4.4 相似三角形的判定20题2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大九年级数学上册4.4-相似三角形的判定20题
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD AC D．＝
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有（　　）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝　 　．
6．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于　 　．
7．如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件　 　，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：
①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为　 　．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝　 　．
10．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于　 　．
11．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝　 　．
12．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是　 　．
13．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
14．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
16．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
（1）证明：△ACD∽△ABE．
（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．
17．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：AC CD＝CP BP．
19．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 　（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．C 5．4或6 6．
7．∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝ 8．故答案为：①②④⑤．
9．1或或 10．10或6.4 11．2或 12．5或2
13．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
14．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
15．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
16．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）连接DE，
∵△ACD∽△ABE，
∴AD：AE＝AC：AB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
17．证明：（1）∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC CD；
（2）∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，
由（1）可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA，
∴∠ADC＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD，
∴BC＝2CE，
由（1）得：AC2＝BC CD，
∴AC2＝2CE CE，
∴，
即．
18．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∴AB CD＝CP BP．
∵AB＝AC，
∴AC CD＝CP BP．
19．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
20．解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6．
∵△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝4.8；
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，
∴OB＝＝3.6．
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1.8．
在△BPE中，BE＝＝＝1.35，
∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．