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第11章 简单几何体单元拔高培优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
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A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【分析】
在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】
如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
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设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．
故选：C．
2．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
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A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱柱 D．平行六面体
【答案】B
【分析】
根据棱锥的定义判断即可；
【详解】
解：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥；
故选：B
3．在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（ ）
A．点必在直线上 B．点必在直线BD上
C．点必在平面内 D．点必在平面外
【答案】A
【分析】
由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF、GH相交于点P，知点P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在线AC上.2·1·c·n·j·y
【详解】
如图所示，
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因为EF属于一个面ABC，而GH属于另一个面ADC，且EF、GH相交于点P，
所以点P在两面的交线上，
又AC是两平面的交线，
所以点P必在线AC上.
故选：A.
4．边长为2的正三角形，其水平放置的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据斜二测作图法作出直观图，再计算面积即可.
【详解】
根据原图作出直观图如图所示：
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在中，，，，
所以中，边上的高为，
所以的面积为，
所以水平放置的直观图的面积为，
故选：D.
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先画出图形，根据题意得到，设四棱锥外接球半径为，得到，，从而得到，再解方程即可得到答案.
【详解】
如图所示：在正四棱锥中，为底面对角线的交点，为外接球的球心.
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，所以，即.
因为.
设四棱锥外接球半径为，则，，
所以，解得.
所以外接球表面积为.
故选：A
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】
根据三视图，作出原图形，如图，则原图形为底面为直角梯形，高为2的四棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：根据三视图，作出原图形，如图，则原图形为底面为直角梯形，高为2的四棱锥，
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所以该几何体的体积为.
故选：B.
7．已知，是两个不同平面，，是两不同直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】
由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．
【详解】
对于A，若，则取内任意两条相交直线，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；21·世纪*教育网
对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；
对于C，若，，如图，
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设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；
对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；
故选：C．
【点睛】
思路点睛：本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于拔高题．2-1-c-n-j-y
8．长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，利用与底面所成的角分别为°和°可得长方体的另外两条棱的长，连接，则，所以异面直线和所成角即为，由余弦定理可得结果.【版权所有：21教育】
【详解】
设，则由°可得.
由°， 可得.
连接，则，
所以异面直线和所成角即为.
在三角形中，易得，
由余弦定理可得，
故选：A.
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9．已知平面与为两个完全不重合的平面，与也为两不同的直线，则对此下列说法正确（ ）
A．若α∥β，⊥面α，则⊥面β B．若，面α∥，则∥面α
C．若α∥，β∥，则面α∥面β D．若面α⊥面β，⊥面α，则⊥面β
【答案】A
【分析】
根据直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于A，若，面，由面面平行的性质可得面，故 A正确；
对于B，，面，则 面或面，故B错误；
对于C，，，此时面与面可能相交，故 C错误；
对于D，面面，面，则面或面，故D错误．
故选：A．21*cnjy*com
10．如图所示，在三棱锥A- ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AC=AB=BD=CD=2，且∠CDB=90°．取AB中点E以及CD中点F，连接EF，则EF与AB所成角的正切值取值范围为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得当平面平面时，张角最大，即EF与AB所成角最大，从而可得最大值，当平面与平面重合时，张角最小，即EF与AB所成角最小，从而可得最小值，又平面与平面不能重合，即可求得EF与AB所成角的正切值取值范围.
【详解】
解：如图，作于H，
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因为，当平面平面时，张角最大，即EF与AB所成角最大，
如图①，作与M，
，，
因为，则，所以，
所以EF与AB的夹角为或其补角，
，则，所以，
故EF与AB所成角的正切值的最大值为，
当平面与平面重合时，张角最小，即EF与AB所成角最小，
如图②所示，即为EF与AB所成角的平面角，
，
又平面与平面不能重合，
所以EF与AB所成角的正切值取值范围为.
故选：C.
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二、填空题
11．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为________．
【答案】
【分析】
根据球的直径等于长方体的对角线长，可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结果.
【详解】
因为长方体的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为，因为，，，所以，
球的表面积为，
故答案：.
【点睛】
本题主要考查长方体的性质以及球的几何性质，考查了球的表面积公式，意在考查对拔高知识的掌握与应用，属于拔高题.www-2-1-cnjy-com
12．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为_________．
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【答案】
【分析】
如图，过点C作交OA于点D，得出CD=2，作出梯形的直观图，求出即可.
【详解】
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如上图，过点C作交OA于点D，OA=6，CB=2，
则OD=2，因为，所以CD=2，
梯形的直观图如下：
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所以，作交于点，
所以，
故梯形的高为.
故答案为：
13．圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图扇环的圆心角是如图，那么圆台的体积是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】
【分析】
由圆心角求出母线长，利用勾股定理求出圆台的高，结合圆台的体积公式求解即可.
【详解】
设圆台的母线长为l，由题意得，
，解得，
所以圆台的高为：，
所以圆台的体积为：.
故答案为：
14．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为_______________．
【答案】
【分析】
由圆锥的侧面积公式，结合扇形弧长和圆心角公式可得，联立即可得解.
【详解】
圆锥展开图为扇形，设圆锥的底面圆半径为，母线为，
所以，，
，所以，所以，
解得：.
故答案为：
15．在中，，，，若将绕边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______．
【答案】
【分析】
根据题意结合图形旋转体的体积可以看作以为底面半径，分别以为母线的圆锥体积之差.
【详解】
依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
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所以，，
所以旋转体的体积:
故答案为：．
16．直四棱柱的所有棱长均为2，，以为球心为半径的球面与直四棱柱的侧面的交线长为______．
【答案】
【分析】
若分别是的中点，由题设知为球面与侧面的交线，根据题设直棱柱的性质求弧长即可.
【详解】
若分别是的中点，由题设知：△为等边三角形，且面，而，
∴以为球心为半径的球面与直四棱柱的侧面的交线：以为圆心，为半径的圆所成的圆弧，
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∴，则.
故答案为：
17．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b
其中正确命题有_________（填序号）
【答案】④
【分析】
对于①②③：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取特殊的平面和直线否定结论
对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明.
【详解】
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
对于①：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b，
满足a∥M，b∥M，但是a、b不平行.故①不正确；
对于②：取平面M为平面ABCD,取直线为直线a，直线为直线b，
满足bM，a∥b，但是aM.故②不正确；
对于③：取直线为直线a，直线为直线c，直线为直线b,满足
a⊥c，b⊥c，但是a、b不平行.故③不正确；
对于④：因为a⊥M，b⊥M，由线面垂直的性质定理可得：a∥b.
故④正确.
故答案为：④.
18．如图，在三棱锥中，，都是正三角形，，，分别为棱，，的中点，设直线与平面所成角为，则的取值范围为_________．21教育名师原创作品
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【答案】
【分析】
根据已知条件可证得面，分别取的中点，连接，可得面，因为，可证得面，所以，设，利用余弦定理求出的范围，进而可得的范围，得出的范围即可求解.
【详解】
因为，都是正三角形，点为的中点，
所以，，因为，所以面，
分别取的中点，连接，，则，
因为面，面，所以面，
同理可证面，因为，所以面面，
因为，面，所以面，所以面，
所以即为与平面所成的角，
即即为与平面所成的角，即，
设，则，所以，，
在中，由余弦定理可得
，因为，所以
所以，可得，
所以，所以，
所以，即，所以，
所以的取值范围为，
故答案为：.
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19．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的表面积是________________．www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
将三棱锥扩展为长方体，，两个几何体的外接球是同一个球，求出长方体的对角线就是外接球的直径，即可求解表面积.21*cnjy*com
【详解】
如图所示，将三棱锥补形为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，
设外接球半径为，则：.
即这个外接球的半径是，表面积.
故答案为：
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20．己知四棱锥的底面是矩形，底面，点 分别是棱 的中点，则①棱与所在直线垂直：②平面与平面垂直；③的面积大于的面积；④直线与直线是异面直线.以上结论正确的个数为___________个
【答案】2
【分析】
由线面垂直可判断①；由面面垂直的定义可判断②；由，可判断③；由可判断④.
【详解】
对于①：由底面得，由是矩形得，又，则平面，所以，故①正确；
对于②：仿①可证得平面，则，，所以是平面与平面所成二面角的平面角，显然，所以平面与平面不垂直，故②错误；
对于③：的面积，的面积，因为，，所以，故③正确；
对于④：因为点分别是棱的中点，则，又，所以，因此四点共面，故④错误.
故答案为：2.
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三、解答题
21．由一块实心的半球体铝块，已知该半球的球半径为6.
（1）求该半球体的表面积；
（2）现在该铝块熔化，浇灌在一个底面直径为8的圆柱体模具中，则求铸造出得圆柱高度.
【答案】（1）；（2）9
【分析】
（1）半球体的表面积由半个球面和一个圆面构成，按照公式进行计算即可；
（2）先求出半球体的体积，转化成圆柱的体积，进行计算即可．
【详解】
（1）由题知该半球的球半径为6，则.
（2）由题知，
故柱体的高度为：，
故铸造出的圆柱的高度为9.
22．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M N分别是AB PC的中点
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（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
【答案】（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面.
【分析】
（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；
（2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
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分别是的中点，
.
，
又面，面，
∴面.
同理可证：面.
又面，面，,
平面平面，
平面，
平面
（2）解：假设第一问的即为所求
在的中点，
分别是的中点，为的中点
且
则平面平面
且
所以平面平面.
所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
【点睛】
（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；
（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在.
23．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24.
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（1）求圆台的母线长l.
（2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知可得，结合题干数据和勾股定理可求解，即得解；
（2）设正方体的棱长为x，利用相似三角形的比例关系列出等量关系，可得解.
【详解】
(1)由已知，又
所以，
所以，圆台的母线
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（2）
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如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，
则
解得
故正方体的棱长为
24．如图1，在平行四边形中，，，D为的中点，沿将翻折到的位置，如图2，点P在平面内的正投影点F在上，H在上，平面．
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（1）证明：H为的中点
（2）求B到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据题意，结合余弦定理，求得各边长度，根据勾股定理，可证，根据线面平行的性质定理，可得，连接，根据线面垂直的性质定理，结合题意，可得，进而可得，即可得证.
（2）根据，可得各边长度及、面积，利用等体积法，即可求得答案.
【详解】
（1）由题意，易知，，
则，
∵，∴．
∵平面，平面平面，
∴，∴．
连接，∵平面，
∴，，
又由题知，∴，∴，
∴H为的中点．
（2）设，在梯形中，，
∵，∴，．
在边长为的正三角形中，，
∴．
设B到平面的距离为h，且，
，，
由．可得，解得．
∴B到平面的距离为．
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25．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，，且PB与面PAD所成角为.21世纪教育网版权所有
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（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1) 过B作于O，连接OP.由面面垂直的性质可得平面PAD，由三角形全等可得，从而可证明平面ABCD，代入锥体体积的公式可求出四棱锥的体积.21cnjy.com
(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBC、平面APB的法向量，求出向量夹角的余弦值，从而可求出二面角的余弦值.
【详解】
解：
（1）过B作于O，连接OP.
∵侧面底面ABCD，且交线为AD，，平面ABCD，
∴平面PAD，∴即为PB与面PAD所成的角，于是，
∴.又∵底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，
∴，∴，故O为AD中点，
又∵侧面底面ABCD，且交线为AD，，平面PAD，
∴平面ABCD，由题意得.
∴四棱锥P-ABCD的体积.
（2）以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系O-xyz，则，，，.
，，，
设平面APB的法向量，由，得，
取.设平面PBC的法向量，
由，得，取.
∴，又∵二面角A-PB-C为钝二面角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为.
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【点睛】
方法点睛:
求二面角问题常见的方法有：（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）通过做辅助线，找到所求二面角的平面角，结合解三角形的相关知识求解;（2）建立空间坐标系，求平面的法向量，结合空间向量的知识进行求解.21教育网
26．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为BC的中点.
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（1）证明：；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取CD的中点E，连接PE EM EA.根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，求得各边长度，根据勾股定理，可证，根据线面垂直的判定、性质定理，即可得证.21·cn·jy·com
（2）由（1）可得，，则是二面角的平面角，在中，根据三角函数的定义，即可得答案.
【详解】
解：（1）取CD的中点E，连接PE EM EA.
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∵为正三角形，∴.
∵平面平面，面，平面平面，
∴平面.
又∵面，∴.
∵四边形是矩形，
∴ 均为直角三角形，
由勾股定理可求得：，，，
∴，即.
又，面，面，
∴面，又面，
∴.
（2）由（1）可知，，
∴是二面角的平面角.
∴在中，，
∴，
∴二面角的大小为.
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A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
2．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
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A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱柱 D．平行六面体
3．在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（ ）
A．点必在直线上 B．点必在直线BD上
C．点必在平面内 D．点必在平面外
4．边长为2的正三角形，其水平放置的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知，是两个不同平面，，是两不同直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）21教育网
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A． B．
C． D．
9．已知平面与为两个完全不重合的平面，与也为两不同的直线，则对此下列说法正确（ ）
A．若α∥β，⊥面α，则⊥面β B．若，面α∥，则∥面α
C．若α∥，β∥，则面α∥面β D．若面α⊥面β，⊥面α，则⊥面β
10．如图所示，在三棱锥A ( http: / / www.21cnjy.com )-BCD中，AC=AB=BD=CD=2，且∠CDB=90°．取AB中点E以及CD中点F，连接EF，则EF与AB所成角的正切值取值范围为（ ）
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A． B． C． D．
二、填空题
11．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为________．
12．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为_________．21世纪教育网版权所有
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13．圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图扇环的圆心角是如图，那么圆台的体积是__________．21cnjy.com
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14．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为_______________．
15．在中，，，，若将绕边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______．21·cn·jy·com
16．直四棱柱的所有棱长均为2，，以为球心为半径的球面与直四棱柱的侧面的交线长为______．
17．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b
其中正确命题有_________（填序号）
18．如图，在三棱锥中，，都是正三角形，，，分别为棱，，的中点，设直线与平面所成角为，则的取值范围为_________．www.21-cn-jy.com
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19．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的表面积是________________．2·1·c·n·j·y
20．己知四棱锥的底面是矩形，底面，点 分别是棱 的中点，则①棱与所在直线垂直：②平面与平面垂直；③的面积大于的面积；④直线与直线是异面直线.以上结论正确的个数为___________个21·世纪*教育网
三、解答题
21．由一块实心的半球体铝块，已知该半球的球半径为6.
（1）求该半球体的表面积；
（2）现在该铝块熔化，浇灌在一个底面直径为8的圆柱体模具中，则求铸造出得圆柱高度.
22．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M N分别是AB PC的中点
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（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
23．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24.
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（1）求圆台的母线长l.
（2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长.
24．如图1，在平行四边形中，，，D为的中点，沿将翻折到的位置，如图2，点P在平面内的正投影点F在上，H在上，平面．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）证明：H为的中点
（2）求B到平面的距离．
25．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，，且PB与面PAD所成角为.www-2-1-cnjy-com
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（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值.
26．如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，M为BC的中点.
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（1）证明：；
（2）求二面角的大小.
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