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专题10球的体积和表面积问题综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市奉 ( http: / / www.21cnjy.com )贤区奉城高级中学高二期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
2．（2021·山东青岛市·高一期末）已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
3．（2020·上海高三专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）将直径分别为6，8，10的三个铁球熔铸成一个大铁球，则大铁球的表面积是原来三个球表面积之和的（ ）．21·cn·jy·com
A． B． C． D．2倍
4．（2018·上海市南洋模范中学高二期中）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
5．（2019·宝山·上海 ( http: / / www.21cnjy.com )交大附中高三月考）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为21·世纪*教育网
A． B． C． D．
6．（2020·上海高三专题练习）如果球、正方体与等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的体积相等，那么它们的表面积，，的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2021·上海师范大学第二附属中学高二月考）已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
8．（2021·肇庆市高要区第二中学高一月考）把边长2的正方形沿对角线折成直二面角后，下列命题正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．平面
B．平面平面
C．
D．三棱锥的外接球的表面积为
二、填空题
9．（2021·吉林长春外国语学校（理））已知菱形的边长为，，若沿对角线将△折起，所得的二面角的大小为，则四点所在球的表面积为____________．21教育网
10．（2021·武功县普集高级中学（理））已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______________________．【来源：21·世纪·教育·网】
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11．（2021·上海高二专题练习）已知，，，是某球面上不共面的四点，且，，，则此球的表面积等于_______.
12．（2021·上海虹口·高三二模）已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于().若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于___________().
13．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为__________.
14．（2021·上海市七宝中学高三其他模拟）在棱长为2的正方体，M，N，Q，P分别为棱，，，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.21*cnjy*com
15．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为，通过考查与的关系，可得的值为___________.【来源：21cnj*y.co*m】
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16．（2021·上海高二专题练习）如图，在三棱锥中，，，点、分别在侧面、棱上运动，，为线段的中点，则点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于____________．【出处：21教育名师】
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三、解答题
17．（2021·湖南雅礼中学高三二模）在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.21教育名师原创作品
（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.21*cnjy*com
18．（2021·福建省南平市高级中学高一期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2，2·1·c·n·j·y
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（1）求其体积；
（2）若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积.
19．（2021·福建泉州五中高一期中）如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上.
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（1）求三棱锥的体积的最大值；
（2）求三棱锥的外接球的体积的最小值.
20．（2021·广东高一月考）“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？
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21．（2020·上海高三专题练习）如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，且已知．
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（1）求球的表面积；
（2）设为中点，求异面直线与所成角的大小．
22．（2020·上海高三专题练习）有一个倒放着的轴截面为等边三角形的圆锥形容器，内盛有高为的水，放入一个铁球后，上升的水平面恰好和球相切，求球面上的点到圆锥顶点的最小距离．【版权所有：21教育】
23．（2021·上海市光明中学高二 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
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（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
24．（2021·长宁·上海市延安中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )二期中）已知地球的半径为R，在北纬60°圈上有A、B两点．若点A的经度为东经65°，点B的经度为西经55°，求A、B两点的球面距离．
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专题10 球的体积和表面积问题综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，有一个水平放置的透明无盖 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为21cnjy.com
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可求出正方体的上底面与球相 ( http: / / www.21cnjy.com )交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．
【详解】
设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为．www.21-cn-jy.com
故选：A．
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【点睛】
本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于拔高题．
2．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
如图所示，
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设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.
因为的面积为，所以边长为3，
由于三棱锥的体积的最大值为，得，
易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，
的外接圆直径为，所以,
设球O的半径为R，则,
解得,
所以球的表面积为.
故选：A
3．将直径分别为6，8，10的三个铁球熔铸成一个大铁球，则大铁球的表面积是原来三个球表面积之和的（ ）．www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．2倍
【答案】A
【分析】
计算出三个铁球的体积，由此求得大铁球的直径，由此计算出各个球的表面积，进而得出正确选项.
【详解】
三个铁球的半径分别为，所以体积分别为，所以大铁球的体积为，所以大铁球的半径为.三个铁球的表面积之和为，大铁球的表面积为.所以大铁球的表面积是原来三个球表面积之和的.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查球的表面积、体积，属于中档题.
4．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
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如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．21*cnjy*com
考点：外接球表面积和椎体的体积．
5．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在 ( http: / / www.21cnjy.com )球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
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解法二: ( http: / / www.21cnjy.com / )
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
【点睛】
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
6．如果球、正方体与等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的体积相等，那么它们的表面积，，的大小关系为（ ）．【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据球、正方体与等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的体积相等列方程，分别求得它们的表面积的表达式，由此比较出，，的大小关系.
【详解】
设球的半径为，正方体的棱长为，等边圆柱的底面半径为、母线长为，
则它们的体积分别为，
依题意可知①.
它们的表面积分别为②.
由①得，代入②得
，
，
，
由于，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查球、正方体、圆柱的体积和表面积的计算，属于中档题.
7．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将正四面体放入正方体中，可得正方体的棱长为，求出正方体外接球的体积即为正四面体外接球的体积.
【详解】
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如图将棱长为1的正四面体放入正方体中，
且正方体的棱长为，
所以正方体的体对角线，
所以正方体外接球的直径，
所以正方体外接球的体积为，
因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以正四面体的外接球的体积为，
故选：A.
8．把边长2的正方形沿对角线折成直二面角后，下列命题正确的是（ ）
A．平面
B．平面平面
C．
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】D
【分析】
选项A，取为中点，连结，可得为直二面角的平面角，即
，根据长度关系可得，可判断；
选项B，取为中点，连结，可得为直二面角的平面角，根据长度关系可得，可判断；
选项C，根据A中计算的，可判断；
选项D，由于，故三棱锥的外接球以为圆心，为半径，计算表面积可判断.
【详解】
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选项A，由题意为直二面角，取为中点，连结，
由于正方形，
故为直二面角的平面角，
，又
不垂直
故CD与平面也不垂直，故A选项不正确；
选项B，取为中点，连结，
由于，
故为直二面角的平面角，
由于
又，
故两平面不垂直，故B选项不正确；
选项C，由选项A中计算可知，故选项C不正确；
选项D，由于，故三棱锥的外接球以为圆心，为半径，表面积为.
故选：D
【点睛】
本题考查了空间几何体综合问题，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题
二、填空题
9．已知菱形的边长为，，若沿对角线将△折起，所得的二面角的大小为，则四点所在球的表面积为____________．
【答案】
【分析】
由条件确定球心的位置，再根据平面图形，建立等量关系，求球的半径，再由球的表面积公式求球的表面积.
【详解】
如图，设外接球的球心为O，
∵ 四边形为菱形，，
∴ 三角形BCD为等边三角形，设其中心为，
取BD的中点F，连接AF，CF，，OB，，
由AB=AD=BC=BD=DC，得AF⊥BD，CF⊥BD，
所以BD⊥平面AFC，又AF=CF=3，AC=，
∴ ∠AFC=120°.
过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点E，
由BD⊥平面AFC，平面AFC，
∴ BD⊥AE，AE⊥CF,
∴ AE⊥平面BCD，
过点O作OG⊥AE于点G，
则四边形是矩形，
∵ ，，，.，，
设外接球的半径为R，，
∵ ，，
.∴ ，，
解得，，
故其外接球的表面积.
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故答案为：.
10．已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______________________．21·cn·jy·com
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【答案】
【分析】
首先根据三视图，还原被截圆锥的内接三棱锥，即可计算球的半径，即球的表面积.
【详解】
该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为，且，.
，设球的半径为，由球的性质可知，，解得，故球的表面积为.
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故答案为：
11．已知，，，是某球面上不共面的四点，且，，，则此球的表面积等于_______.
【答案】
【分析】
把已知三棱锥补形为正方体，可得外接球的半径，则答案可求．
【详解】
解：如图，
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把三棱锥A BCD补形为棱长为的正方体，
可得为球的直径，则球的半径为，
∴球的表面积为．
故答案为．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，正确补形是关键，是中档题．
12．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于().若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于___________().21教育名师原创作品
【答案】
【分析】
三棱柱为正三棱柱，由对称性知球心是正三棱柱的上下底中心连线的中点．由此可求得球半径得体积．
【详解】
如图，三棱柱是正三棱柱，是上下底中心，是线段中点，则是三棱柱外接球的球心，
设棱柱的棱长为，则，，解得，
，，
所以，
．
故答案为：．
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【点睛】
结论点睛：本题考查球的体 ( http: / / www.21cnjy.com )积，解题关键是找到球心，求出球的半径．正棱柱的球心是上下底中心连线段的中点，正棱锥的外接球球心在正棱锥的高上，正棱如的外接球球心在正棱台上下底面中心连线段上．21世纪教育网版权所有
13．已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且是边长为6的等边三角形，则球面面积为__________.21*cnjy*com
【答案】
【分析】
设球的球心为，半径为R，取AB的中点D，连接CD，根据题意得的外心，在线段CD上，分析得，求出即得解.
【详解】
设球的球心为，半径为R，取AB的中点D，连接CD，
根据题意得的外心，在线段CD上，
由是边长为6的等边三角形可得，，连接，如图根据球的性质可得，平面.
即，所以，
在中，
即，解得R=4或R=-4(含去)，
所以该球的表面积，
故答案为：
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【点睛】
方法点睛：求解球的半径，一般通过解直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形完成.直角三角形的斜边是球的半径，另外两条直角边，一边是球心到圆心的距离，一边是多边形外接圆的半径.
14．在棱长为2的正方体，M，N，Q，P分别为棱，，，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.
【答案】
【分析】
由正方体性质确定三棱锥的性质，从而确定其外接球球心所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．
【详解】
如图，取中点，，由正方体性质知平面，
由已知是等腰直角三角形，是斜边，则三棱锥的外接球球心在上，连接，
由平面知，同理，
是直角梯形，，，，设外接球半径为，
则，
在直角三角形中，，解得．
所以球表面积为．
故答案为：．
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【点睛】
关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面 ( http: / / www.21cnjy.com )积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．21教育网
15．曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为，通过考查与的关系，可得的值为___________.
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【答案】
【分析】
设截面与原点的距离为，求出两个截面的面积相等，由祖暅原理知，通过球的体积公式计算即可得的值.
【详解】
设截面与原点的距离为，此时所得截面面积为，
，
所以，即两个几何体在等高处的截面面积相等，
由祖暅原理知：两个几何体的体积相等即，
表示半径为的球挖去两个半径为的球余下的体积，
所以，
所以，
故答案为：.
16．如图，在三棱锥中，，，点、分别在侧面、棱上运动，，为线段的中点，则点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于____________．
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【答案】.
【详解】
分析：在三棱锥中，，，易计算出三棱锥的体积，又由点、分别在侧面、棱上运动，，为线段的中点，可以判断的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．
详解：：∵三棱锥中，，，
则棱锥的体积 .
又∵点、分别在侧面、棱上运动，，为线段的中点，，
∴点的轨迹在以为球心以1半径的球面上
则点的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比为：
故答案为．
点睛：本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出的轨迹在以为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．
三、解答题
17．在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.
（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析，体积为.
【分析】
（1）由题意可得几何体表示上半球，球半径为4，从而有，进而可求出实数的值；
（2）由题意可得几何体为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为然后由祖暅原理可求得结果
【详解】
（1）则几何体表示上半球，球半径为4.
当时，，截面为圆面，则，解得
又，所以
（2）设，则点到轴的距离为，由，
即，即点到轴的距离为
所以所表示的几何体为圆柱体.
由，即点到轴的距离为，
当时，点在以一直角边在轴上的等腰直角三角形绕轴旋转而成的倒圆锥面上.
所以所表示的几何体为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥.
且该圆锥的对称轴与母线的夹角为
在中，平面所截的截面为圆，其面积为，
在中，平面所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为，
在圆锥中的截面圆面积为，所以在中截面面积为，
即截所得面积均相等，从而由祖暅原理知体积相等，
由为半球知其体积
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【点睛】
关键点点睛：此题考查祖暅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关键是正确理解新定义和祖暅原理，考查转化思想，属于中档题
18．半正多面体亦称“阿基米德多面体”， ( http: / / www.21cnjy.com )是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2，
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（1）求其体积；
（2）若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将二十四正多面体放入正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体中，利用正方体减去8个三棱锥即可求得体积；（2）求得正方体的中心O到正方体各棱中点的距离即可求得球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】
将二十四正多面体放入正方体中，如下图所示，
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由于二十四等边体的棱长为2，则正方体的棱长为.
（1）该二十四正四面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，
所以该二十四正四面体的体积为.
（2）由于正方体的中心O到正方体各棱中点的距离都为，
所以该二十四正四面体外接球的球心为O，且半径为2，其表面积为.
19．如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上.
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（1）求三棱锥的体积的最大值；
（2）求三棱锥的外接球的体积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，，则，进而利用均值不等式求出的最大值，进而可求出结果；
（2）设球的半径为，，，结合图形可得以及然后根据的范围求出的范围，进而可以求出的最值，从而求出结果.
【详解】
（1）设，，则，
三棱锥的体积（为点到底面），
，，当且仅当时，等号成立，
所以，故当时，三棱锥的体积取得最大值.
（2）
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易知三棱锥的外接球球心在线段上.
设球的半径为，，，
在中，，即；
在中，，即；
联立两式，可得，
又因为，所以，，.
故当时，取得最小值，三棱锥的外接球的体积取得最小值.
20．“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？
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【答案】表面积为；体积为．
【分析】
根据球与圆锥的内切关系及题中的轴截面将问题转化为平面几何问题求解即可得出结果.
【详解】
根据题意，图中，，且
，
从而有，．
设内切球的半径为R，根据等面积法得，
所以内切球的半径，
故该球的表面积，
体积．
21．如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，且已知．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求球的表面积；
（2）设为中点，求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题意可知，平面，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．
（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，进一步求出的坐标，利用向量的数量积公式求出的夹角余弦，得到异面直线与所成角的大小．
【详解】
解：（1）解：如图，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点在球面上，底面，，，，
所以，，
球的表面积是
（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则
，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，
，，
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为．
所以异面直线与所成角的大小为．
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【点睛】
本题考查球的内接体问题，球的 ( http: / / www.21cnjy.com )表面积、体积，考查学生空间想象能力，通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角通过向量的数量积来解决，属于中档题．
22．有一个倒放着的轴截面为等边三角形的圆锥形容器，内盛有高为的水，放入一个铁球后，上升的水平面恰好和球相切，求球面上的点到圆锥顶点的最小距离．
【答案】
【分析】
根据题意，画出图形，设出小球半径，结合正三角形的特征，求出水的体积和球的体积，水的体积和球的体积的关系，列出等量关系式，求得球的半径，进而得到球面上的点到圆锥顶底的距离的最小值..
【详解】
如图作轴截面，
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设小球半径，
水的体积，小球体积，
放入小球后总体积．
由，解方程，得．
∴球面上点到点最小距离为
【点睛】
该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有圆锥的内切球的问题，椎体的体积公式，球面上的点到球外一点距离的最值，属于简单题目.2·1·c·n·j·y
23．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
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（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
【答案】（1） 169.6 （2） 1 200π
【详解】
（1）因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π（cm3）．
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）．
所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）．
（2）上下两个半球的表面积和是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2），
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2），
所以1个“浮球”的表面积为S＝48π（cm2）
因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S＝2 500×48π（cm2）＝12π（m2）．
因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）．
考点：圆柱、球的体积、表面积.
24．已知地球的半径为R，在北纬60°圈上有A、B两点．若点A的经度为东经65°，点B的经度为西经55°，求A、B两点的球面距离．21·世纪*教育网
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【答案】
【分析】
取球心为O，取北纬60°纬线圈的圆心为O1，连结,求出北纬60°纬线圈的半径，得到线段AB的长.在中，由余弦定理求得的大小，利用弧长公式即可求解.
【详解】
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如图示：取球心为O，取北纬60°纬线圈的圆心为O1，则⊥面.
连结,则,所以.
因为在北纬60°圈上有A、B两点．点A的经度为东经65°，点B的经度为西经55°，
所以，在中由余弦定理得：
,
在中，由余弦定理得：，
解得：，所以，
所以A、B两点的球面距离为.
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