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专题09柱、锥、台的体积问题综合难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市松江二中高二月考）如图，分别为棱长为的正方体的棱的中点，点分别为面对角线和棱上的动点，则下列关于四面体的体积正确的是21教育网
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A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值
C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值
2．（2021·上海青浦区·高二期末）如图，正方体中，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
二、填空题
3．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期中）一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.21·cn·jy·com
4．（2021·上海市亭林中学高二期末）在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_______．21·世纪*教育网
5．（2021·上海）一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
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6．（2021·上海高二专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________.【来源：21·世纪·教育·网】
7．（2021·上海高二专题练习）如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段，分别与球面交于点、，则三棱锥的体积是__________．www-2-1-cnjy-com
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8．（2021·上海高二专题练习）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，21*cnjy*com
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在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________.【出处：21教育名师】
9．（2021·上海高二专题练习）在如图所示的三棱柱中，点A，的中点M以及的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为________．【版权所有：21教育】
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三、解答题
10．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期中）（1）求一个棱长为的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体为棱长是___________的正四面体，且有___________.
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（2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；
（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.
11．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）如图所示的几何体是图柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求此几何体的体积；
（2）设是弧上的一点，且．求二面角所成角的大小．
12．（2021·上海市亭林中学高二期中）如图是一个正三棱柱和三棱锥的组合体，其中在平面上，，.
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（1）求这个组合体的体积；
（2）求到平面的距离；
（3）求三棱锥的体积.
13．（2021·上海市亭林中学高二期末）如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱上，且．21教育名师原创作品
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（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值；
（3）是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．
14．（2021·上海宝山区·高二期末）如图，在正四棱柱中，，，M为棱的中点
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（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
15．（2021·上海市进才中学高二期中）在三棱锥中，点是的中点，底面.
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（1）求证：平面；
（2）当时，求点A到平面的距离；
（3）当k为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？
16．（2021·上海市建平中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )二期末）已知四棱锥P－ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．2-1-c-n-j-y
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（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）求二面角P－BC－D的大小．
17．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）如图，在直角梯形中，，，，，、分别是、的中点，沿将梯形翻折至，使得平面平面．21*cnjy*com
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（1）求证：；
（2）设为上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小；
（3）求多面体的体积．
18．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD.21世纪教育网版权所有
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（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小.
19．（2021·上海高二专题练习）如图，设长方体中，，直线与平面ABCD所成角为．
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求三棱锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
20．（2021·上海市七宝中学）如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.www.21-cn-jy.com
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（1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积；
（2）求点到平面的距离.
21．（2021·上海市实验学校高二期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，.
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（1）若，E为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，求二面角的大小；
（3）试求四棱锥的体积的取值范围.
22．（2021·上海高二专题练习）已知圆锥的底面半径为8，点为半圆弧的中点，点为母线的中点2·1·c·n·j·y
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（1）若母线长为10，求圆锥的体积;
（2）若与所成角为，求两点在圆锥侧面上的最短距离.
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专题09 柱、锥、台的体积问题综合难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，分别为棱长为的正方体的棱的中点，点分别为面对角线和棱上的动点，则下列关于四面体的体积正确的是
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A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值
C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值
【答案】D
【分析】
易证，从而可推出面积为定值，则只需研究点到平面的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围
【详解】
分别为棱长为的正方体的棱的中点，所以，又，故点到的距离为定值，则面积为定值，当点与点重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点，当点与点重合时，有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值www.21-cn-jy.com
故选D
【点睛】
本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题
2．如图，正方体中，、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.
【详解】
如图所示： ( http: / / www.21cnjy.com / )
设正方体的棱长为，
则过点，，的截面下方体积为：，
∴另一部分体积为，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了几何的割补问题，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
二、填空题
3．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【分析】
设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．
【详解】
设矩形在上的两个项点坐标为，
由，知是方程的两个根.
，，，
，
当且仅当时，.
故答案为：．
4．在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_______．
【答案】
【分析】
设.根据体积的表达式，只需求出的最大值，建立，利用二次函数求出最大值，即可求解.
【详解】
设.
因为，
所以当取得最大值时,三棱锥的体积取得最大值.
因为,
所以当时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥的体积取得最大值 ，
此时.
故答案为：
5．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
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【答案】
【分析】
几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积，表面积计算即可．
【详解】
解：由三视图知几何体是四棱锥，
且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为，
四棱锥的底面是正方形，边长为2，棱锥的高为2，
几何体的体积．
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
6．古希腊数学家阿基米德的墓碑 ( http: / / www.21cnjy.com )上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________.
【答案】
【分析】
设球的半径为，高为,则圆柱的底面半径为由球的表面积等于圆柱的侧面积, 得,由圆柱和球的体积公式可求出其体积之比.21世纪教育网版权所有
【详解】
设球的半径为，高为，则圆柱的底面半径为.
由球的表面积等于圆柱的侧面积，有，得.
设球的体积为，则，圆柱的体积为,则
所以
故答案为：
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【点睛】
本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，考查球和圆柱的性质，属于中档题.
7．如图，半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段，分别与球面交于点、，则三棱锥的体积是__________．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
，，，是平面内边长为的正三角形，，，类似有，，由此能求出三棱锥的体积．
【详解】
，，，
半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，
线段，分别与球面交于点、，
，，
，
，，
，类似有，
，
三棱锥的体积：
．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等拔高知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，
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在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________.
【答案】.
【分析】
设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值．
【详解】
设，，
则，，，且B到平面的距离为．
，，
，
又，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．
9．在如图所示的三棱柱中，点A，的中点M以及的中点N所确定的平面AMN把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大都分的体积之比为________．
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【答案】13:23
【分析】
先确定平面AMN与棱交点的位置，再将上部分几何体分割成三棱锥和四棱锥，分别计算它们体积与原三棱柱体积的比，最后求比值.
【详解】
设平面AMN与棱交点为，则，(可先补成四棱柱，如图易得结论
( http: / / www.21cnjy.com / )） ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以,
，
所以上部分几何体体积
因此小部分的体积和大都分的体积之比为
故答案为：13:23
【点睛】
本题考查平面截面以及锥体与柱体体积公式,考查空间想象能力以及综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
10．（1）求一个棱长为的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体为棱长是___________的正四面体，且有___________.
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（2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；
（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据生成正方体的棱长计算出四面体的棱长，并根据割补法计算出四面体的体积；
（2）直接根据棱锥与棱柱的体积关系得到对应结论；
（3）根据条件得到“生成长方体”，结合条件计算出长方体的长宽高，由此可计算出四面体的体积.
【详解】
（1）因为构造的正方体棱长为，所以面对角线长度为，所以四面体为棱长是，
且
；
（2）；
（理由供参考：“生成平行六面体”由四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于
“生成平行六面体”的底面积的一半且高相等，所以三棱锥的体积等于“生成平行六面体”
体积的，由此可得结果）
（3）类似（1），构造该四面体的“生成长方体”，
设棱长分别为，则有，
则有
.
11．如图所示的几何体是图柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求此几何体的体积；
（2）设是弧上的一点，且．求二面角所成角的大小．
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）结合几何体的体积公式，准确计算，即可求解；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，可得几何体底面所在圆的半径为，母线长为，且，
所以底面积为，
所以该几何体的体积为.
（2）如图所示，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，
可得，令，可得，
所以平面的法向量为，
又由平面，所以是平面的一个法向量，
设二面角所成角为，可得，
又由二面角为钝角，可得.
即二面角的大小．
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12．如图是一个正三棱柱和三棱锥的组合体，其中在平面上，，.
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（1）求这个组合体的体积；
（2）求到平面的距离；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据棱柱的体积公式，以及题中条件，先计算三棱柱的体积；再由题中条件，证明平面；根据棱锥体积公式，求出三棱锥的体积，进而可得组合体的体积；21教育网
（2）根据题中数据，计算，，设点到平面的距离为，根据等体积法，由，即可求出结果；
（3）取中点为，连接，，，根据题中条件，得到三点共线，求出，进而得到，求出，由，即可求出结果.
【详解】
（1）因为正三棱柱中，，
所以三棱柱的体积为；
因为正棱柱中，侧面和底面垂直，则平面平面；
又在平面上，所以平面平面；
因为，，所以，
则为等腰直角三角形，
取中点为，连接，则，，
又平面平面，所以平面；
因此三棱锥的体积为，
因此这个组合体的体积为；
（2）因为正三棱柱，侧棱和底面垂直，
所以在正三棱柱中，平面；
又，所以，，
因此，
又，
设点到平面的距离为，
由可得，
则；
（3）取中点为，连接，，，则；
因为正三棱柱中，平面平面，平面平面，
所以平面；
由（1）知平面，则平面，
又，所以平面；则三点共线，
所以，
则，
又，，
所以，则，所以；
又，
因此三棱锥的体积为.
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13．如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱，点在棱上，且．
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（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值；
（3）是否存在使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）正四棱柱中，平面，可得；（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（3）利用向量公式求点到平面的距离，即可求得的值.21cnjy.com
【详解】
（1）由，得， 又正四棱柱，则平面，
则 .
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（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如图），
则，，，，
即，
又异面直线与所成角的大小为，
则,
化简整理得，又，即.
（3） ，，，
，，设平面的法向量，
则，所以，令，，，
所以平面的法向量，
，则点到平面的距离，
解得：
所以存在，使得点到平面的距离为.
14．如图，在正四棱柱中，，，M为棱的中点
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（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)在正四棱柱中求出点M到平面的距离即可作答；
(2)连，证得是直线与平面所成角，再经计算即得.
【详解】
（1）在正四棱柱中，连，如图，
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平面，平面，则棱的中点到平面的距离就是，
所以；
（2）在正四棱柱中，平面，连，
则是在平面内射影，是直线与平面所成的角，
而，，则，
因此，在中，，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15．在三棱锥中，点是的中点，底面.
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（1）求证：平面；
（2）当时，求点A到平面的距离；
（3）当k为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，在平面内的射影恰好为的重心.
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理证明平面；
（2）根据等积法求点A到平面的距离；
（3）作出的重心，然后设出，根据求之间的关系.
【详解】
（1）因为底面，面，所以面面，
因为，点是的中点，所以，
又因为面面，面，所以平面；
（2）当时，，
因为，点是的中点，
所以，
取的中点，连接，则，
设点A到平面的距离为，
由，得，
解得，即点A到平面的距离为；
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（3）取的中点，连接交于点，则为的重心，连接，
由题意知：面，，
设，
则，，，
，，
则由，得，又由，所以，
所以当时，在平面内的射影恰好为的重心.
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16．已知四棱锥P－ABCD，底面为正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）求二面角P－BC－D的大小．
【答案】（1）；（2） arctan2.
【分析】
（1）根据题意知，进而求出四棱锥的高，然后结合体积公式即可直接求解；
（2）结合图形建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角公式即可求出结果.
【详解】
（1）因为PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°，且平面ABCD，所以,则,
因为底面是正方形，且E、F分别为AB、CD的中点，所以，所以，所以四棱锥P－ABCD的体积为；21·cn·jy·com
（2）
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由于所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
所以，由于PE⊥平面ABCD，所以平面的一个法向量，
又因为，设平面的一个法向量，
所以，即，取，
则，所以，由图知，二面角P－BC－D的平面角为锐角，故二面角P－BC－D的平面角为.
17．如图，在直角梯形中，，，，，、分别是、的中点，沿将梯形翻折至，使得平面平面．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求证：；
（2）设为上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小；
（3）求多面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6．
【分析】
（1）利用平面平面，是直二面角的平面角，得出；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；
（3）利用分割求和法求多面体的体积
【详解】
（1）证明：因为平面平面，，
所以是二面角的平面角，
所以，
所以
（2）解：设为上的动点，当取得最小值时，,
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，21·世纪*教育网
设异面直线与所成角为，则
，
因为
所以，
（3）过作∥交于点,过作∥交于，则多面体被分成一个三棱柱和一个三棱锥，
由题意得,,
所以多面体的体积为：
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18．四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD.
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（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小.
【答案】（1）；（2）arctan.
【分析】
（1）由V＝PE S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解.www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，
∴PE＝2，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE S正方形ABCD＝×2×42＝.
（2）∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴PE＝FE＝4，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，
故PC与AD所成角的大小为arctan.
【点睛】
关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查异面直线所成的角，考查计算能力和空间想象能力，解题的关键是由PF与平面ABCD所成角为45°，可得△PEF为等腰直角三角形，从而可求出的长，进而在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝可求得结果，属于中档题21*cnjy*com
19．如图，设长方体中，，直线与平面ABCD所成角为．
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求三棱锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）（2）．
【分析】
转换顶点，以为顶点，易求体积；
平移至，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．
【详解】
解：连接AC，则为与平面ABCD所成的角，
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，
，
，
，
连接，易知，
或其补角即为所求，
连接BD，
在中，，，，
由余弦定理得：
，
，
故异面直线，所成角的大小为．
【点睛】
此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．
20．如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
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（1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据底面半径，直接求出圆柱表面积，求出三角形APB的面积，进而求出三棱锥的体积；
（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法公式求出点到平面的距离.【出处：21教育名师】
【详解】
解：（1）底面半径，
则圆柱表面积：，
为圆O直径，则，
中，，
则；
（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有：.
取
.
则有：.
其中点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查圆柱表面积，三棱锥的体积的求法，以及空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是中档题.
21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，.
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（1）若，E为的中点，求异面直线与所成角的大小；
（2）若，求二面角的大小；
（3）试求四棱锥的体积的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由题意可得：，建立空间直角坐标系，根据向量夹角来求异面直线与所成角的大小；
（2）分别求出两个平面的法向量，然后利用空间向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角；【版权所有：21教育】
（3）由已知可得，平行四边形 的面积为：，再由余弦定理可求得，即可得到，进而表示出棱锥的体积，再结合三角函数的性质求出体积的取值范围．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）因为平面，并且，
所以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系．
因为，，所以，
所以，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为．
（2）设平面的法向量为：，
因为
所以，即，
取平面的法向量为，
因为，，所以平面，又，
取平面的法向量，
所以二面角的平面角．
所以所求二面角的大小为．
（3）由已知可得，平行四边形的面积为：，
在中，由余弦定理可求得，
，
，
，，
所以四棱锥的体积的取值范围是．
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22．已知圆锥的底面半径为8，点为半圆弧的中点，点为母线的中点
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（1）若母线长为10，求圆锥的体积;
（2）若与所成角为，求两点在圆锥侧面上的最短距离.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理得到，代入体积公式计算得到答案.
（2）根据夹角计算，把圆锥展开得到圆心角为，再利用余弦定理得到答案.
【详解】
（1）圆锥的底面半径为8, 母线长为10,根据勾股定理得到：
解得
（2）如图所示：为中点，连接
为母线的中点，为中点，则，与所成角为
故
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将圆锥沿展开得到侧面平面图：对应圆心角为
在中，利用余弦定理得到：
故最短距离为
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【点睛】
本题考查了圆锥体积，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
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