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专题17随机事件的独立性难点问题专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列给出的命题中，错误的命题有（ ）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
②事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大；
③若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立；
④对于事件，，，若成立，则，，两两独立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
3．甲乙丙三名选手参加短跑、跳远两项比 ( http: / / www.21cnjy.com )赛．每项比赛以后，随机抽取一名选手进行兴奋剂检测．若每次检测每位选手被抽到的概率相同，且每位选手最多被抽检一次（第一次被抽检的选手第二次免检），则甲被抽检的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用K、A1、A2三类不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共个,其中白球个.从中任取两个,则概率为的事件是( ).2·1·c·n·j·y
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
6．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：
（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；
（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；
（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；
（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；
其中相互为对立事件的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ
7．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
9．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是
A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为
10．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
二、填空题
11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.21cnjy.com
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
12．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．21·cn·jy·com
13．某校甲、乙、丙三名教师每天使 ( http: / / www.21cnjy.com )用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．21·世纪*教育网
14．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第局甲当裁判，在前局中乙恰好当次裁判的概率_______．
15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.www-2-1-cnjy-com
16．某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为，乙、丙两名同学都不当选的概率为，甲、丙两名同学都不当选的概率为，丁当选的概率为，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是________．2-1-c-n-j-y
17．我省高考实行3+1+2模式，高一 ( http: / / www.21cnjy.com )学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为__________.【来源：21cnj*y.co*m】
18．甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______．
19．甲 乙两人打靶，已知甲的命中率 ( http: / / www.21cnjy.com )为0.8，乙的命中率为0.7，若甲 乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________.【出处：21教育名师】
20．甲、乙两人下围棋，下3盘棋，甲平均能赢2盘．某日甲、乙进行5盘3胜制比赛，那么甲胜出的概率为______．21教育名师原创作品
三、解答题
21．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
22．某课程考核分理论与实验两 ( http: / / www.21cnjy.com )部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．21*cnjy*com
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．
23．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率．
24．（2015全国高考试题）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：21*cnjy*com
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不同等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.【版权所有：21教育】
25．当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题17随机事件的独立性难点问题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列给出的命题中，错误的命题有（ ）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
②事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大；
③若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立；
④对于事件，，，若成立，则，，两两独立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义以及关系，依次判断选项.
【详解】
①根据互斥事件与对立事件的定义可知，正确；
②当是对立事件时，事件与事件中至少有一个发生的概率和与中恰有一个发生的概率相等，故错误；
③若，互斥，则，不可能同时发生，若，相互独立，则发生与否，对对方没有影响，所以可以同时发生，故错误；21世纪教育网版权所有
④对于事件，，，若，，，以及成立，则，，两两独立，缺一不可，故错误.
故选：C
2．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程，联立求解即得.
【详解】
依题意，该同学可以进入两个社团的概率为，则，整理得，
又三个社团都进不了的概率为，则，整理得，
联立与，解得，
所以.
故选：B
3．甲乙丙三名选手参加短跑、跳远两项比赛．每 ( http: / / www.21cnjy.com )项比赛以后，随机抽取一名选手进行兴奋剂检测．若每次检测每位选手被抽到的概率相同，且每位选手最多被抽检一次（第一次被抽检的选手第二次免检），则甲被抽检的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得第一次甲没有被抽检的概率，再求出第二次甲没有被抽检的概率，可得甲没有被抽检的概率．再用1减去甲没有被抽检的概率，即为所求．21·cn·jy·com
【详解】
解：第一次甲没有被抽检的概率为，
第二次甲没有被抽检的概率为，
故甲没有被抽检的概率为，
故甲被抽检的概率为，
故选：D．
4．如图，用K、A1、A2三类不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
【答案】B
【详解】
A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
考点：相互独立事件的概率.
5．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共个,其中白球个.从中任取两个,则概率为的事件是( ).
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
【答案】B
【详解】
表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
6．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：
（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；
（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；
（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；
（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；
其中相互为对立事件的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ
【答案】B
【分析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【详解】
解：，，是三个事件，给出下列四个事件：
（Ⅰ），，中至少有一个发生；
（Ⅱ），，中最多有一个发生；
（Ⅲ），，中至少有两个发生
（Ⅳ），，最多有两个发生；
在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；
在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件；
在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；
在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件．
故选：．
【点睛】
本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等拔高知识，考查运算求解能力，属于拔高题．www-2-1-cnjy-com
7．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.www.21-cn-jy.com
【详解】
解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，
则，又，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于拔高题.
8．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，
则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=
故选B.
9．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是
A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”与“”互为对立事件
C．事件“”与“”互为互斥事件 D．事件“”的概率为
【答案】D
【详解】
对于A,,则概率为,选项错误;
对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;
对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;
对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;
综上可得,选D.
点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.
10．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的 ( http: / / www.21cnjy.com )概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
二、填空题
11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.21*cnjy*com
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
【答案】①④
【分析】
在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．
【详解】
口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，
事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”，
“取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；
②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；
③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，（C），（E），，
从而（C）（E），故④正确；
⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，是拔高题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．
12．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．
【答案】9
【分析】
根据对立事件的性质可知，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】
由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝，
P(B)＝，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝＋＝1，
所以
，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.
故答案为：9
【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
13．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号 ( http: / / www.21cnjy.com )录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
【答案】0.968
【分析】
利用对立事件的概率公式计算．
【详解】
设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件，，，则，，，则所求事件的概率
．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：在求概率问题中，常常会出现至少、至多等词语的事件的概率，这类概率问题常常利用其对立事件的概率公式进行计算．
14．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第局甲当裁判，在前局中乙恰好当次裁判的概率_______．
【答案】
【分析】
前局中乙恰好当次裁判的事件是乙在第二局当裁判与在第三局当裁判事件的和，它们互斥，分别求出它们的概率而得解.
【详解】
前3局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当次裁判的事件A，是乙第二局当裁判的事件A1与乙第三局当裁判的事件A2的和，它们互斥，
乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，则；
乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则，
所以.
故答案为：
【点睛】
利用已知概率的事件求概率，把所求概率的事件分拆成相互独立事件的积和互斥事件的和是关键.
15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
仅一人获得最高得票，分为：获得3票或者获得2票，其它三人有两2人各1票，由此可计算出概率．
【详解】
随机事件的概率计算
由题意可知，每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票有如下两种情况：①若得3票，其概率为；②若得2票，其概率为，所以最终仅一人获得最高得票的概率为..
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是把事件拆分两个互斥事件的概率，一个事件是获得3票，一个事件是获得2票，其他三人中有2人各获得一票，分别计算概率后由概率加法得出结论．
16．某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为，乙、丙两名同学都不当选的概率为，甲、丙两名同学都不当选的概率为，丁当选的概率为，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是________．
【答案】
【分析】
设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为，，，，由独立事件的概率计算公式列出关于的方程，然后由恰好有一人当选班委包括，，，四 个基本事件，从而可得答案.
【详解】
设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为，，，，
则，解得
因为事件，，，相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
．
故答案为：
17．我省高考实行3+1+2模式，高一学生A ( http: / / www.21cnjy.com )和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为__________.
【答案】
【分析】
利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、 ( http: / / www.21cnjy.com )地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法．由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率.
【详解】
每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:
{化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理}共6种选法.2·1·c·n·j·y
由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=6×6=36种，
其中两人的选科完全相同的选法有6种，
所以她们的选科至少有一科不相同的概率
故答案为：
18．甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______．
【答案】
【分析】
根据对立事件的概率求解即可.
【详解】
因为两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，
所以．
故答案为：
19．甲 乙两人打靶，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲 乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________.【出处：21教育名师】
【答案】0.94
【分析】
记甲的命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，利用对立事件的概率公式计算．
【详解】
记甲的命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，，相互独立，
所以．
故答案为：．
20．甲、乙两人下围棋，下3盘棋，甲平均能赢2盘．某日甲、乙进行5盘3胜制比赛，那么甲胜出的概率为______．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【分析】
计算出甲赢的概率，甲、乙进行5盘3胜制比赛， ( http: / / www.21cnjy.com )那么甲胜出可能是连胜3盘，或者第四盘胜前三盘中胜两盘，或者第五盘胜前四盘中胜两盘，分别求出三种情况的概率再求和可得答案.21教育名师原创作品
【详解】
甲、乙两人下围棋，下3盘棋，甲平均能赢2盘，则甲赢的概率为，
甲、乙进行5盘3胜制比赛，那么甲胜出可能是连胜3盘，或者第四盘胜前三盘中胜两盘，或者第五盘胜前四盘中胜两盘，
甲连胜3盘的概率为；第四盘胜前三盘中胜两盘的概率为，第五盘胜前四盘中胜两盘的概率为，
所以甲胜出的概率为.
故答案为：.
三、解答题
21．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
【答案】（1）；（2）
【详解】
分析：（1）根据对立事件的概率公式，即可求解乙至多击中目标次的概率；
（2）设甲恰好比乙多击中目标次为事件，分为甲恰击中目次且乙恰好击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙击中目标 次为事件，即可求解其概率；
详解：（1）乙至多击中目标2次的概率为.
（2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲恰击中目标2次且乙恰好击中目标0
次为事件，甲恰击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，、为
互斥事件，.
点睛：本题考查了概率的求解，其中解答中涉及到独立重复试验的概率，以及互斥事件的概率的加法公式，对于次独立重复试验，一是在每次试验中事件发生的概率是否均为；二是概率的计算公式表示在独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.
22．某课程考核分理论与实验两部分进 ( http: / / www.21cnjy.com )行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．
【答案】(1) 0.902 (2) 0.254
【解析】
解:记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件i为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为事件C的对立事件，
P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2＋A1A3＋A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)
＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.
(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.
P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]
＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)
＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.
所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.
23．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)根据题意可知，第2次肯定射中，第1次和第3次至少有一次射中求解即可.
(2)易得第4次射中，前3次中有一次未射中，再求解即可.
【详解】
(1)设事件“射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标”为，则可知第2次肯定射中，第1次和第3次至少有一次射中.21cnjy.com
故.
(2)设事件 “射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”为事件，则可知第4次射中，前3次中有一次未射中.2-1-c-n-j-y
故.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率问题，需要根据题意分析事件可能的情况，再根据相互独立事件的概率公式求解.属于拔高题.
24．（2015全国高考试题）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不同等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.21教育网
【答案】0.48
【分析】
由题可知，事件分为两种情况，第一种情况是：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”，同时“地区用户满意度等级为不满意”；第二种情况是“地区用户满意度等级为非常满意”，同时“地区用户满意度等级为满意”，结合互斥事件和独立事件的概率，分别求出其概率，再运用概率的加法公式可求出结果.
【详解】
解：根据题意，记表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，
表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”，
表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，
表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
而与独立，与独立，与互斥，
即，
所以
，
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，，
故，，，，
故.
【点睛】
本题考查互斥事件和独立事件的概率，以及概率的加法公式，关键在于将事件分成相互独立和互斥事件，考查理解分析和运算能力．
25．当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)先根据所给条件，用列举法求出原答题组再继续答题的概率和由对方组接着答题的概率，再把第次由甲组答题的事件分拆成两个互斥事件的和，最后由概率加法公式列式求得；
(2)分析出甲在第次、第次、第次中只答题一次的事件，列式代数计算即得.
【详解】
(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，21*cnjy*com
所以所求概率
.
所以．
【点睛】
涉及较繁琐的概率求解问题，关键是把要求概率的事件分拆成一些相互独立事件的积和彼此互斥的和，再根据概率的乘法公式和概率的加法公式求解.
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