2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质专题复习教案

函数的概念与性质
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一　函数的定义域
例1：函数＋的定义域是(　　)
A．[－1,0)∪(0,1)　　　 　B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
【变式】
1.函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
2.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________________．
考点二　求函数的解析式
例2：(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
【变式】
1.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________________.
2.已知f＝lg x，则f(x)＝________________.
3.已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
考点三　分段函数
考法(一)　求函数值
例3：（1）已知f(x)＝(0A．－2　　　　　　　　 　B．2
C．3 D．－3
考法(二)　求参数或自变量的值(或范围)
（2）设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【变式】
1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
2．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________.
3．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．
【巩固练习】
1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)
A．1 　B．2
C．3 D．4
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A. B．－
C. D．－
4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是(　　)
A．y＝ B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝
5．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数的定义域是(　　)
A．[1,2] B．(－1,1]
C. D．(－1,0)
7．下列函数中，不满足f(2018x)＝2018f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
9.函数y＝ln＋的定义域为________．
10．若函数f(x)＝则f(f(－9))＝________.
11．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
12．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
13．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．
第二节 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；
(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
考点一　确定函数的单调性和区间
例1：(1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【变式】
1．下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
3．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
考点二　求函数的值域和最值
例2：(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
【变式】
1．函数f(x)＝的值域为________．
2．若x∈，则函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为________，最小值为________．
3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点三　函数单调性的应用
考法(一)　比较函数值的大小
例3：设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)　
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)考法(二)　解函数不等式
例4：设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　　 　B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
考法(三)　利用单调性求参数的范围(或值)
例5：已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
【变式】
1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
2．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【巩固练习】
1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4．定义新运算 ：当a≥b时，a b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
5．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　)
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
6．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－2]
C．[－3，－2] D．(－∞，0)
7．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
8．函数f(x)＝的最大值为________．
9．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.
10．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇函数
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
【变式】
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝tan　　　　 　B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
例2：
(1)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　 　B．2－x
C．－2－x D．2x
(2)已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
【变式】
1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)
A．2 B．4
C．－2 D．－4
2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
例3：
(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 　B.
C．2 D．－2
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
【变式】
1．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.
2．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则＝________.
【巩固练习】
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x3＋1　　　　　 　B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
2．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
6.定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　)
A．403 B．405
C．806 D．809
7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．
8．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
9．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．
11．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
第四节 函数性质的综合问题
例1：
(1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　　　 　　 　B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
(2)函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)C．f【变式】1．已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
2．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3,3] B．[－2,4]
C．[－1,5] D．[0,6]
例2：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
【变式】1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 018)＝________.
2．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________．
考点三　函数性质的综合应用
例3：(1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　　　　　　 　B．0
C．2 D．50
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间内是(　　)
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
【变式】
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<02．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1A．aC．a【巩固练习】
1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
2．下列函数中，与函数y＝－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是(　　)
A．y＝cos x B．y＝x
C．y＝ D．y＝
3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
4．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
5．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C∪(，＋∞) D．(，＋∞)
6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)
A．fB．fC．fD．f7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
8．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________________．
9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)>0的解集为_______________．
10．已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝________.
11．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
12．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
【答案与解析】
第一节 函数及其表示
例1：[解析]　(1)由题意得解得－1所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1得－1[答案]　(1)D　(2)B
【变式】
1.解析：选B　由得－12.解析：因为y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，
所以若g(x)有意义，应满足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.
因此g(x)的定义域是{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
答案：{x|0≤x≤2 018，且x≠1}
例2：[解]　(1)法一：待定系数法
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x， ①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．
【变式】
1.解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
答案：x2＋x(x∈R)
2.解析：令＋1＝t，得x＝，则f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
答案：lg(x>1)
3.解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
例3：（1）[解析]　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
联立①②，结合0所以f(x)＝
则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
[答案]　B
（2）[解析]　法一：分类讨论法
①当即x≤－1时，
f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1f(x＋1)因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)法二：数形结合法
∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)则需或
∴x<0，故选D.
[答案]　D
【变式】
1.解析：选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
2.解析：由题意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，
∴f(f(3))＝f(2)＝2.
答案：2
3.解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
故－②当01，显然成立．
③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，所求x的取值范围是.
答案：
4.解析：若a<0，则f(a)<1 a－7<1 a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1 <1，解得a<1，故0≤a<1.
综上可得－3答案：(－3,1)
【巩固练习】
1.解析：选B　①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2.解析：选C　由题意得解得x≥0，且x≠2.
3.解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4.解析：选D　对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝＝1＋，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5.解析：选A　当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.
6.解析：选D　由f(2x－1)的定义域是[0,1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
∴f(x)的定义域是[－1,1]，∴要使函数有意义，
需满足解得－17.解析：选C　若f(x)＝|x|，则f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不满足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，则f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选C.
8.解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
9.解析：由 0答案：(0,1]
10.解析：∵函数f(x)＝∴f(－9)＝lg 10＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－2.
答案：－2
11.解析：∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.
依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
12.解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，
故所求x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
13.解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
第二节 函数的单调性与最值
例1：[解]　(1)易知f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－1f(x)＝a＝a，
则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
法二：导数法
f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
【变式】
1.解析：选C　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
2.解析：选D　令t＝x2－4，则y＝logt.因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
3.解：设x1，x2是任意两个正数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；
当≤x1a，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
例2：[解析]　(1)图象法
函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
(2)单调性法
∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
(3)当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.
[答案]　(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)4
【变式】
1.解析：当x>0时，f(x)＝x＋≥4，
当且仅当x＝2时取等号；
当x<0时，－x＋≥4，
即f(x)＝x＋≤－4，
当且仅当x＝－2取等号，
所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2.解析：令t＝sin x，因为x∈，
所以t∈，y＝f(t)＝4t2－12t－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝，所以当t∈时，函数f(t)单调递减，
所以当t＝－时，ymax＝6；
当t＝1时，ymin＝－9.
答案：6　－9
3.解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，
∴(－x2－2x)max＝－3，故a>－3，
又∵a≤1，∴－3答案：(－3,1]
例3：[解析]　因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
[答案]　A
例4：[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．
[答案]　B
例5：[解析]　设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案]　[－1，＋∞)
【变式】
1.解析：选D　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.
2.解析：选B　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.
又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
【巩固练习】
1.解析：选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2.解析：选B　因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.
而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为a<0，所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．
3.解析：选D　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
4.解析：选C　由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当15.解析：选D　由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
6.解析：选C　若f(x)是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2.
7.解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8.解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
9.解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a] (0，＋∞)，
∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，
∴＋＝，∴a＝4.
答案：4
10.解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.
答案：(－∞，3)
11.解：(1)证明：任取x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1＞x2＞0，
∴x1－x2＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，
∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，
解得a＝.
12.解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.
任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，
所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.
所以0＜a≤1.
所以a的取值范围为(0,1]．
第三节 函数的奇偶性与周期性
例1：[解]　(1)由f(x)＝，可知 故函数f(x)的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由 x2＝1 x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由 －1定义域关于原点对称．
此时f(x)＝＝＝－，
故有f(－x)＝－＝＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(4)法一：图象法
画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
法二：定义法
易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
【变式】
1.解析：选B　对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.
2.解析：选D　∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
例2：[解析]　(1)当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
(2)法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
[答案]　(1)C　(2)A
【变式】
1.解析：选C　根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2.解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝2－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
3.解析：∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案：1
例3：
[解析]　(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
[答案]　(1)D　(2)
【变式】
1.解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：
2.解析：由题意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝.
答案：
【巩固练习】
1.解析：选B　对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2.解析：选B　因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
3.解析：选B　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且f(x)＝
所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.
4.解析：选D　因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，
所以g(x)＝(ex－e－x)．
5，解析：选C　因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.
6.解析：选B　定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7.解析：由已知可得f＝ln＝－2，
所以f＝f(－2)．
又因为f(x)是偶函数，
所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.
答案：ln 2
8.解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋，
设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，
易判断g(x)＝x＋为奇函数，
故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，
即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.
所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.
法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，
即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
9.解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.
答案：
10.解析：当x>0时，lg x>0，所以x>1，
当x<0时，由奇函数的对称性得－1故填(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11.解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上可得f(x)的解析式为f(x)＝
12.解：(1)证明：由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
第四节 函数性质的综合问题
例1：[解析]　(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
(2)∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，
∴f(1)＝f(3)，f即f[答案]　(1)D　(2)B
【变式】
1.解析：选C　由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A、D选项，由条件②可知，f(x)为奇函数，则可排除B选项，故选C.
2.解析：选B　因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6,0]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
例2：[解析]　∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
[答案]　6
【变式】
1.解析：因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．
所以f(x)是以3为周期的周期函数．
则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
2.解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a－3<1，即a<2.
答案：(－∞，2)
例3：[解析]　(1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案]　(1)C　(2)D
【变式】
1.解析：选C　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上单调递减，
所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，
即f(1)<02.解析：选B　由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)【巩固练习】
1.解析：选D　选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0， ＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
2.解析：选D　函数y＝－2x为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cos x是偶函数，且在R上不单调．函数y＝x是奇函数，但在R上单调递增．函数y＝的定义域是{x|x≠0}，不是R.画出函数y＝的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.
3.解析：选A　由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，
∴f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，
∴f(－1)＝2－1－1＝－，
∴f(1)＝，∴f(16)＝.
4.解析：选B　法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.
5.解析：选B　因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(log2x)>2＝f(1) f(|log2x|)>f(1) |log2x|>1 log2x>1或log2x<－1 x>2或06.解析：选C　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f7.解析：f＝f＝f＝－f＝－.
答案：－
8.解析：令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．
故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．
答案：f(x)＝log2(3－x)
9.解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，且f＝0.由f(x)>0，可得x>或－答案：
10.解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3.
答案：3
11.解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
12.解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.