中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 简单几何体的三视图和直观图综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.
【详解】
对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，
这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故②错误；
对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A.
2．（2021·上海高二专题练习）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由三视图可知该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，结合三视图中的数据，即可求出组合体的体积21cnjy.com
【详解】
几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为，四棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为：
故选：A
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查利用三视图求原几何体的体积，属于中档题.
3．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位:）为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．32 B．36 C．40 D．48
【答案】A
【分析】
由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解.21*cnjy*com
【详解】
由三视图知该几何体的直观图如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
其中平面ABC， ，
则，
所以平面APC，
所以
所以四个面都是直角三角形
所以该几何体的表面积，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于拔高题.
4．（2021·上海高二专题练习）已知一个四 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.
【详解】
由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积，
则该四棱锥的体积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于拔高题.
5．（2021·上海高二专题练习）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
【答案】C
【详解】
试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.21教育名师原创作品
考点：几何体的三视图及体积的计算.
【方法点晴】
本题主要考查了几何体的三视图及其体积的 ( http: / / www.21cnjy.com )计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于拔高题.
6．（2021·徐汇区·上 ( http: / / www.21cnjy.com )海中学高二月考）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m+n的值（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．7 C．8 D．11
【答案】C
【详解】
解：从3个小立方体上的数可知，
与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，
所以数字1面对数字5，
同理，立方体面上数字3对6．
故立方体面上数字2对4．
则m=6，n=2，
那么m+n=8．
故答案为8
7．（2021·上海高二专题练习）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为： ，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴ ，解得r=2，
本题选择B选项.
( http: / / www.21cnjy.com / )
点睛：三视图的长度特征：“长对正 ( http: / / www.21cnjy.com )、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8．（2021·上海高二专题练习）在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【详解】
取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．
延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．
同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．
所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．
9．（2021·上海市七宝中学）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【详解】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：．
【点睛】
本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个拔高题．
二、填空题
10．（2021·上海市西南位育中学高二期中）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的底面边长为_________.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【分析】
直接根据三视图判断即可.
【详解】
由左视图得三棱柱的底面正三角形边上的高为，故底面边长为.
故答案为：
11．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个球的体积为，则它的俯视图的面积为______．
【答案】.
【分析】
根据球的体积求得球的半径，再根据球的三视图即可求得答案.
【详解】
解：设球的半径为R，
则有，所以，
则球的俯视图是以为半径的圆，
所以它的俯视图的面积为.
故答案为：.
12．（2021·上海市亭林中学高二期末）已知圆柱的主视图是面积为4的正方形，那么这个圆柱的体积为________．
【答案】
【分析】
根据圆柱的主视图是面积为4的正方形，求得圆柱得底面圆半径和高，再根据圆柱得体积公式即可得解.
【详解】
解：设圆柱底面圆得半径为R，高为h，
因为圆柱的主视图是面积为4的正方形，所以，且，
所以，
所以圆柱的体积为.
故答案为：.
13．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，且腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.
【详解】
直观图中，梯形的下底长为，
作出原图形如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，
因此，原图形的面积为.
故答案为：.
14．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
由三视图可得该几何体是半个圆柱，其中底面半径为1，高为2，然后算出答案即可.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
由三视图可得该几何体是半个圆柱，其中底面半径为1，高为2
所以其表面积为
故答案为：
15．（2021·宝山区·上海交大附中）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】10
【分析】
根据三视图还原几何体，再由三视图中所给数据即可作答.
【详解】
三视图还原成的四棱锥，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，AD=4，BC=1，AB=4，PA=PB，
平面PAB⊥平面ABCD，
四棱锥的高为3，
梯形ABCD的面积为，
所以该四棱锥的体积为.
故答案为：10
16．（2021·上海市实验学校高二期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为_______．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】；
【分析】
首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．
【详解】
根据几何体的三视图可得该几何体是由圆柱和圆锥组成的组合体；
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
圆锥的母线长，圆锥的底面周长为，
所以圆锥的侧面积，
圆柱的表面积，
故几何体的表面积为．
故答案为：．
17．（2021·上海市中国中学高二月考）已知正的边长为2，那么的斜二测画法平面直观图的面积为______．
【答案】
【分析】
由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解面积即可.
【详解】
设原图形的面积为，斜二测画法所得图形的面积为，
由斜二测画法可知：，
题中，
则.
故答案为：.
18．（2021·上海高二专题练习）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
由三视图可知，几何体是个圆柱，且母线长为3，底面半径为2，再求出底面弧长为，即可由侧面积公式求出．21教育网
【详解】
由三视图可知，几何体是个圆柱，且母线长为3，底面半径为2，底面弧长为，
所以该几何体的侧面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，并计算其侧面积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于拔高题．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
19．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期末）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体截去一个角后所得的几何体．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试画出该几何体的三视图（主视图投影面平行平面，主视方向如图所示）；
（2）若截面是边长为2的正三角形，求该几何体的体积．
【答案】（1）作图见解析；（2）.
【分析】
（1）根据三视图的定义可画出该几何体的三视图；
（2）由是边长为2的正三角形，先求出截掉的三棱锥的棱长和体积，用正方体的体积减去小三棱锥的体积即可
【详解】
解：（1）三视图如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设在正方体中由顶点出发的三条棱长分别为，
则由题意得，解得，
因此，所求几何体的体积为
，
20．（2021·上海高二专题练习）在水平放置的平面内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足轴与轴、轴的轴间角都为且时，它被画成边长为的正方形，并且底边在水平轴位置．求出这个四边形的真实形状的面积．21世纪教育网版权所有
【答案】
【分析】
由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，根据斜二测画法的方法与步骤，求出真实形状的长与高，进而可求出面积.21·世纪*教育网
【详解】
由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，
且这个平行四边形的一条边长为，
由斜二测画法，对应的高为直观图中正方形的一条对角线，
且它的实际长度是对角线长的2倍，即，
所以它的面积为．
【点睛】
本题考查了斜二测画法的方法与步骤，掌握斜二测画法水平长度与竖直高度的变化情况是解题的关键，属于拔高题.www.21-cn-jy.com
21．（2021·上海高二专题练习）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
【答案】（1），画图见解析；（2），.
【分析】
（1）本题根据题意先求，再根据题意建立方程求棱长；最后根据棱长画出它的直观图即可；
（2）先设，接着建立方程用表示出，再表示出，最后根据的范围求范围即可解题.
【详解】
（1）由题意，设正四棱锥的棱长为，则，
，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设，则，由，可得，
从而，其中，
∴
【点睛】
本题考查画几何体的直观图、根据几何体的边角关系建立函数关系并求范围，是中档题.
22．（2021·上海高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室，是边长为2的正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；
（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）
【分析】
（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.
（2）证明,结合,即可得到面,进而可证明.
（3）阳马的体积为:,根据均值不等式可得: (取得等号),即可求得.以点为顶点,以底面求三棱锥体积, 在以点为顶点,以底面求三棱锥体积.利用等体积法即可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）画出堑堵的三视图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图,连接和.
由题意可知:面 ,在平面
又
面 故: ,可得为直角三角形.
由题意可知,,都是直角三角形.
四面体四个面都是直角三角形,故四面体是鳖臑.
（3）
在中,
根据均值不等式可得: (取得等号)
由题意可知,面
阳马的体积为:
(取得等号)
( http: / / www.21cnjy.com / )
以为顶点,以底面求三棱锥体积:
,设到面距离为
以为顶点,以底面求三棱锥体积:
解得:
【点睛】
本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马的体积,通过不等式取最值时成立条件,求出底边长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07简单几何体的三视图和直观图综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.
正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·上海高二专题练习）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位:）为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．32 B．36 C．40 D．48
4．（2021·上海高二专题练习）已知一个 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海高二专题练习）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
6．（2021·徐汇区·上海中学高二 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m+n的值（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．7 C．8 D．11
7．（2021·上海高二专题练习）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2021·上海高二专题练习）在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．（2021·上海市七宝中学）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、填空题
10．（2021·上海市西南位育中学高二期中）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的底面边长为_________.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个球的体积为，则它的俯视图的面积为______．www-2-1-cnjy-com
12．（2021·上海市亭林中学高二期末）已知圆柱的主视图是面积为4的正方形，那么这个圆柱的体积为________．21·世纪*教育网
13．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）如图，若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，且腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是________．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为______．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2021·宝山区·上海交大附中）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2021·上海市实验学校高二期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为_______．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021·上海市中国中学高二月考）已知正的边长为2，那么的斜二测画法平面直观图的面积为______．【版权所有：21教育】
18．（2021·上海高二专题练习）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的侧面积为________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
19．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期末）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体截去一个角后所得的几何体．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试画出该几何体的三视图（主视图投影面平行平面，主视方向如图所示）；
（2）若截面是边长为2的正三角形，求该几何体的体积．
20．（2021·上海高二专题练习）在水平放置的平面内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足轴与轴、轴的轴间角都为且时，它被画成边长为的正方形，并且底边在水平轴位置．求出这个四边形的真实形状的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
21．（2021·上海高二专题练习）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
22．（2021·上海高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室，是边长为2的正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；
（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
