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专题08柱、锥、台的表面积问题综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2021·上海高二专题练习）正四棱台上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则此棱台的侧面积为________．21cnjy.com
2．（2021·上海市市西中学）在斜三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，其中一条侧棱与底面两边所在直线夹角为，则该斜三棱柱的侧面积为___________.21·cn·jy·com
3．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______．
4．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为__________.2·1·c·n·j·y
5．（2021·上海市建平中学高二期末）圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______．【来源：21·世纪·教育·网】
6．（2021·上海市松江二中高二月考）如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2021·上海高二专题练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积______．2-1-c-n-j-y
8．（2021·上海市亭林中学高二期末）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是______．21世纪教育网版权所有
二、解答题
10．（2021·上海高二专题练习）已知等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积为，求内接正四棱柱的全面积．www.21-cn-jy.com
11．（2021·上海市行知中学高二月考）如图，在正三棱柱中，已知，正三棱柱的体积为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求正三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
12．（2021·上海高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设 为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的正切值.
13．（2021·上海市亭林中学高二期末）如图，在直角三角形中，，斜边，是中点，现将直角三角形以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上一点，且．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
14．（2021·上海徐汇区·位育中学高二期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
15．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图所示，圆锥的底面半径为2，是圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设()，是母线的中点，已知当时，与底面所成角为.21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）若，求的值.
16．（2021·上海市实验学校高二期中）正四棱柱的底面边长为，.
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
17．（2021·上海市中国中学高二月考）如图，在正三棱锥中，，点A到底面的距离为2，E为棱的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线与底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求正三棱锥的表面积．
18．（2021·上海闵行区·闵行中学高二期末）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为1.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设圆锥的母线长为2，求圆锥的表面积和体积；
（2）设，、是底面半径，且，如图，求直线与平面所成的角的大小.
19．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心，是圆上一点.已知，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求点到平面的距离；
（3）将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.
20．（2021·上海高二专题练习）如图，在直四棱柱中，，：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：平面；
（2）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）www-2-1-cnjy-com
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专题08 柱、锥、台的表面积问题综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2021·上海高二专题练习）正四棱台上、下底面的边长分别为，，侧棱长为，则此棱台的侧面积为________．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【分析】
作出正四棱台，则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，过作交于点，先求出斜高，再求出等腰梯形的面积，可得出答案.21·cn·jy·com
【详解】
设正四棱台,则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形.如图
在侧面中，过作交于点，
因为为等腰梯形，所以,
所以
所以侧面积为：
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查求正四棱台的侧面积，考查正四棱台的基本性质，属于拔高题.
2．（2021·上海市市西中学）在斜三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，其中一条侧棱与底面两边所在直线夹角为，则该斜三棱柱的侧面积为___________.21教育网
【答案】
【分析】
首先证得，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点作于，因为,则，所以，即，又因为，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以，则该斜三棱柱的侧面积为，
故答案为：.
3．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______．
【答案】8
【分析】
过V作平面ABC的垂线VO,交平面ABC ( http: / / www.21cnjy.com )于O点,过作OE⊥AB,交AB于E.连结VE, 则∠VEO是二面角V-AB-C的平面角，在直角三角形VEO中，利用余弦的定义，即可求出侧高，即可求出四棱锥的侧面积.21cnjy.com
【详解】
如图,
( http: / / www.21cnjy.com / )
在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD边长为2.侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°,
过V作平面ABC的垂线VO,交平面ABC于O点,过作OE⊥AB,交AB于E.连结VE,
则∠VEO是二面角V-AB-C的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,
∴，∴cos∠VEO=,
∴该四棱锥的侧面积.
故答案为：8
4．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为__________.
【答案】
【分析】
分析可知正三棱锥的三个侧面都是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，可直接求解.
【详解】
因为正三棱锥的三个侧面都是腰长为4，底边长为2的等腰三角形，
所以正三棱锥的斜高为，
所以正三棱锥的侧面积为
故答案为：
5．（2021·上海市建平中学高二期末）圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______．
【答案】
【分析】
根据面积关系得到，再通过三角函数关系计算夹角.
【详解】
设底面半径为，母线长为，则
故母线与轴所成角满足
故答案为
【点睛】
本题考查了圆锥的夹角关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
6．（2021·上海市松江二中高二月考）如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，由正弦型函数的单调性求出圆柱侧面积的最大值，求出球的表面积，即可求得两者的差值.
【详解】
设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为（），则，圆柱的高为，圆柱的侧面积为：，
当，即时，取最大值1，圆柱的侧面积取最大值为，
所以当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为.
故答案为：
【点睛】
本题考查柱体、球体的表面积，球的内接几何体，将面积用三角函数表示使计算过程更加简洁，属于中档题.
7．（2021·上海高二专题练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积______．21*cnjy*com
【答案】
【分析】
由题意，圆锥的底面周长是，求出圆锥的底面半径是，再由圆锥的母线长为，能求出圆锥的表面积．
【详解】
解：由题意可得，圆锥的底面周长是，
设圆锥的底面半径是，则，
解得，
圆锥的母线长为，
圆锥的表面积是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的表面积、侧面展开图的性质等拔高知识，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（2021·上海市亭林中学高二期末）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a的范围.
【详解】
①拼成一个三棱柱时,有三种情况：
将上下底面对接,其全面积为：；
3a边可以合在一起时, ；
4a边合在一起时， .
②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,，21*cnjy*com
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： .
由题意得：，解得：.
故答案为 ：
【点睛】
（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
9．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是______．
【答案】
【分析】
根据题意使用圆柱的底面积、侧面积公式，分别算出该圆柱的底面积和侧面积，从而得出该圆柱的全面积.
【详解】
∵圆柱的底面半径为,
∴圆柱的底面圆面积.
又∵圆柱的高为, ∴圆柱的母线长,
∴圆柱的侧面积.
所以, 该圆柱的全面积为.
故答案为：.
二、解答题
10．（2021·上海高二专题练习）已知等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积为，求内接正四棱柱的全面积．www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
先设等边圆柱底面圆半径为，得到内接正四棱柱的底边长，以及高，根据圆柱的表面积公式，求得，再由正四棱柱的表面积公式，即可求出结果.
【详解】
设等边圆柱底面圆半径为，
则它的内接正四棱柱的底边长为，高为，
则，所以，
∴内接正四棱柱的全面积为：.
【点睛】
本题主要考查求圆柱内接正四棱柱的表面积，熟记圆柱与棱柱的结构特征，以及表面积公式即可，属于常考题型.
11．（2021·上海市行知中学高二月考）如图，在正三棱柱中，已知，正三棱柱的体积为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求正三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设该正三棱柱的底面边长为，由三棱柱的体积求出，然后计算该正三棱柱的表面积即可；
（2）说明为异面直线与所成的角，通过解三角形求解即可．
【详解】
（1）设正三棱柱的底面边长为，则底面的面积为，
正三棱柱的体积为，
解得，因此，正三棱柱的表面积为；
（2），所以，异面直线与所成角为，
在正三棱柱中，底面，底面，，
在中，，，.
因此，异面直线与所成角的大小为.
【点睛】
本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力，属于拔高题.
12．（2021·上海高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设 为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的正切值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可．
【详解】
解：（1）底面
由题意高，底面半径，
所以母线
圆锥的侧面积
（2）取的中点为，因为为的中点
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所以，就是直线与直线所成的角．
因为，，
所以平面，平面，
在Rt△PNM中，，．
所以的正切值为．
即直线与直线所成的角正切值为．
13．（2021·上海市亭林中学高二期末）如图，在直角三角形中，，斜边，是中点，现将直角三角形以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上一点，且．21世纪教育网版权所有
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（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）由已知条件求出底面半径，从而可求出圆锥的侧面积，
（2）设的中点为，连接，则设异面直线与所成的角即为，由∥，所以平面，然后在直角三角形中求解
【详解】
（1）因为直角三角形中，，斜边，
所以，
所以圆锥的体积为，
（2）设的中点为，连接，
因为是中点，所以∥，
所以异面直线与所成的角为，平面，
所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成的角为，
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14．（2021·上海徐汇区·位育中学高二期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.2·1·c·n·j·y
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（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；
（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．
【详解】
设圆柱的底面半径为，高为；圆锥的母线长为，高为，
根据题意可知：
（1），cm，cm，
所以“笼具”的体积cm．
（2）圆柱的侧面积cm，圆柱的底面积cm，
圆锥的侧面积cm，所以“笼具”的表面积为 cm，
故造50个“笼具”的总造价：元．
答：这种“笼具”的体积约为 cm，生产50个“笼具”的总造价为元.
【点睛】
本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于拔高题．
15．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图所示，圆锥的底面半径为2，是圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设()，是母线的中点，已知当时，与底面所成角为.2-1-c-n-j-y
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（1）求该圆锥的侧面积；
（2）若，求的值.
【答案】（1）.（2）或.
【分析】
（1）作出与底面所成角，利用，由此求得，进而求得圆锥的侧面积.
（2）解法一：建立空间直角坐标系，利用求得的值，进而求得的值.
解法二：判断出三角形是等边三角形，由此求得的值.
解法三：通过构造直角三角形的方法，求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1），，
设为中点，连接，则∥，
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∵平面，∴平面，
∴
在Rt△中，，，得：，
得：，，
∴，
.
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系，
则，，
，，
，
，
由题意，，
∵，∴或.
解法二：设为中点，连接，则∥， ∴，
又∵，可得：平面，∴，
∴△是等边三角形，
∴或.
解法三：设为中点，连接 ，∴
设为中点，连接 ，∴，
在△中，由余弦定理有：，
∴在Rt△中，，在△中，，
∴在Rt△中，，即得，
∵，∴或.
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【点睛】
本小题主要考查圆锥侧面积的求法，考查根据线线垂直求角，属于中档题.
16．（2021·上海市实验学校高二期中）正四棱柱的底面边长为，.
（1）求该正四棱柱的表面积和体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
【答案】（1），体积为；（2）.
【分析】
（1）由题意得，再由正四棱柱的表面积和体积公式可得答案.
（2）连接，则，转化为直线 与所成的角就是异面直线与 所成的角，根据已知得到 是等腰三角形，取的中点 ，连接，所以 ，可得 ，www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）由题意得，
则该正四棱柱的表面积为
，
体积为.
（2）连接，则，
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所以直线与所成的角就是异面直线与 所成的角，
在中，，所以 是等腰三角形，
取的中点，连接，所以，且 ，
在中，由，
则得，
所以，异面直线与所成的角的大小.
【点睛】
求异面直线所成的角的几何方法一般有三种 ( http: / / www.21cnjy.com )类型：①利用图中已有的平行线进行平移；②利用特殊点作平行线进行平移；③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移；④向量法.【来源：21cnj*y.co*m】
17．（2021·上海市中国中学高二月考）如图，在正三棱锥中，，点A到底面的距离为2，E为棱的中点．【出处：21教育名师】
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（1）求直线与底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求正三棱锥的表面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）作平面，垂足为，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，连结，则为直线与底面所成角，再由锐角三角函数计算可得；
（2）首先利用勾股定理求出三棱锥的斜高，再直接代入面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）作平面，垂足为，则为等边三角形的中心，，
连结，则，
设的边长为，则，
．
连结，则，
因为平面，所以为直线与底面所成角，
所以，
直线与底面所成角为；
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（2）因为，，，所以
三棱锥的表面积．
18．（2021·上海闵行区·闵行中学高二期末）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为1.
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（1）设圆锥的母线长为2，求圆锥的表面积和体积；
（2）设，、是底面半径，且，如图，求直线与平面所成的角的大小.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）结合圆锥的表面积和体积公式直接求解即可；
（2）等体积法求出点到平面的距离为，然后根据线面角的定义即可求出所成角的正弦值，进而求出结果.21教育名师原创作品
【详解】
（1）圆锥的表面积为，
圆锥的高为，
所以圆锥的体积为；
（2）,
因为，所以,
所以，
设点到平面的距离为，因为,
所以，解得，
设直线与平面所成的角为，
则，所以.
19．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心，是圆上一点.已知，.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求点到平面的距离；
（3）将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.
【答案】（1）； （2）； （3）.
【分析】
根据题意，结合圆的面积和圆柱的侧面积公式，即可求解；
（2）根据题意，证得平面，得到，求得，设点到平面的距离为，结合，即可求解；
（3）根据线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径，以为高的圆锥，线段绕旋转一周所得的几何体为为底面半径，以为高的圆锥，结合圆锥的体积公式，即可求解.【版权所有：21教育】
【详解】
由题意知是圆柱的一条母线，过底面圆心，且，
可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为
所以圆柱的表面积为.
（2）由过底面圆心，是圆上一点，可得，
因为，所以，
所以三棱锥的体积为，
又由平面，且平面，所以，
又由，且，所以平面，
因为平面，所以，
在直角中，，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
由，可得，解得.
（3）由线段绕旋转一周所得几何体为以为底面半径，以为高的圆锥，
线段绕旋转一周所得的几何体为为底面半径，以为高的圆锥，
所以以绕旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
.
20．（2021·上海高二专题练习）如图，在直四棱柱中，，：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：平面；
（2）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）21·世纪*教育网
【答案】（1）详见解析：（2）4种不同的拼接方案，f（k）
【分析】
（1）取DC的中点E，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）由题意可与左右平面ADD1A ( http: / / www.21cnjy.com )1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．通过比较即可得出f（k）．
【详解】
（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB＝ED＝3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE＝AD＝4k，∴BE2+EC2＝（4k）2+（3k）2＝（5k）2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，
∵AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1．
（2）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
通过比较即可得出f（k）．
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【点睛】
本题主要考查了线线、线面的位置关系、柱体的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义积表面积、勾股定理的逆定理等拔高知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．
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