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专题14生活中的概率综合问题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“规矩方圆”法则：正方形内切圆 ( http: / / www.21cnjy.com )内外面积之比约为79：21，称为中国人法则，可以用如图加以诠释．“不管三七二十一”是中国人法则主要方面，占79%，“三七二十一”是中国人法则的必要补充，占21%．只有凡事不仅管“三七二十一”，特殊情况下不管“三七二十一”，才是真正意义的中国人．中国人的法则可以通过三七理论推断出来，三七理论具有数学拔高和哲学拔高．下列对三七理论理解不正确的一项是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三七理论的数学模型建立在“三七”概念：、、的拔高之上
B．三七理论的哲学拔高是马克思主义辩证法，包括事物矛盾双方的对立统一
C．三七理论说明，矛盾双方力量变化发展的临界点是双方力量成分占统一体总成分的十分之三或十分之七
D．三七理论只具有统计学上的意义
【答案】C
【分析】
根据题设的描述，判断三七理论：数学表达、基本事件、事件间的关系，以及事件的概率，即可判断各项的正误.21cnjy.com
【详解】
由题意，中国人法则包含“三七二十一”：、“不管三七二十一”：两部分，分别占凡事的21%、79%，它们互为对立事件，符合二八法则：分别约占总体的十分之二、十分之八，属于统计概率范畴.21·cn·jy·com
故选：C
2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为时，与甲得一分的概率相等，由此确定.
【详解】
对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，
则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，
为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.
故选：C.
3．设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为和．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用概率加法公式求解即可.
【详解】
买到一个合格品的概率.
故选：C
4．经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）21·世纪*教育网
A．型或型 B．型或型
C．型或型 D．型或型
【答案】D
【分析】
利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案.
【详解】
因为一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为，
则他们的子女的基因类型为：、，
所以对应的血型为型或型.
故选：D.
5．对于概率是1‰（千分之一）的事件，下列说法正确的是（ ）
A．概率太小，不可能发生
B．1000次中一定发生1次
C．1000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1000次中有可能发生1000次
【答案】D
【分析】
直接根据随机事件概率的意义做出判断即可.
【详解】
概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1000次中也可能发生1000次，只是发生的可能性很小.2-1-c-n-j-y
故选：D.
6．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：【版权所有：21教育】
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有 ( http: / / www.21cnjy.com )大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
【答案】C
【分析】
根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数
【详解】
因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．www-2-1-cnjy-com
故选：C
7．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指( )
A．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水
B．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为80%
【答案】D
【解析】
【分析】
降水概率预报是指降水的可能性的大小，概 ( http: / / www.21cnjy.com )率教学的核心是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．
【详解】
概率是指随机事件发生的可能性．
故选：D．
【点睛】
概率说明的是事件发生的可能性 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小，一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率．
8．如果消息发生的概率为，那么消息所含的信息量为，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是
A．王教授在第4排 B．王教授在第4排第5列
C．王教授在第5列 D．王教授在某一排
【答案】B
【详解】
信息量最大时，最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.
9．下列说法正确的是
A．天气预报说明天下雨的概率为，则明天一定会下雨
B．不可能事件不是确定事件
C．统计中用相关系数来衡量两个变量的线性关系的强弱，若则两个变量正相关很强
D．某种彩票的中奖率是，则买1000张这种彩票一定能中奖
【答案】C
【分析】
运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可
【详解】
对于，天气预报说明天下雨的概率为，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误；
对于，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；
对于，统计中用相关系数来衡量两个变量的线性关系的强弱，若则两个变量正相关很强，故正确；
对于，某种彩票的中奖率是，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误
故选
【点睛】
本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为拔高．
10．甲、乙两组各有三名同 ( http: / / www.21cnjy.com )学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】
由茎叶图得到甲、乙两组数据，然后计算出成绩相同的概率
【详解】
由题意可知：甲组成绩为：88，92，93
乙组成绩为：90，91，92
则分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，
这两名同学的成绩相同的概率是
故选
【点睛】
本题主要考查了茎叶图及选取相同成绩的概率问题，较为拔高．
二、填空题
11．一种投掷骰子的游戏规则是：交一元钱可 ( http: / / www.21cnjy.com )掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，某人抛掷一次，骰子一次的点数为或时中奖，根据古典概型及其概率的计算，即可求解．
【详解】
由题意知，投掷一次骰子若点数为1,2,3则获奖的概率为 ，若出现点数4,5,6无奖的概率也为，所以中奖的概率为.
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中明确古典概型的基本概念，以古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于拔高题．
12．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音 ( http: / / www.21cnjy.com )乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.
商品类型 播放器每天平均产量 播放器每天平均故障率
影片播放器 3000 4%
音乐播放器 9000 3%
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是___________.
【答案】③
【分析】
根据题意逐一判断各选项即可.
【详解】
①每天生产的播放器有是影片播放器，故①错误；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；21*cnjy*com
③因为音乐播放器的每天平均故障率3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确.
故答案为③
【点睛】
本题考查概率概念的理解，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
13．在一个大转盘上，盘面被 ( http: / / www.21cnjy.com )均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】0
【分析】
根据游戏规则,转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,而得到随身听对应的区域均标为奇数,即可求得
【详解】
转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,
又 得到随身听对应的区域均标为奇数,
得到的奖品为随身听的概率为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是理解游戏规则和掌握概率的拔高知识,考查了分析能力,属于拔高题.
14．如图所示电路中，开关、、断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关、、断开是相互独立的，则此电路连通的概率为________
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
由题可知当此电路连通时开关联通,至少有一个连通时线路是连通的,再利用分步原理计算即可.
【详解】
由题得当此电路连通时开关联通,至少有一个连通.
故概率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了概率的实际运用,需要根据题意分析到连通时满足的情况再求解,属于拔高题.
15．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
【答案】
【分析】
先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.
【详解】
因为摇号的初始中签率为，所以要使中签率超过，需要增加中签率，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加，
所以至少需要邀请，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：
【点睛】
本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于拔高题.
16．下列说法：
①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；
②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中，正确的有________.(填序号)
【答案】③．
【分析】
根据概率与频率的关系及概率的意义和计算方法逐一判断每个选项即可得解．
【详解】
解：①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的频率为0.55，而概率是随着试验次数增加频率趋于稳定的一个估计值，即①错误；
②买彩票中奖的概率为0.001， ( http: / / www.21cnjy.com )并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，即每次中奖的概率都是0.001，即②错误；
③这种抽取方法抽到每个签的概率均为，所以公平，即③正确；
④昨天气象局的天气预报降水概率是，是指可能性非常大，并不一定会发生，即④错误．
故答案为：③．
17．目标函数是单峰函数，若用分数法需要从12个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围的位置为____．
【答案】，
【详解】
试题分析：本题考查的知识点是优选法中的分数 ( http: / / www.21cnjy.com )法：一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑．（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn﹣1），而小于（Fn+1﹣1）．这时可以用分数法解决．
解：在数列 ，，，，…，中，
我们可得：F4=5，F5=8，F6=13
如下图所示：
则前两个试验点放在因素范围的位置为
故答案为．
点评：分数法的适用范围：目标函数为单峰 ( http: / / www.21cnjy.com )函数，可以应用于试点只能取整数值或某些特定数的情形，以及限定次数或给定精确度的问题，因为和0.618一样，这些分数都是黄金分割常数的近似值，所以对试验范围为连续的情形也可以用．
18．某地区牛患某种病的概率为0. ( http: / / www.21cnjy.com )25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药________(填“有效”或“无效”)．2·1·c·n·j·y
【答案】有效
【解析】
若此药无效，则头牛都不患病的概率为，这个概率很小，
故该事件基本上不会发生，所以此药有效．
点睛：本题主要考查了概率的实际应 ( http: / / www.21cnjy.com )用问题，其中解答中涉及到概率的计算，试题比较拔高，属于拔高题，此类问题的解答中正确理解概率的含义是解答的关键.
19．为了了解学生遵守《中华人民共和国 ( http: / / www.21cnjy.com )交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗 （2）在过路口的时候你是否闯过红灯 要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是___.www.21-cn-jy.com
【答案】60
【分析】
设闯红灯的概率为，根据已知中的调查规则，我们分析出回答“是”的两种情况，进而计算出回答是的概率，又由被调查的600人（学号从1到中有180人回答了“是”，我们易构造关于的方程，解方程求出值，进而得到这600人中闯过红灯的人数．
【详解】
解：设闯红灯的概率为，
由已知中被调查者回答的两个问题，
（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？
再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题
可得回答是有两种情况：
①正面朝上且学号为奇数，其概率为；
②反面朝上且闯了红灯，其概率为．
则回答是的概率为
解得．
所以闯灯人数为．
故答案为：60
【点睛】
本题考查的知识点是用样本的数字特征估计总体的数字特征，其中计算出闯红灯的概率为，并根据频数频率（概率）样本容量，求出满足条件的人数是解答本题的关键．
20．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
【答案】①②③
【分析】
分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可；
【详解】
对于①，单位向量经过奇数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，此时，单位向量与向量同向；
2.最终状态为顺时针旋转，此时，单位向量与向量逆向；
所以，单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；①对；
对于②，单位向量经过偶数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，与向量不同向；
2. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
3. 最终状态为逆时针旋转，与向量同向；
4. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
所以，单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；②对
对于③，单位向量经过变换后得到向量，
由于与属于逆向关系，即单位向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，
才能保证模长不会经过变换改变，因此，③对；
对于④，单位向量经过变换后得到向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，才能保证模长不会经过变换改变，
并且经过变换后最终要得到单位向量逆时针转，
故，其中4次变换要回到单位向量，
由③可得，单位向量经过变换后得到向量，
中有且只有2个变换，满足题意的这2个变换的情况有：
1.两次变换；2. 两次变换；3. 和各一次变换；然后，
据此再讨论这3种情况下的变换，明显地，④错；
故答案为：①②③
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于根据题意，分类讨论各种成立的情况，属于难题；
三、解答题
21．甲乙二人用4张扑克牌（分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.21*cnjy*com
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不公平
【详解】
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
考点：列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
22．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？21教育名师原创作品
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的
【分析】
利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.
【详解】
解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题.
23．一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双 ( http: / / www.21cnjy.com )方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？【出处：21教育名师】
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【分析】
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率越来越接近概率.
【详解】
解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加， ( http: / / www.21cnjy.com )频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【点睛】
此题考查对频率稳定性的辨析，试验次数越多，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.
24．某单位有10000 ( http: / / www.21cnjy.com )名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
【答案】（1）减少；（2）．
【分析】
（1）根据已知求出阳性的人数，然后从极端情形入手求出5人一组的最大化验次数，比较可得；
（2）仿照（1）求出人一组时最大测试次数，然后由基本不等式求最小值，由为正整数，比较得的值．
【详解】
（1）按照此种方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为，
携带病毒的人占5%，因此携带病毒的人有（人），第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为，
因此这种方法最多化验次数为，化验次数减少．
（2）按（1）中方法，按人一组，第一轮需要化验次，如果携带病毒的人只占2%，则携带病毒的人有（人），最多有200组需要化验第2轮，
第二轮最多化验次数为，因此最多化验次数为，当且仅当时等号成立，由于，易得，所以时，化验次数最少．
25．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【答案】（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为；②概率为，解释答案见解析.
【分析】
（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.
【详解】
（1）首先有，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与的奇偶性一致，而
为偶数，故的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、，
，，，
，，
所以的分布列为
从而的数学期望；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”
为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.21世纪教育网版权所有
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特 ( http: / / www.21cnjy.com )别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.21教育网
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专题14生活中的概率综合问题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“规矩方圆”法则：正方形内切圆内外面 ( http: / / www.21cnjy.com )积之比约为79：21，称为中国人法则，可以用如图加以诠释．“不管三七二十一”是中国人法则主要方面，占79%，“三七二十一”是中国人法则的必要补充，占21%．只有凡事不仅管“三七二十一”，特殊情况下不管“三七二十一”，才是真正意义的中国人．中国人的法则可以通过三七理论推断出来，三七理论具有数学拔高和哲学拔高．下列对三七理论理解不正确的一项是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．三七理论的数学模型建立在“三七”概念：、、的拔高之上
B．三七理论的哲学拔高是马克思主义辩证法，包括事物矛盾双方的对立统一
C．三七理论说明，矛盾双方力量变化发展的临界点是双方力量成分占统一体总成分的十分之三或十分之七
D．三七理论只具有统计学上的意义
2．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ）21教育网
A． B． C． D．
3．设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为和．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）21·cn·jy·com
A．型或型 B．型或型
C．型或型 D．型或型
5．对于概率是1‰（千分之一）的事件，下列说法正确的是（ ）
A．概率太小，不可能发生
B．1000次中一定发生1次
C．1000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1000次中有可能发生1000次
6．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：2·1·c·n·j·y
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、 ( http: / / www.21cnjy.com )形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
7．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为80%”，这是指( )
A．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水
B．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为80%
8．如果消息发生的概率为，那么消息所含的信息量为，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是www-2-1-cnjy-com
A．王教授在第4排 B．王教授在第4排第5列
C．王教授在第5列 D．王教授在某一排
9．下列说法正确的是
A．天气预报说明天下雨的概率为，则明天一定会下雨
B．不可能事件不是确定事件
C．统计中用相关系数来衡量两个变量的线性关系的强弱，若则两个变量正相关很强
D．某种彩票的中奖率是，则买1000张这种彩票一定能中奖
10．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测 ( http: / / www.21cnjy.com )验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．
D．
二、填空题
11．一种投掷骰子的游戏规 ( http: / / www.21cnjy.com )则是：交一元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．【来源：21cnj*y.co*m】
12．某公司制造两种电子设备：影片播放 ( http: / / www.21cnjy.com )器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.【出处：21教育名师】
商品类型 播放器每天平均产量 播放器每天平均故障率
影片播放器 3000 4%
音乐播放器 9000 3%
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是___________.
13．在一个大转盘上，盘面被均匀地 ( http: / / www.21cnjy.com )分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________.2-1-c-n-j-y
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14．如图所示电路中，开关、、断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关、、断开是相互独立的，则此电路连通的概率为________【版权所有：21教育】
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15．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.21教育名师原创作品
16．下列说法：
①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；
②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；21*cnjy*com
④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中，正确的有________.(填序号)
17．目标函数是单峰函数，若用分数法需要从12个试验点中找出最佳点，则前两个试验点放在因素范围的位置为____．
18．某地区牛患某种病的概率为0. ( http: / / www.21cnjy.com )25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药________(填“有效”或“无效”)．
19．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安 ( http: / / www.21cnjy.com )全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗 （2）在过路口的时候你是否闯过红灯 要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是___.
20．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
三、解答题
21．甲乙二人用4张扑克牌 ( http: / / www.21cnjy.com )（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.21cnjy.com
22．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？【来源：21·世纪·教育·网】
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
23．一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了 ( http: / / www.21cnjy.com )10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？www.21-cn-jy.com
24．某单位有10000名职工，想通过 ( http: / / www.21cnjy.com )验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．21·世纪*教育网
（1）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（2）如果携带病毒的人只占2%，按照k个人一组，k取多大时化验次数最少？
25．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.21*cnjy*com
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.21世纪教育网版权所有
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
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