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专题15频率与概率综合难点问题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则（ ）21世纪教育网版权所有
A．100 B．300 C．400 D．600
2．在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出的近似值为(精确到小数点后两位)（ ）21教育网
A．3.06 B．3.12 C．3.20 D．3.24
3．我国古代数学名著《数书九章》中 ( http: / / www.21cnjy.com )有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）21·cn·jy·com
A．153石 B．154石 C．169石 D．170石
4．考虑掷硬币实验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷10次硬币，事件发生的次数一定是5
C．重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近0.5
5．从标有数字1,2,6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
6．甲、乙两组各有三名同学， ( http: / / www.21cnjy.com )他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．
D．
7．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分 ( http: / / www.21cnjy.com )”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为【来源：21·世纪·教育·网】
A．59石 B．60石 C．61石 D．62石
8．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）
厨余垃圾”箱 可回收物”箱 其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
9．下列命题正确的是
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
10．“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某市有15万名中小学生，为了解中小学生的在线学习情况，市教育主管部门在全市范围内随机调查了5000名中小学生平均每人每天的在线学习时间（单位：小时），并按2小时以内和2小时以上（含2小时）两个区间段分组统计学生人数.如图所示的程序框图是统计学生在线学习时间在某个区间段人数的一个算法流程图，其输出的结果为2000.用频率估计概率，则该市中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数估计为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3万 B．6万 C．9万 D．12万
二、填空题
11．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上 ( http: / / www.21cnjy.com )标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______条鱼.
12．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白 ( http: / / www.21cnjy.com )球和黄球（只是颜色不同）若干个，从中任取一球，取了10次有7个白球，估计袋中数量最多的是________球．
13．下列说法正确的是________.(填序号)
①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
14．如果袋中装有数量差别很大 ( http: / / www.21cnjy.com )而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．21cnjy.com
15．随机变量等可能取值为，如果 ，那么___．
16．根据某社区医院的调查,该地区居民血型的 ( http: / / www.21cnjy.com )分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现有一血液为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为该病人输血的概率是_____.www-2-1-cnjy-com
17．某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:2-1-c-n-j-y
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频 数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为_____.
18．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．21*cnjy*com
19．.某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:个):
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191
男 婴 数 2 716 4 899 6 812 8 590
男婴出生频率
(1)填写表中的男婴出生频率(结果保留两位有效数字)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是_____.
20．今年由于猪肉涨价太多 ( http: / / www.21cnjy.com )，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
21．近期，某中学全体学生 ( http: / / www.21cnjy.com )参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
男生（人数） 2 5 8 9 1
女生（人数） a b 10 3 2
（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；【出处：21教育名师】
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；【版权所有：21教育】
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
22．橄榄型分配格局是指中等收入者占 ( http: / / www.21cnjy.com )多数，低收入者和高收入者均占少数，呈现类似橄榄“两头小中间大”的形态.某公司随机选取了50名员工（男、女各25人），并记录了他们某一月的工资收入，并将数据整理如下表：21教育名师原创作品
月薪（元） 0~3000 3001~6000 6001~9000 9001~12000 ＞12000
男 1 1 3 15 5
女 0 4 11 8 2
若月薪超过9000元认定为“高收入”，否则认定为“一般收入”.
（1）利用样本估计总体的思想，估计该公司员工月薪超过12000元的概率；
（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为月薪类型与性别有关？
高收入 一般收入 总计
男
女
总计
参考公式及数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
23．我们把大家对数学的感情分成五个等级（一般，喜欢，爱，真爱，挚爱），等级系数依次为1，2，3，4，5，现从高一年级抽取20名同学，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：21·世纪*教育网
1 2 3 4 5
0.2 0.45
（1）若所抽取的20名同学中，等级系数为4的恰有4人，等级系数为5的恰有2人，求、、的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的4名同学记为，，，，等级系数为5的2两名同学记为，．现从，，，，，这6名同学中任选2人（假定每人被选中的可能性相同），写出样本空间，并求这2名同学的数感等级系数之和不低于9的概率．www.21-cn-jy.com
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专题15频率与概率综合难点问题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过瓶的概率估计值为0.1，则（ ）21教育网
A．100 B．300 C．400 D．600
【答案】B
【分析】
根据频率分布表的频率估计概率，进而得解.
【详解】
这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，
所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
故选:B．
2．在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出的近似值为(精确到小数点后两位)（ ）2-1-c-n-j-y
A．3.06 B．3.12 C．3.20 D．3.24
【答案】D
【分析】
由题意画出图形，可知铁皮落在图形内为有效，落在两个圆内为获胜，然后利用几何概型的概率公式列方程可求得结果21世纪教育网版权所有
【详解】
由题意得，铁片在图中两个圆内为获胜，
则，
所以，解得，
故选：D
3．我国古代数学名著《数书九章》中 ( http: / / www.21cnjy.com )有“米谷粒分”问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）21*cnjy*com
A．153石 B．154石 C．169石 D．170石
【答案】C
【分析】
这批米内夹谷约为石，则，由此能求出这批米内夹谷数量.
【详解】
这批米内夹谷约为石,根据题意可得
解得
故选：C
4．考虑掷硬币实验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷10次硬币，事件发生的次数一定是5
C．重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】
对A，根据随机事件的概率即可求解；对B，C，D，根据随机事件的频率和概率的定义即可判断.
【详解】
解：对A，掷2次硬币，有个基本事件，
其中“一个正面，一个反面”有两个基本事件，
故该事件发生的概率为，故A错误；
对B，掷10次硬币，事件发生的次数不一定是5，故 B 错 误；
对C，重复掷硬币，事件发生的频率接近于事件发生的概率，故C错误；
对D，当投掷次数足够多时，事件发生的频率接近事件发生的频率，即0.5，故 D 正 确.
故 选：D.
5．从标有数字1,2,6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签，所以乘积12出现6次，频率为.故选B.
考点：随机事件的频率.
6．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次 ( http: / / www.21cnjy.com )测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】
由茎叶图得到甲、乙两组数据，然后计算出成绩相同的概率
【详解】
由题意可知：甲组成绩为：88，92，93
乙组成绩为：90，91，92
则分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，
这两名同学的成绩相同的概率是
故选
【点睛】
本题主要考查了茎叶图及选取相同成绩的概率问题，较为拔高．
7．我国古代数学名著《数学九章》 ( http: / / www.21cnjy.com )有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为【出处：21教育名师】
A．59石 B．60石 C．61石 D．62石
【答案】A
【分析】
运用抽样结果得到米内夹谷的概率，然后估算这批米内夹谷的结果
【详解】
由题中54粒内夹谷6粒可得其概率为：，
则这批米内夹谷为，约为59石
故选
【点睛】
本题主要考查了抽样调查的实际运用，由抽样结果得到概率后然后估算其结果，较为简单．
8．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）
厨余垃圾”箱 可回收物”箱 其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A．厨余垃圾投放正确的概率为
B．居民生活垃圾投放错误的概率为
C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】C
【分析】
由表格可求得：厨余垃圾投放正确的概率，可回收物投放正确的概率，其他垃圾投放正确的概率，再结合选项进行分析即可.
【详解】
由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；可回收物投放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率．
对A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；
对B，生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；
对C，该市厨余垃圾箱中投放正确的概率,可回收物垃圾箱中投放正确的概率,其他垃圾箱中投放正确的概率,
所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾”箱，故C错误；
对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数，可得方差
，故D正确.
故选：C．
【点睛】
本题考查概率与统计的计算，考查推理能力与数据处理能力，属于中档题．
9．下列命题正确的是
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
【答案】B
【分析】
根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．
【详解】
在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错；
事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确；
抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错；
抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．
10．“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某市有15万名中小学生，为了解中小学生的在线学习情况，市教育主管部门在全市范围内随机调查了5000名中小学生平均每人每天的在线学习时间（单位：小时），并按2小时以内和2小时以上（含2小时）两个区间段分组统计学生人数.如图所示的程序框图是统计学生在线学习时间在某个区间段人数的一个算法流程图，其输出的结果为2000.用频率估计概率，则该市中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数估计为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3万 B．6万 C．9万 D．12万
【答案】C
【分析】
根据程序框图，可知输出的是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，可知样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，即可求出在线学习时间在2小时以内人数的频率，进而可求出答案.
【详解】
根据程序框图，输出的是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，结果为2000，
故样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，
因此在线学习时间在2小时以内人数的频率为，
用频率估计概率，该市15万名中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数大约为万.
故选：C.
【点睛】
本题以现实生活为背景，考查程序框图及数学建模能力，考查概率的理解，属于拔高题.
二、填空题
11．管理人员从一池塘内 ( http: / / www.21cnjy.com )捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______条鱼.
【答案】1500
【分析】
由从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，按照比例即得解.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
由题意可得：从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，
所以可以估计该池塘内共有条鱼.
【点睛】
本题考查了用频率估计概率在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归的能力，属于拔高题.
12．如果袋中装有数量差别很大而大小相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的白球和黄球（只是颜色不同）若干个，从中任取一球，取了10次有7个白球，估计袋中数量最多的是________球．
【答案】白
【分析】
利用频率估计概率，结合从中任取一球，取了10次有7个白球，即可得出结论．
【详解】
取了10次有7个白球，则取出白球 ( http: / / www.21cnjy.com )的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
故答案为白.
【点睛】
本题考查概率知识，考查频率估计概率，比较拔高．
13．下列说法正确的是________.(填序号)
①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；
③含百分比的数是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
【答案】①④⑤．
【分析】
①根据频率和概率的定义可以判断． ( http: / / www.21cnjy.com )②根据实验时频率和概率的关系判断．③利用频率和概率的关系判断．④根据频率和概率的关系判断⑤由频率和概率的关系判断．
【详解】
解：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小所以①正确；
②频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以他们并不是一个值，所以②错误；
③理论上的百分率是概率，所以③错误；
④频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，所以④正确；
⑤频率的数值是通过实验完成的，是概率的近似值，概率是频率的稳定值．所以⑤正确．
所以正确的说法是①④⑤．
故答案为：①④⑤．
14．如果袋中装有数量差 ( http: / / www.21cnjy.com )别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．www.21-cn-jy.com
【答案】白球
【解析】
取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．www-2-1-cnjy-com
考点：随机事件的概率.
15．随机变量等可能取值为，如果 ，那么___．
【答案】6
【解析】
因为随机变量等可能取值，而只有三个数，所以
16．根据某社区医院的调查,该 ( http: / / www.21cnjy.com )地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现有一血液为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为该病人输血的概率是_____.
【答案】65%
【解析】
由生活常识知,O型、A型血液都能输给该病人,由频率估计概率可得50%+15%=65%.
点睛:(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
17．某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表:21·cn·jy·com
落在桌面的数字 1 2 3 4 5
频 数 32 18 15 13 22
则落在桌面的数字不小于4的频率为_____.
【答案】0.35
【详解】
落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数为13+22=35.所以频率为=0.35.
18．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．21教育名师原创作品
【答案】169
【详解】
根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为 ，所以这批米内夹谷约为石，故答案为.
19．.某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:个):
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191
男 婴 数 2 716 4 899 6 812 8 590
男婴出生频率
(1)填写表中的男婴出生频率(结果保留两位有效数字)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是_____.
【答案】(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
【详解】
(1)频率f(A)=,各频率为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为0.50.
点睛: 事件A发生的频率是利用频数 ( http: / / www.21cnjy.com )nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．21·世纪*教育网
20．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择 ( http: / / www.21cnjy.com )购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
【答案】0.4
【分析】
将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.
【详解】
由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，
故答案为；0.4
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.
三、解答题
21．近期，某中学全体学生参加了 ( http: / / www.21cnjy.com )“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
男生（人数） 2 5 8 9 1
女生（人数） a b 10 3 2
（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）．
【分析】
（1）由表中的数据可知成绩在80分以上 ( http: / / www.21cnjy.com )的有15人，其中男生10人，女生5人，先求出从15人抽2人的方法数，再求出这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出从25名男生中抽取1人成绩在80分以上的频率，从而可得从全校男生抽取1人成绩在80分以上的概率，由题意可得可取，且，然后利用二项分布的概率公式可求出分布列，进而可求出数学期望；
（3）通过方差的意义分析即可
【详解】
解：（1）设“从大赛成绩在以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，
由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即．所以事件A包含21个样本点，因此．【版权所有：21教育】
（2）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为，
因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在以上的人数可取，且．
，，
，．
所以随机变量的分布列
0 1 2 3
数学期望
或者，所以．
（3）
（由题意可得，由于方差是衡量一组数据的离散程度，当数据越集中，方差越小，所以时，数据更集中，方差最小）21*cnjy*com
22．橄榄型分配格局是指中等收入者占多数 ( http: / / www.21cnjy.com )，低收入者和高收入者均占少数，呈现类似橄榄“两头小中间大”的形态.某公司随机选取了50名员工（男、女各25人），并记录了他们某一月的工资收入，并将数据整理如下表：
月薪（元） 0~3000 3001~6000 6001~9000 9001~12000 ＞12000
男 1 1 3 15 5
女 0 4 11 8 2
若月薪超过9000元认定为“高收入”，否则认定为“一般收入”.
（1）利用样本估计总体的思想，估计该公司员工月薪超过12000元的概率；
（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为月薪类型与性别有关？
高收入 一般收入 总计
男
女
总计
参考公式及数据：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）；（2）列联表见解析，有.
【分析】
(1)利用频率来估计概率；
(2)根据题中高收入的规定填写2×2列联表，再计算，对照表格可得结果.
【详解】
(1)根据表中数据可知：50名员工中月薪超过12000元的有7人，频率为，
由此可估计该公司员工月薪超过12000元的概率为.
(2)根据题意完成的2×2列联表如下：
高收入 一般收入 总计
男 20 5 25
女 10 15 25
总计 30 20 50
所以，
所以有99.5%的把握认为月薪类型与性别有关.
23．我们把大家对数学的感情分成五个等级（一般，喜欢，爱，真爱，挚爱），等级系数依次为1，2，3，4，5，现从高一年级抽取20名同学，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：21cnjy.com
1 2 3 4 5
0.2 0.45
（1）若所抽取的20名同学中，等级系数为4的恰有4人，等级系数为5的恰有2人，求、、的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的4名同学记为，，，，等级系数为5的2两名同学记为，．现从，，，，，这6名同学中任选2人（假定每人被选中的可能性相同），写出样本空间，并求这2名同学的数感等级系数之和不低于9的概率．2·1·c·n·j·y
【答案】（1），，；（2）样本空间见解析，.
【分析】
（1）由频率和为1，结合频率的计算公式即可求解；
（2）用列举法写出样本空间，求出符合条件的基本事件个数，利用古典概型的公式即可求解
【详解】
（1）由题意可知：，即，
抽取的20名同学中，等级系数为4的恰有4人，等级系数为5的恰有2人，
则，即，从而可解得，
所以，，；
（2）由题意从这6名同学中任选2人的样本空间为：
， ，，，，，，，
，，，，，，，共15种；
其中这2名同学的数感等级系数之和不低于9的有： ，，，
， ，，，，，共9种；
所以这2名同学的数感等级系数之和不低于9的概率为
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