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第12章概率初步单元综合培优专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知矩形ABCD中，，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足为锐角的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．抛掷一枚硬币次，若正面向上用随机数表示，反面向上用随机数表示，下面表示次抛掷恰有次正面向上的是 ( )21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是
A．某事件发生的概率为1.1 B．对立事件也是互斥事件
C．不能同时发生的的两个事件是两个对立事件 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
6．下列说法正确的个数有（ ）
（1）掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或 6 点”.则 和 相互独立；2·1·c·n·j·y
（2）袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 ；www-2-1-cnjy-com
（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；2-1-c-n-j-y
（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 ；
A． B．2 C．3 D．4
7．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为 ( http: / / www.21cnjy.com )两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．21*cnjy*com
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）【版权所有：21教育】
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
9．下列说法正确的是
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
10．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在 ( http: / / www.21cnjy.com )爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
二、填空题
11．小华 小明 小李 小章去，，，四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有人去实习，则小华去工厂，且小李没去工厂的概率是___________.
12．一枚硬币连掷三次，事件A为“ ( http: / / www.21cnjy.com )三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.21*cnjy*com
14．裴波那契数列（Fibon ( http: / / www.21cnjy.com )accisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
15．给出下列事件：
①今天下雨或不下雨；
②某电影城某天的上座率达到60%；
③从1，3，5三个数字中任选2个数相加，其和为偶数；
④从一副不包括大小王的52张扑克牌中任取4张，恰好四种花色各一张；
⑤从一个正方体的八个顶点中任取三个顶点，这三个顶点不共面．
其中必然事件有__________，不可能事件有__________，随机事件有__________．（填序号）【来源：21cnj*y.co*m】
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为________（表示的对立事件）．
17．若三个原件A，B，C按 ( http: / / www.21cnjy.com )照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______21世纪教育网版权所有
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18．在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______.
19．辛普森悖论(Simpson’sPar ( http: / / www.21cnjy.com )adox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：
某高校 申请人数 性别 录取率
法学院 200人 男 50%
女 70%
商学院 300人 男 60%
女 90%
对于此次招生，给出下列四个结论：
①法学院的录取率小于商学院的录取率；
②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；
③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；
④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.
其中，所有正确结论的序号是___________.
20．在用随机(整数)模拟求“有个男生和个女生，从中取个，求选出个男生个女生”的概率时，可让计算机产生的随机整数，并用代表男生，用代表女生.因为是选出个，所以每个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“”，则它代表的含义是___.【出处：21教育名师】
三、解答题
21．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率.
22．已知甲 乙两名运动员试跳某个高度成功的概率分别是0.7 0.6，且每次试跳成功与否之间互不影响.
（1）求甲试跳两次，两次均成功的概率；
（2）求甲 乙两人在一次试跳中，至少有一人成功的概率.
23．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着年新年钟声的敲响，我国自年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）个税起征点为元；
（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；
（3）专项附加扣除包括住房 子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点元） 新个税税率表（个税起征点元）
缴税级数 每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点 税率 每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率
不超过元部分 不超过元部分
超过元至元部分 超过元至元部分
超过元至元的部分 超过元至元的部分
超过元至元的部分 超过元至元的部分
超过元至元部分 超过元至元部分
随机抽取某市名同一收入层级的从业者的相关资料，经统计分析，预估他们年的人均月收入元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的从业者年月缴个税的所有可能及其概率.
（2）根据新旧个税方案，估计从年月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴交的个税之和就超过年的月收入？21·世纪*教育网
24．随着经济的发展，人民生活 ( http: / / www.21cnjy.com )水平得到提高，相应的生活压力也越来越大，对于娱乐生活的需求也逐渐增加．根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据，得到下表：
剧本类别 类 类 类 类 类
演出场次
好评率
好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值．
（1）从上表各类剧中随机抽取场剧，估计这场剧获得了好评的概率；
（2）为了了解，两类剧比较受欢迎的原因，现用分层随机抽样的方法，按比例分配样本，从，两类剧中取出场剧，对这场剧的观众进行问卷调查．若再从这场剧中随机抽取场，求取到的场剧中，两类剧都有的概率．
25．某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.在这份问卷中，持满意态度的频率是，岁及以下的居民的频率是，持不满意态度的岁及以上的居民的频率是.
（1）完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异？www.21-cn-jy.com
满意 不满意 总计
岁及以上的居民
岁及以下的居民
总计
（2）按“岁及以上”和“岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取份调查问卷，再从这份调查问卷中随机抽取份进行电话家访求电话家访的两位居民的年龄都在岁及以下的概率.21教育网
附表及参考公式：
，其中.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第12章概率初步单元综合培优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知矩形ABCD中，，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足为锐角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意作图，如图所示，设，当点P落在圆外时，为锐角，分别求出矩形ABCD和半圆的面积，由几何概型概率计算公式即可求得答案.
【详解】
解：如图所示，设，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点P落在以O为圆心，以AB为直径的圆上时，，
当点P落在圆外时，为锐角，
矩形ABCD的面积为，
半圆的面积为，
由几何概型概率计算公式知满足为锐角的概率是，
故选：A.
2．在如图所示的电路图中，开关，，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果.
【详解】
灯亮即闭合，且，至少有一个闭合，所以灯亮的概率.
故选：C.
3．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将恰好局时游戏终止的事件分拆成有平局、无平局的两个互斥事件的和，分别求出这两个事件的概率即可得解.www.21-cn-jy.com
【详解】
恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2，21*cnjy*com
则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，
于是得，，
，
所以恰好局时游戏终止的概率为.
故选：B
4．抛掷一枚硬币次，若正面向上用随机数表示，反面向上用随机数表示，下面表示次抛掷恰有次正面向上的是 ( )21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
代表正面向上，恰有次正面向上，应是由个，个组成的结果，故选C.
5．下列说法正确的是
A．某事件发生的概率为1.1 B．对立事件也是互斥事件
C．不能同时发生的的两个事件是两个对立事件 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
【答案】B
【详解】
分析：根据事件发生的概率的范围是判断A是否正确；
根据对立事件的定义判定B是否正确；
根据互斥事件与对立事件的定义，判断C是否正确；
根据事件发生的概率的定义判断D是否正确．
详解：：∵事件发生的概率的范围是∴A错误；
∵互斥事件A、B，必有一个发生 ( http: / / www.21cnjy.com )，则事件A、B为对立事件，∴B正确；
∵不能同时发生的两个事件是互斥事件，不一定是对立事件，∴C错误；
根据概率的定义，事件发生的概率是固定值，∴不随着实验次数的变化而变化，∴D错误．
故选B．
点睛：本题考查了互斥事件、对立事件的定义，考查了事件发生的概率的含义，正确理解概念是解答问题的关键．
6．下列说法正确的个数有（ ）
（1）掷一枚质地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或 6 点”.则 和 相互独立；
（2）袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，则“两球同色”的概率是 ；
（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；
（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是 ；
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由概率的相关知识逐一判断即可
【详解】
对于（1）：掷一枚质地均匀的的骰子一次，，，
，即，故事件和相互独立；（1）正确；
对于（2）：袋中有大小质地相同的 3 个白球和 1 个红球.依次不放回取出 2 个球，若“两球同色”则都是白球，则“两球同色”的概率是 ，（2）错误；
对于（3）：“至少一人中靶”的概率为，（3）正确；
对于（4）：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有种，
取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15-3=12种，所以“取出的鞋不成双”的概率是，（4）正确
综上可知正确的有（1）（3）（4）
故选：C
7．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A， ( http: / / www.21cnjy.com )B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、 ( http: / / www.21cnjy.com )互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于拔高题．
8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【答案】A
【分析】
概率的事件可以认为是概率为的对立事件．
【详解】
事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于拔高题.
9．下列说法正确的是
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【答案】D
【分析】
由概率的意义可判断AB错误，由随机抽样的概念得到D正确.
【详解】
一对夫妇生两小孩可能是（男 ( http: / / www.21cnjy.com )，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
故答案为D.
【点睛】
本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于拔高题.
10．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒 ( http: / / www.21cnjy.com )烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.
【详解】
由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
【点睛】
此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.
二、填空题
11．小华 小明 小李 小章去，，，四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有人去实习，则小华去工厂，且小李没去工厂的概率是___________.
【答案】
【分析】
先列出所有可能的情况，再求出符合条件的情况，再用古典概型的公式求解即可
【详解】
记小华 小明 小李 小章分别为：1、2、3、4，
数组对应A,B,C,D的顺序，
由题意可知总的分配情况有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共种，
其中符合条件的情况有：，，，，
共种，故所求概率.
故答案为：
12．一枚硬币连掷三次，事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝__________________.
【答案】1
【分析】
由题事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，可得结论
【详解】
事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.21教育网
【点睛】
本题考查互斥事件的概率，属拔高题.
13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【分析】
先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果
【详解】
比分为1比2时有三种情况：（1）甲 ( http: / / www.21cnjy.com )第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分21教育名师原创作品
所以概率为
【点睛】
本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.
14．裴波那契数列（Fibonaccise ( http: / / www.21cnjy.com )quence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______21·cn·jy·com
【答案】
【分析】
列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．
【详解】
解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，2865 ( http: / / www.21cnjy.com )7，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，【版权所有：21教育】
2178309，3524578，5702 ( http: / / www.21cnjy.com )887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，
其中能被3整除的有10个，分别为： ( http: / / www.21cnjy.com )3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．
故答案为：
15．给出下列事件：
①今天下雨或不下雨；
②某电影城某天的上座率达到60%；
③从1，3，5三个数字中任选2个数相加，其和为偶数；
④从一副不包括大小王的52张扑克牌中任取4张，恰好四种花色各一张；
⑤从一个正方体的八个顶点中任取三个顶点，这三个顶点不共面．
其中必然事件有__________，不可能事件有__________，随机事件有__________．（填序号）
【答案】①③ ⑤ ②④
【解析】
①今天下雨或不下雨，事件必然发生， ( http: / / www.21cnjy.com )故①为必然事件；②某电影城某天的上座率达到60%，此事件可能发生，也可能不发生，故②为随机事件；③从1，3，5三个数字中任选2个数，均为奇数，相加其和必然为偶数，此事件必然发生，故③为必然事件；④从一副不包括大小王的52张扑克牌中任取4张，恰好四种花色各一张，此事件可能发生，也可能不发生，故④为随机事件；⑤从一个正方体的八个顶点中任取三个顶点，因为空间任意三点必然共面，所以这三个顶点不共面的事件不可能发生，故⑤为不可能事件．故答案为①③；⑤；②④．
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为________（表示的对立事件）．
【答案】
【分析】
由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果，
其中事件 “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，
，
事件 “出现小于5的点数”的对立事件，
，，
且事件和事件是互斥事件，
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概率，分清 ( http: / / www.21cnjy.com )互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属拔高题．
17．若三个原件A，B，C按照如图 ( http: / / www.21cnjy.com )的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】0.686
【分析】
根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.
【详解】
由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，
则与至少有一个正常工作的概率为，
所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
【点睛】
本题主要考查了对立事件和相互独立事件 ( http: / / www.21cnjy.com )的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于拔高题.
18．在某市举办的城市运动会 ( http: / / www.21cnjy.com )的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______.
【答案】
【分析】
记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，依题意得，，且，相互独立，由此能求出两人中恰有一人第二次才成功的概率．
【详解】
解：记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，
依题意得，，且，相互独立．
“甲第二次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，，
故甲第二次试跳才成功的概率为0.21，
同理，可求得乙第二次试跳才成功的概率为，
故两人中恰有一人第二次才成功的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于拔高题．
19．辛普森悖论(Sim ( http: / / www.21cnjy.com )pson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：
某高校 申请人数 性别 录取率
法学院 200人 男 50%
女 70%
商学院 300人 男 60%
女 90%
对于此次招生，给出下列四个结论：
①法学院的录取率小于商学院的录取率；
②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；
③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；
④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】②④
【分析】
根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解.
【详解】
设申请法学院的男生人数为，女生人数为，则，
法学院的录取率为，
设申请商学院的男生人数为，女生人数为，则，
商学院的录取率为，
由，
该值的正负不确定，所以①错误，④正确；
这两个学院所有男生的录取率为，
这两个学院所有女生的录取率为，
因为，
所以②正确；③错误.
故答案为：②④.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率公式的应用， ( http: / / www.21cnjy.com )其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于拔高题.
20．在用随机(整数)模拟求“有个男生和个女生，从中取个，求选出个男生个女生”的概率时，可让计算机产生的随机整数，并用代表男生，用代表女生.因为是选出个，所以每个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“”，则它代表的含义是___.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】选出的4个人中，只有1个男生
【详解】
代表男生，用代表女生，表示一男三女，即“”代表的含义是选出的个人中，只有个男生.
三、解答题
21．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.【出处：21教育名师】
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）汽油罐被引爆的对立事件为汽油罐 ( http: / / www.21cnjy.com )没有被引爆，根据射击5次只命中一次或一次也没命中，则没有引爆，求出没有引爆的概率，利用对立事件的概率公式即可得出答案；
（2）不小于4的概率即为时和时的概率之和，分别求出时和时的概率即可得出答案.
【详解】
解：（1）汽油罐被引爆的对立事件为汽油罐没有被引爆，没有被引爆的可能情况：
射击5次只命中一次或一次也没命中，
它的概率为.
所以所求的概率为；
（2）当时，记为事件A，表示前三次射击只命中一次，第四次命中，
则；
当时，记为事件，表示前四次射击只命中一次或一次也没命中，
则.
所以所求的概率为.
22．已知甲 乙两名运动员试跳某个高度成功的概率分别是0.7 0.6，且每次试跳成功与否之间互不影响.
（1）求甲试跳两次，两次均成功的概率；
（2）求甲 乙两人在一次试跳中，至少有一人成功的概率.
【答案】（1）0.49；（2）0.88.
【分析】
（1）记“甲在第次试跳成功”为事件，由独立事件的概率计算公式得答案；
（2）根据对立事件的概率可求得答案.
【详解】
解：（1）记“甲在第次试跳成功”为事件，“甲试跳两次，两次均成功”为事件.
由独立事件的概率计算公式得：P（C）==0.70.7=0.49；
（2）记“甲 乙两人在一次试跳中，至少有一人成功”为事件D，
因为事件D与事件“甲 乙两人在一次试跳中，都不成功”相互对立
所以.
23．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着年新年钟声的敲响，我国自年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：2·1·c·n·j·y
（1）个税起征点为元；
（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；
（3）专项附加扣除包括住房 子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
旧个税税率表（税起征点元） 新个税税率表（个税起征点元）
缴税级数 每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点 税率 每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率
不超过元部分 不超过元部分
超过元至元部分 超过元至元部分
超过元至元的部分 超过元至元的部分
超过元至元的部分 超过元至元的部分
超过元至元部分 超过元至元部分
随机抽取某市名同一收入层级的从业者的相关资料，经统计分析，预估他们年的人均月收入元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的从业者年月缴个税的所有可能及其概率.
（2）根据新旧个税方案，估计从年月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴交的个税之和就超过年的月收入？21·世纪*教育网
【答案】（1）答案见解析；（2）经过个月.
【分析】
（1）计算出题中四类人群每月应纳税所得额，结合题意求出每类人群的月缴个税及其概率；
（2）计算出在旧政策下，该收入阶层的从业者每月应纳税所得额，可求得新政策下，每月少缴个税额，设经过个月该市该收入阶层的从业者各月少缴交的个税之和就超过年的月收入，根据已知条件可得出关于的不等式，结合可求得结果.
【详解】
（1）由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.www-2-1-cnjy-com
①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
元，
月缴个税为元，其概率为；
②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
元，
月缴个税为元，其概率为；
③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税为元，其概率为；
④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税为元，其概率为；
（2）在旧政策下，该收入阶层的从业者每月应纳税所得额为元，
故月缴个税为元，
在新政策下，该收入阶层的从业者每月应纳税所得额为元，
每月少缴个税元，
设经过个月该市该收入阶层的从业者各月少缴交的个税之和就超过年的月收入，
则，又，解得，
所以经过个月，该市该收入阶层的从业者各月少缴交的个税之和就超过年的月收入.
【点睛】
关键点点睛：解决本题第一问的关键在于理解题中个税新旧政策中的扣税方案，并依据题意计算出各类人群所扣的税额；2-1-c-n-j-y
解决本题第二问的关键在于求出新旧政策下所扣的税额，并结合题意列不等式求解.
24．随着经济的发展，人民生 ( http: / / www.21cnjy.com )活水平得到提高，相应的生活压力也越来越大，对于娱乐生活的需求也逐渐增加．根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据，得到下表：
剧本类别 类 类 类 类 类
演出场次
好评率
好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值．
（1）从上表各类剧中随机抽取场剧，估计这场剧获得了好评的概率；
（2）为了了解，两类剧比较受欢迎的原因，现用分层随机抽样的方法，按比例分配样本，从，两类剧中取出场剧，对这场剧的观众进行问卷调查．若再从这场剧中随机抽取场，求取到的场剧中，两类剧都有的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据已知求得演出场次中获得好评的场次，又总场数为1000，由此求得这场剧获得了好评的概率.
（2）按照分层抽样及类剧演出场次之比，得到类剧抽取场，类剧抽取场，利用列举法列出所有取法共种，其中满足条件的共种，利用古典概型得到，两类剧都有的概率．
【详解】
解：（1）设“随机抽取场剧，这场剧获得好评”为事件．
获得了好评的场次为．
所以．
（2）根据题意，，两类剧演出场次之比为．
所以类剧抽取场，记为，，，，类剧抽取场，记为，，
从中随机抽取场，所有取法为，，，，，，，，，，，，，，，共种．
取到的场中，两类剧都有的取法为，，，，，，，，共种．
所以取到的场中，两类剧都有的概率．
25．某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.在这份问卷中，持满意态度的频率是，岁及以下的居民的频率是，持不满意态度的岁及以上的居民的频率是.
（1）完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异？
满意 不满意 总计
岁及以上的居民
岁及以下的居民
总计
（2）按“岁及以上”和“岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取份调查问卷，再从这份调查问卷中随机抽取份进行电话家访求电话家访的两位居民的年龄都在岁及以下的概率.
附表及参考公式：
，其中.
【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异；（2）.21cnjy.com
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照表格得出结论。
（2）利用抽样法则求出抽到的分数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率.
【详解】
解：（1）在这份问卷中，持满意态度的频数为，持不满意态度的频数为，
岁及以下的居民的频数是，持不满意态度的岁及以上的居民的频数.
所以列联表如下：
满意 不满意 总计
岁及以上的居民
岁及以下的居民
总计
.
故有的把握认为“岁及以上”和“岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异.
（2）设电话家访的两位居民的年龄都在岁及以下为事件.
利用分层抽样的特点可知：“岁及以上”居民抽到份记为：，；
“岁及以下”居民抽到份记为：，，.
基本事件共有：，，，，，，，，，，共有10个.
满足条件的事件有：，，，共有3个.
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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