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第11章简单几何体单元综合培优专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C．π D．
2．已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，VA ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）
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A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°
C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC
4．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ）
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A．对任意点，平面
B．三棱锥的体积为
C．线段长度的最小值为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
5．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为拔高，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）
（参考数据），，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
6．设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）21教育网
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A． B． C． D．
9．已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（ ）21·cn·jy·com
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
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A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
二、填空题
11．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______.
12．在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
13．已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为________.
14．如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．www.21-cn-jy.com
①直线与直线始终是异面直线
②存在点，使得
③四面体的体积为定值
④当时，平面平面
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15．如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．【来源：21·世纪·教育·网】
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16．在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为___________.
17．已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.21cnjy.com
18．已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________.
19．已知正方体ABCD－A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是__________(把所有正确结论序号都填上).
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①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B1D1//平面EFG；③四面体ACB1D1的体积等于a3；④BD1⊥平面ACB1；⑤二面角D1－AC－D平面角的正切值为.21·世纪*教育网
三、解答题
20．如图，在三棱柱中，，分别是的中点，设到平面的距离为，到平面的距离为．
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（1）求证：；
（2）若三棱柱是直三棱柱，，求的值．
21．如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，，，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.www-2-1-cnjy-com
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22．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.2-1-c-n-j-y
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（1）证明：；
（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.
23．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点.
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（1）求证：经过三点的截面平分侧棱；
（2）若底面，且，求四面体的体积.
24．在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．
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（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；
（2）若四棱雉的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．
25．（1）如图1，正四棱锥，．
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（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后 ( http: / / www.21cnjy.com )，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．21世纪教育网版权所有
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第11章 简单几何体单元综合培优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C．π D．
【答案】B
【分析】
设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.
【详解】
解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，
所以r＝1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，
所以最多可以注入的水的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
2．已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，取的中点，连接、，推导出平面，可知球心在直线上，然后在中由勾股定理可求得外接球的半径，则外接球的表面积可求.【出处：21教育名师】
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，
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，为的中点，，
平面平面，交线为，平面，
平面，,为外接圆圆心，
则球心在直线上，设三棱锥外接球的半径为，
则，，则，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题.2·1·c·n·j·y
3．如图所示，AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）
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A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°
C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC
【答案】D
【分析】
由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【版权所有：21教育】
【详解】
M，N分别为VA，VC的中点，在△中有，
在面中，MN不与AB平行；
，知：MN与BC所成的角为；
因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；
由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；
故选：D
【点睛】
本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于拔高题.
4．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ）
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A．对任意点，平面
B．三棱锥的体积为
C．线段长度的最小值为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
【答案】D
【分析】
连接，证得平面平面，可判定A正确；根据，可判定B正确；当点为线段的中点时，求得线段的长度最小值，可判定C正确；求得与平面所成角的正切值的取值范围，可判定D错误.
【详解】
连接，由且，
可得四边形为平行四边形，所以，
又由平面，且平面，所以平面，
同理可得平面，又，可得平面平面，
所以对于任意点，则平面，所以A正确；
由，所以B正确；
当点为线段的中点时，可得，
此时线段的长度最小，最小值为，所以C正确；
当点在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为，
又由长度的取值范围为，而点到平面的距离为定值1，
因为平面平面，
所以与平面所成角与与平面所成角相等，
又由平面，可得在平面射影为，
所以在平面所成角的正切值为，
即与平面所成角的正切值的取值范围为，
其最大值小于，则不存在点使得与平面所成角的大小为，
所以D错误.
故选：D.
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【点睛】
1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
2、等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.【来源：21·世纪·教育·网】
3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值.
5．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为拔高，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）
（参考数据），，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
【答案】B
【分析】
由题意可知所需要材料的体积即为正四 ( http: / / www.21cnjy.com )面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.
【详解】
由题意可知，几何体是棱长为的正四面体，
所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，
设正四面体外接球半径为，则，解得，
所以打印的体积为：，
又，
所以，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的 ( http: / / www.21cnjy.com )外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
6．设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】
在A中，与相交、平行或异面；
在B中，与不一定平行，有可能相交；
在C中，⊥或∥或与相交；
在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得∥．
【详解】
由直线、，和平面α、，知：
对于A，若∥，∥，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，
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若，与不一定平行，有可能相交，故B错误；
对于C，若⊥， ，则⊥或∥或与相交，故C错误；
对于D，若⊥，⊥， ，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得∥，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．
7．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，当平面平面时，此时的体积取得最大值，且为的外心，过点作平面的垂线，设存在点点，使得，利用球的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.21*cnjy*com
【详解】
由题意，三棱锥的底面的面积为定值，当平面平面时，此时点到底面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值，
因为四边形为菱形，且，连接交与点，
可得，所以为的外心，
过点作平面的垂线，可得上点到三点的距离相等，
设存在点点，使得，即点为三棱锥的外接球的球心，
设，可得，
即，解得，
所以外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
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【点睛】
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
8．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点在平面上的射影求解.
【详解】
过A作的垂线，分别交，，于M，G，N，如图，
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显然.
因为，所以直线与所成角即为.
当在平面上的射影为G时，平面，此时.
于是当在平面上的射影在线段上时，，
所以.
由于，，进而得，.
因为是在平面上的射影，
所以由线面角最小性知，即.
再由二面角的最大性知.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小.
9．已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先画出图形，通过几何关系算出球的半径即可.
【详解】
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如图，因为平面，，所以为球的直径
由得
作，则即为与平面所成角
所以，得
设由等面积法得，解得
所以，即，
又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长
所以P到平面距离的最大值为3.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题属于一道球 ( http: / / www.21cnjy.com )外接于鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）的题目，可以将鳖臑放到一个长方体中，由对称性可知，鳖臑的外接球就是长方体的外接球，所以长方体的体对角线正好为球的直径，因此，求外接球的半径可转化为先求长方体的体对角线长，再计算半径.www-2-1-cnjy-com
10．如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）
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A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变
【答案】D
【分析】
如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，MN的中点为O,可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定.
【详解】
如图所示，连接有关线段.
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设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O,则AC1的中点也是O,
又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，
因为平面，∴故B错误；
设,则,设,
易得
因为
为锐角；
因为
为锐角，
因为
当时取得最小值为
为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，
由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的
(∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，
故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题综合考查空间的线线角，几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在△中，，当固定变短时，满足可得到为锐角）.关键是利用计算证明时要仔细计算，严格论证，解决体积问题时，要灵活地进行体积转化与分割.
二、填空题
11．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______.
【答案】
【分析】
由题意可知的中心就是圆心，可知算得，计算可得外接球的表面积.
【详解】
如图，在等边三角形中，取的中点，
设其中心为，由，得，,
是以为斜边的直角三角形，,
又平面平面，
平面 ，，
，
则为棱锥的外接球球心，外接球半径，
所以可得外接球的表面积为.
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【点睛】
本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
12．在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
【答案】
【分析】
平面,垂足为点，连接，由条件可知是四边形外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出，根据同弦所对的圆周角相等，可知，求出的长.
【详解】
平面,垂足为点，连接，
，
平面，平面，
，同理，
是四边形外接圆的直径，
取的中点，即是四边形外接圆的圆心，
作平面，则
过的中点作的垂线，交于点，则
，
是三棱锥外接球的球心，
，，,
,
，即底面外接圆的直径是2，
，，
.
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故答案为：
【点睛】
本题考查几何体的外接球问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.
13．已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为________.
【答案】
【分析】
利用面积公式求出的面积，再利用余弦定理求出的长度，利用正弦定理求出的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.
【详解】
的面积，
设球心到平面的距离为，
则，解得，
在中，由余弦定理
，
设的外接圆半径为，由正弦定理
则，解得，
设球的半径为，则，
所以球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.21教育网
14．如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．
①直线与直线始终是异面直线
②存在点，使得
③四面体的体积为定值
④当时，平面平面
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【答案】②③④.
【分析】
取点为线段的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点，使得，利用解出的值即可判断②；连接、交于点，证明，线段到平面的距离为定值，可判断③；求出点的坐标，然后计算平面和平面的法向量，即可判断④.
【详解】
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对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，故①不正确，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，，，，
对于②：，假设存在点，使得，，，
所以，解得，所以当时，
故②正确；
对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；
对于④：当时，，，，设平面的法向量为，由 令，可得，，可得，设平面的法向量为，，由解得:，令 可得，所以，因为，【来源：21cnj*y.co*m】
所以平面平面，故④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】
方法点睛：证明面面垂直的方法
（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；
（2）利用性质：（客观题常用）；
（3）面面垂直的定义（不常用）；
（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.
15．如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．
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【答案】
【分析】
取的中点，连接，证明平面平面，平面即平面，然后分别取的中点，证明平面平面，可得，，可得异面直线与所成的角即与所成的角，由余弦定理可得答案.
【详解】
由直四棱柱的所有棱长均相等，，所以是菱形，
连接，，且，，
所以，，因为平面，平面，
所以，且，所以平面，
取的中点，连接，连接交与，所以，
且是的中点，所以平面，所以平面平面，
又平面，所以平面即平面，
分别取的中点，连接交与点，即为的中点，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，又，
所以平面平面，且平面平面，
平面平面，
所以，，
所以异面直线与所成的角即与所成的角，设，
则直四棱柱的所有棱长均为2，由，
所以，，
且，
由余弦定理得.
故答案为：.
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平面及找出异面直线所成的角，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.21世纪教育网版权所有
16．在正三棱锥中，，点是的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】
通过线面垂直的判定定理和性质可得出，，两两垂直，则可求出外接球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】
设的中心为，连接，，∴平面，
面，∴，
又，，∴平面，
平面，∴，
又，，∴平面.
平面，，
∵为正三棱锥，∴，，两两垂直，
，
故外接球直径为，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
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【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是通过线面垂直的判定定理和性质可得出，，两两垂直，即可求出半径.21cnjy.com
17．已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【分析】
根据三角形面积求出边长，即可求出三角形外接圆半径，继而可求出高的最大值，求出体积.
【详解】
设外接圆的圆心为
由是面积为的等边三角形，得解得，
则
当三棱棱锥体积最大时，球心在上，
因此有
所以的最大值为，
三棱锥的最大体积为.
故答案为：.
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【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，解题的关键是建立好勾股关系求出高.
18．已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为___________.
【答案】
【分析】
结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面，运用勾股定理，计算可得所求值.21·世纪*教育网
【详解】
如图，
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取的中点，连接，取的中点，连接，
取的中点，连接，连接，
分别取，的中点，，连接，，，
可得，，，即有，
又，可得，
平面，可得，所以平面，
可得平面，
由面面垂直的判定定理，可得平面平面，
则平面即为平面，
由，，，，，
可得所得截面周长为.
故答案为：.
19．已知正方体ABCD－ ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是__________(把所有正确结论序号都填上).
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①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B1D1//平面EFG；③四面体ACB1D1的体积等于a3；④BD1⊥平面ACB1；⑤二面角D1－AC－D平面角的正切值为.21*cnjy*com
【答案】①④
【分析】
根据平面的基本性质，可判定①正确；根 ( http: / / www.21cnjy.com )据线面位置关系，可判定②不正确；根据正方体的体积减去四个三棱锥的体积，可判定③不正确；根据线面垂直的判定定理，可判定④正确；根据二面角的平面角的求法，可判定⑤不正确.21教育名师原创作品
【详解】
如图所示，延长分别与的延长线交于点，连接交于，
设与的延长线交于点，连接交于，交于，
连接，则截面六边形为正六边形，故①正确；
由与相交，所以和平面相交，所以②不正确；
四面体的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥的体积，
即，所以③不正确；
因为，且与相交，所以平面，故④正确；
又由平面，所以二面角的平面角为，
所以，所以⑤不正确.
故选：①④.
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【点睛】
解答此类问题常见的误区：
1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；
2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
3、对面面平行性质定理理解不深导致错解.
三、解答题
20．如图，在三棱柱中，，分别是的中点，设到平面的距离为，到平面的距离为．
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（1）求证：；
（2）若三棱柱是直三棱柱，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由已知条件可得出， ，，即可求证；
（2）设，由题设得，，，分别求出和，通过三棱锥等体积，即可求出的值.
【详解】
（1）因为是的中点，，所以，
因为分别是的中点，
所以，
在三棱柱中，，
所以．
所以．
（2）设，由题设得，，
所以，
由题设可得，，，
因为，
所以，
即，
所以．
21．如图所示，在边长为的正方形中，以为圆心画一个扇形，以为圆心画一个圆，，，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥的底面，围成一个圆锥，求该圆锥的表面积与体积.www.21-cn-jy.com
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【答案】表面积，体积为.
【分析】
设圆的半径为，扇形的半径为，根据正方体的对角线、圆的周长和扇形的弧长相等列方程组，解方程组，进而求得圆锥的表面积和体积.
【详解】
设圆的半径为，扇形的半径为，
由题意，得，
解得.
所以围成的圆锥的母线长为，底面半径为，高为
∴圆锥的表面积；
∴圆锥的体积为.
22．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且，沿图1中的虚线DE，EF，FD将，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.
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（1）证明：；
（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据折起后有，，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）设点到平面的距离为，根据，得到点到平面的距离为，然后由，利用等体积法求解.
【详解】
（1）因为是正方形，
所以折起后有，.
又交于点，
所以平面.
又平面，
所以.
（2）设点到平面的距离为，
因为AB=3AM，所以PE=3ME，
所以点M到平面DEF的距离为.
又两两垂直，
所以平面.
因为，，
所以.
而，
所以，
解得，
所以点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查了图形翻折问题，考查了线线垂直的证明，同时考查了等体积法求距离，需要一定的逻辑思维能力，属于中档题.解决此类立体几何的关键有：
（1）理解空间线线以及线面之间的垂直关系，并能简单应用；
（2）等体积法的应用，等体积法是解决体积问题以及距离问题的重要方法.
23．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱的中点.
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（1）求证：经过三点的截面平分侧棱；
（2）若底面，且，求四面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设截面与侧棱交于点，连结，证明即得为的中点，即截面平分侧棱；
（2）取中点，连，证明平面，即得解.
【详解】
（1）
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证明：设截面与侧棱交于点，连结.
因为底面为矩形，所以.
又平面，且平面，
所以平面.
又平面，且平面平面，
所以.
又因为，所以
因为为的中点，所以为的中点，即截面平分侧棱.
（2）
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平面，平面，
，又，
平面.
取中点，连，
是中点，
，即且平面，
又的面积.
四面体的体积.
【点睛】
方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
24．在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．
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（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；
（2）若四棱雉的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；
（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）连结，并延长分别交，于点，，连结交于点，连结，，利用比例关系确定为靠近的三等分点，然后先求出棱柱的体积，连结，，由和进行求解，即可得到答案；
（2）求出点到平面的距离，得到点为靠近的四等分点，通过面面垂直的性质定理可得即为截面与底面所成的二面角，在三角形中利用边角关系求解即可；
（3）设，则，，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为，表示，求解取值范围即可．
【详解】
解：（1）连接，并延长分别交，延长线于点，，
连接交于点，连接，．
易得．
故为靠近的三等分点．，．
下面求三棱柱被截面分成两部分的体积比．
三棱柱的体积．
连接，．由平面知，为定值．
．
．
．故．
（2）由及得，．
又，所以．
即点到的距离为，为靠近的四等分点．
因为平面平面，
所以截面与平面所成角即为截面与平面所成角，
在中，，，故．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．则即为截面与底面所成的二面角．
在中，，，．
故．
因此，截面与平面所成二面角的正弦值为．
（3）设，则，．
设的面积为，所以．
又因为，所以．
且．令则
故．
令则，所以在上单调递减，所以，，所以，
所以
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25．（1）如图1，正四棱锥，．
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（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切 ( http: / / www.21cnjy.com )后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）.
【分析】
（1）
（ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；
（ⅱ）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；
（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.
【详解】
（1）
（ⅰ）如图4，设外接球半径为，
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则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．
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（2）正四棱锥的剪拼
几种可以剪拼成正四棱锥的方法
如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.
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因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．
图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则
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图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．
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