；
对于C选项，若，，则，C对；
对于D选项，若，，则或，D错.
故选：C.
7．（2021·上海市亭林中学高二期末）在空间中，表示平面，表示两条直线，则下列命题中错误的是（ ）21教育名师原创作品
A．若，不平行，则与不平行
B．若，不垂直，则与不垂直
C．若，不平行，则与不垂直
D．若，不垂直，则与不平行
【答案】A
【分析】
根据线面位置关系可判断A；利用线面垂直的定义可判断B；利用反证法可判断C、D，进而可得答案.
【详解】
对于A：若，不平行，则与可能相交、平行或，故选项A说法错误；
对于B：若不垂直，则不垂直内与平行的直线，所以与不垂直，故选项B说法正确；
对于C：假设与垂直，若，平行，与不平行矛盾，故与不垂直，故选项C说法正确；
对于D：若，不垂直，所以，假设 与平行显然有垂直，与不垂直矛盾，所以与不平行，故故选项D说法正确；
故选项A中的命题是错误的，
故选：A.
8．（2021·上海市亭林中学高二期中）一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先还原正方体，将对应的字母标出，根据异面直线所成角的概念，作出异面直线所成角，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.
【详解】
还原正方体，如图所示，
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设正方体棱长为，
由题意可得，，
则，，，
又在正方体中，，
所以或其补角即为异面直线与所成角，
.
故选：D.
9．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知直二面角，直线在平面上，直线在平面上，且直线与直线不垂直，直线与直线不垂直，则以下判断正确的是（ ）
A．与可能垂直，但不可能平行
B．与可能垂直，也可能平行
C．与不可能垂直，但可能平行
D．与不可能垂直，也不可能平行
【答案】C
【分析】
利用空间中两直线的位置关系求解．
【详解】
解：是直二面角，直线在平面内，直线在平面内，且、与均不垂直，
当，且时，由平行公理得，即，可能平行，故与错误；
当，垂直时，则与在内的射影垂直，由于二面角是直二面角，在内的射影即为，则可证得，与已知矛盾，21cnjy.com
与不可能垂直，有可能平行．
故选：C．
10．（2021·上海市松江二中高二月考）棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ ）
A．有一条侧棱与底面的两边垂直 B．有一条侧棱与底面垂直
C．有一个侧面与底面的一条边垂直 D．有两个相邻的侧面是矩形
【答案】A
【分析】
根据直棱柱的概念，结合线面关系，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对A，若棱柱成为直棱柱，则侧棱垂直于底面，
则有一条侧棱与底面的两边垂直，反之不成立，
故有一条侧棱与底面的两边垂直为必要但不充分条件，故A正确；
对B，有一条侧棱与底面垂直为充要条件，故B错误；
对C，直棱柱只能确定侧棱和底面垂直，不能确定一个侧面与底面的一条边垂直，
故不是必要条件，故C错误；
对D，若棱柱成为直棱柱则侧面都是矩形，故有两个相邻的侧面是矩形是必要条件，
反之，两个相邻的侧面为矩形，则两个矩形相交的侧棱必垂直底面，
所以为直棱柱，为充要条件，故D错误.
故选：A
二、填空题
11．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条．【版权所有：21教育】
【答案】4
【分析】
根据异面直线的概念及几何图形判断可得；
【详解】
解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有、、、共4条；
故答案为：4
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12．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）空间中四条直线两两相交，经过任意两条可以作一个平面，则最多作________个不同平面．
【答案】6
【分析】
根据平面的基本性质可得答案.
【详解】
解：空间中四条直线两两相交，设这4条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为a，b，c，d，经过任意两条可以作一个平面，则由ab，ac，ad，bc，bd，cd最多可作6个不同的平面，
故答案为：6.
13．（2021·上海市亭林中学高二期中）已知、、为不重合的三条直线，且，，则与的位置关系是________.2-1-c-n-j-y
【答案】平行
【分析】
利用平行公理即可得到.
【详解】
因为，，且、、互不重合，
由平行公理得：.
故答案为：平行
14．（2021·上海市新场中学高二期中）以下五个命题，真命题的有_______．（填上全部真命题的序号）
（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（2）若、是异面直线，则一定存在平面过且与平行；
（3）若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则；
（4）分别位于两个给定的不同平面、内的两条直线、一定是异面直线；
（5）已知直线、和平面，不在内，在内，若，则平行.
【答案】（2）（5）
【分析】
根据空间中线线位置关系可判 ( http: / / www.21cnjy.com )断（1），根据线面平行的判定定理可判断（2）（5）；举反例可判断（3）；根据面面和线线位置关系可判断（4）；进而可得答案.
【详解】
对于（1）：在空间中，垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交、异面故（1）是假命题；
对于（2）：过上一点作的平行线，则、所确定的平面过且与平行，故（2）是真命题；
对于（3）若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则或与相交，（当不共线的三点、、在平面的两侧时，与相交），故（3）是假命题；
对于（4）：分别位于两个给定的不同平面、内的两条直线、可能相交、平行或异面，故（4）是假命题；
对于（5）：已知直线、和平面，不在内，在内，若，则平行，由线面平行的判定定理可知（5）是真命题，
所以真命题有（2）（5），
故答案为：（2）（5）.
15．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体的棱长为a，异面直线BD与的距离为________．
【答案】
【分析】
由线面垂直的性质定理可证得，而，因此是异面直线与的共垂线段，故求出的长度即可得解．
【详解】
连接，与交于点
由正方体的性质可知，，平面，
面，，
是异面直线与的共垂线段，
异面直线BD与的距离为．
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故答案为：．
16．（2021·上海市建平中学高二期中）长方体中，，，则二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）
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【答案】.
【分析】
取的中点，分别连接，证得，得到是二面角的平面角，在中，利用余弦定理和反三角函数，即可求解.
【详解】
在长方体中，因为，，
可得，，
取的中点，分别连接，
因为，可得，
所以是二面角的平面角，
在直角中，可得，
同理可得
在中，由余弦定理可得，
即二面角的余弦值为，
所以二面角的大小为.
故答案为：.
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17．（2021·上海市亭林中学高二期中）如图所示，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小为________.（用反三角函数值表示）【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【分析】
取中点为，连接，，根据正方体结构特征，以及异面直线所成角的概念，得到即为异面直线与所成的角，再设正方体棱长为，计算的正正切值即可.
【详解】
取中点为，连接，，
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因为在正方体中，侧棱底面，
又是棱的中点，所以且，则底面，
所以，即为异面直线与所成的角，
设正方体棱长为，则，，
所以，
因此异面直线与所成的角的大小为.
故答案为：.
18．（2021·上海市亭林中学高二期中）在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________.
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【答案】
【分析】
取中点为，连接，，根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得到即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
取中点为，连接，，
因为、分别是、的中点，
所以，，
则即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，
又，，，
则，，
因此，则，所以.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：.
19．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线与这三条直线所成的角的大小都是，则______．
【答案】
【分析】
在空间任取一点，分别作三条直线的平行线，，，构造一个正方体，则直线即直线与、、所成的角相等均为，由此即可求出．
【详解】
解：在空间任取一点，
分别作三条直线的平行线，，，
构造一个正方体如右图所示，
则直线即直线与、、所成的角相等均为，
即，设正方体的棱长为1，则，
则．
故答案为：.
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20．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）在长方体中，，，则直线与所成的角的余弦值等于______．21教育网
【答案】
【分析】
联结，，，则与的夹角即与的夹角，求得的长，从而求得夹角的余弦值.
【详解】
联结，，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在长方体中，，则与的夹角即与与的夹角，
在中，，，
则
故答案为：
三、解答题
21．（2021·上海市亭林中学高二期中）在直三棱柱中，，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成角.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据异面直线所成角的概念，结合题中条件，得到即为异面直线所成角，进而可求出结果；
（2）根据直棱柱的特征，结合线面角的概念，得到即为所求线面角，进而可求出结果.
【详解】
（1）因为在直三棱柱中，，
所以即为异面直线与所成的角，
又，，
所以为等腰直角三角形，因此；
（2）在直三棱柱中，侧棱和底面垂直，即平面；
连接，则即为直线与平面所成角，
又，
则，
因此，
所以直线与平面所成角为.
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22．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）在正方体中，是的中点.
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（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由得出所成的角为，利用余弦定理得出异面直线与所成的角；
（2）先证明平面，从而得出为直线与平面所成的角，再由直角三角形边角关系得出所求角.
【详解】
（1），所成的角为
连接，设，则，
，
异面直线夹角的范围为，
即异面直线与所成的角为
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）连接交于点，连接
四边形为正方形，
又平面，平面
平面
即为直线与平面所成的角
设，则
又直线与平面所成角的范围为，
即直线与平面所成的角为
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23．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点．
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（1）求点到平面的距离；
（2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】
（1）求出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得到平面的距离；
（2）分别取、的中点、，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得出，延长至点，使得，利用中位线的性质得出，进而得出，利用线面平行的判定定理可得出面，并求出此时的长，即可得出结论.www.21-cn-jy.com
【详解】
（1）如下图所示，连接，为的中点，则，
且平面，故，
平面，、平面，则，，
由勾股定理可得，，
，，
所以，，故，所以，，
故，解得；
（2）分别取、的中点、，连接、、，
、分别为、的中点，则且，
因为四边形为矩形，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
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延长至点，使得，则为的中点，
又因为为的中点，故，，
因为平面，平面，故平面，此时.
24．（2021·上海市建平中学高二期中）设正三棱柱的底面边长和高均为1．
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（1）求点与平面之间的距离；
（2）设是棱的中点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据题中所给条件，利用等体积法，即可求得答案.
（2）连接，交于O，连接，根据线面垂直的判定定理，可证平面BDO，根据线面垂直的性质定理，即可得证.21*cnjy*com
【详解】
（1）设点与平面之间的距离为h，取中点E，连接CE，
由题意得，
所以，
所以的面积为，
因为，
所以，
所以，解得.
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（2）连接，交于O，连接，如图所示：
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因为四边形为正方形，
所以，O为的中点，
又D为的中点，
所以，
所以，
因为，
所以平面BDO，
又因为平面BDO，
所以
25．（2021·上海市亭林中学高二期中）在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，是的中点.www-2-1-cnjy-com
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（1）求证：直线平面；
（2）求直线和平面所成角的大小；
（3）求异面直线和所成角的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）由线面垂直性质定理，线面垂直判定定理可证；
（2）可利用空间直角坐标系求与的夹角，即可求出；
（3）利用空间直角坐标系求与的夹角即可.
【详解】
（1）∵底面是矩形，
∴，
又平面，平面，
∴，又，，平面，
∴平面.
（2）方法一：∵平面，
∴为在平面的射影，
∴即为直线和平面所成角，
∵，
∴，又，
∴在中，，
∴，即，
∴直线和平面所成角的大小为.
方法二：
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如图所示以为原点建立空间直角坐标系，则，
∴，，由（1）知为平面的一个法向量，
设直线和平面所成角为，则
，
∴直线和平面所成角的大小为.
（3）∵是的中点，
∴又
∴，
∴
∴异面直线和所成角的大小为.
26．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．
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（1）若，求的值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）在直三棱柱中，，结合，证得平面，从而有，又，证得，因此，，代入求得结果.
（2）当时，证得，结合（1）中结论平面，得到即为直线与平面所成的角，则，代入求得结果.
【详解】
（1）在直三棱柱中，平面，则平面平面，
又平面平面，，
故平面，又平面，
故，又，，
故平面，又平面，
故
因此，，
解得
（2）由（1）知，平面，
则平面平面，平面平面，
由知，，，又，
故
则即为直线与平面所成的角，
又，
因此
27．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，过棱上的动点（不同于A、两点）作平行于、的平面，分别交三棱锥的棱、、于、、三点．
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（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到直线距离的最小值；
（3）求直线与平面所成角的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）证明，可得即为异面直线与所成的角或补角，从而可求出答案；
（2）证明，从而可得长度即为点到直线距离，当时，的长度最小，即可得出答案；
（3）找到面面垂直的情况，再结合两端的线面角的值即可得解.
【详解】
解：（1）根据题意可知，平面，
因为平面平面，平面，
所以，
所以即为异面直线与所成的角或补角，
因为，所以，
所以，
即异面直线与所成的角的大小为；
（2）因为，，，
平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为点到直线距离，
所以当时，的长度最小，
在中，，
当时，有，所以，
即点到直线距离的最小值为；
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（3）连接DE，则平面即为平面，
在中，由于为斜边，所以存在点E，使得，
由（2）得，，
又，所以平面，
所以直线与平面所成的最大角为，
即直线与平面所成的最大角为，
当点E与点A重合时，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
即直线与平面所成的角为，
当点E与点B重合时，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
即直线与平面所成的角为，
又因为点E不同于A、B两点，
所以直线与平面所成角的取值范围为，
即直线与平面所成角的取值范围为.
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