3.7探索与表达规律 解答题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 3.7探索与表达规律 解答题专题训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 335.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-10 23:44:37 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》解答题专题训练（附答案）
1．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）填写下列表格：
图序 ① ② ③ ④ …
黑色三角形个数 1 3 6 …
（2）若第 个图案中黑色三角形的个数有91个，求n的值．
2．观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）
（2）求出10+11+…+80的值．
3．如图，是一组完全相同的黑白小球组成的图形：
观察上面各图及对应的关系式，根据发现的规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，并证明其正确性）．
4．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 a b
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（用含n的代数式来表示）
（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．
5．将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第n层有 个白色棋子，图中从第一层到第n层一共有 个白色棋子；
（2）利用发现的规律计算：1921+1923+1925+…+2021的和．
6．如图1，给定一个正方形，要通过裁剪将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次裁剪分割成4个互不重叠的正方形，得到图2，称之为1个基本操作；第2次裁剪分割成7个互不重叠的正方形，得到图3，称之为2个基本操作…以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中裁剪．
（1）5个基本操作后，共裁剪成 个正方形；100个基本操作后，共裁剪成 个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
7．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
8．按如下规律摆放五角星：
（1）填写表格：
图案序号 1 2 3 4 … n
五角星个数 4 7 …
（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为 ；
（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？
（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数．
9．按如下规律摆放三角形：
（1）图④中分别有 个三角形？
（2）按上述规律排列下去，第n个图形中有 个三角形？
（3）按上述规律排列下去，第2021个图形中有 个三角形？
10．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形的总点数记为S．
（Ⅰ）当n＝4时，S的值为 ；当n＝6时，S的值为 ；
（Ⅱ）每条“边”有n个点时的总点数S是 （用含n的式子表示）；
（Ⅲ）当n＝2021时，总点数S是多少？
11．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（2）一天中午餐厅要接待73位顾客且要“同桌”就餐，但餐厅只有18张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？
12．找规律：观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律．
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①1＝12；
②1+3＝22；
③1+3+5＝32；
④ ；
⑤ ；
（2）通过猜想，写出第n个星阵图相对应的等式．
13．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．
（1）图2中共有 个三角形，图3中共有 个三角形；
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形（图1是第一个图形）中共有多少个三角形（用含n的代数式表示）？是否存在2019个三角形？若存在，求出n的值，若不存在，说明理由．
14．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推…
（1）根据图形填写下表；
① ② ③
面积
（2）阴影部分的面积是多少？
（3）猜想：①＝ ；
②当n＝10时，请用两种方法计算：的值（结果用分数表示）．
15．如图所示的是用棋子摆成的“T”字形图案．
（1）填写表：
图案序号 ① ② ③ ④ … ⑩
每个图案中棋子的个数 5 8 …
（2）第n个“T”字形图案中棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示）
（3）第20个“T”字形图案共有棋子多少个？
（4）计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数为 ．
16．观察下列各等式，并回答问题：
，，，，…．
（1）填空：＝ ；＝ （n为整数）；
（2）计算：；
（3）计算：．
17．观察下面的等式：
第1个等式：＝×（1﹣）；
第2个等式：＝×（﹣）；
第3个等式：＝×（﹣）；
第4个等式：＝×（﹣）；
…
解答下面的问题：
（1）+++…+＝ ；
（2）若n为正整数，请你猜想＝ ，并证明你猜想的结论．
18．观察与计算：
152＝225＝1×2×100+25；
252＝625＝2×3×100+25；
352＝1225＝3×4×100+25；
…
猜想与计算：
852＝ ，1052＝ ；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ；
说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性．
（提示：可以用10a+5表示末位数字是5的数）
19．你会求（a﹣1）（a2021+a2020+a2019+…+a2+a+1）的值吗？
这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1．
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝ ．
利用上面的结论求：
（2）求22020+22019+22018+…+22+2+1的值．
（3）求52020+52019+52018+…+52+4的值．
20．阅读下列材料：小亮为了计算1+2+22+…+22017+22018+22019的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018+22019①；
则2S＝2+22+23+…+22018+22019+22020②；
②﹣①得2S﹣S＝（2+22+23+…+22018+22019+22020）﹣（1+2+22+…+22017+22018+22019）；
∴S＝2+22+23+…+22018+22019+22020﹣1﹣2﹣22﹣…﹣22017﹣22018﹣22019；
∴S＝22020﹣1；
∴1+2+22+…+22017+22018+22019＝22020﹣1．
请仿照小亮的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29+210＝ ；
（2）1+3+32+…+399＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的值（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
参考答案
1．解：（1）由图形的变化规律知，④中黑三角的个数为1+2+3+4＝10，
中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n＝n（n+1），
故答案为：10，n（n+1）；
（2）由（1）的规律知，n（n+1）＝91，
∵n＞0，
∴n＝13．
2．解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+80＝＝3240，
1+2+3+4+...+9＝＝45，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
3．解：（1）写出第6个等式：62＝7×5+1；
故答案为：62＝7×5+1；
（2）猜想的第n个等式：n2＝（n+1）（n﹣1）+1，
证明：左边＝n2，右边＝n2﹣1+1＝n2，
∴左＝右，
∴原题得证．
故答案为：n2＝（n+1）（n﹣1）+1．
4．解：（1）按图示规律填空：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 17 21
故答案为：17，21；
（2）由（1）可得出规律：4n+1，
即照这样的规律摆下去，搭第n个图形需要4n+1根火柴棒；
故答案为：4n+1；
（3）当n＝2021时，4×2021+1＝8085，
所以第2021个图形需要的火柴棒8085根．
5．解：（1）根据题意得，
第一层有2×1﹣1＝1个白色棋子，
第二层有2×2﹣1＝3个白色棋子，
第三层有2×3﹣1＝5个白色棋子，
第四层有2×4﹣1＝7个白色棋子，
…，
∴第n层由2n﹣1（个）白色棋子；
从第一层到第二层共有1+3＝4＝22个白色棋子；
从第一层到第三层共有1+3+5＝9＝32个白色棋子；
从第一层到第四层共有1+3+5+7＝16＝42个白色棋子；
∴图中从第一层到第n层一共有 1+3+5+7+ +（2n﹣1）＝n2（个）白色棋子；
故答案为：（2n﹣1）；n2．
（2）1921+1923+1925+…+2021
＝（1+3+5+7+ +2021）﹣（1+3+5+7+ +1919）
＝10112﹣9602
＝100521．
6．解：（1）尝试：3×1+1＝4，
3×2+1＝7；
3×3+1＝10；
3×4+1＝13；
3×5+1＝16；
3×100+1＝301；
故答案为：16，301；
（2）发现：通过尝试可知：第n个操作后，分割成的正方形个数为：3n+1；
设每个操作后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m＝3n+1．
若m＝2021，则2021＝3n+1．解得n＝，这个数不是整数，故不能．
7．解：（1）第5个等式：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
故答案为：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
（2）第n个等式为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2；
证明：已知：1+2+3+…+n＝，
∴2+3+…+n＝﹣1．
∵2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2
＝2[﹣1]+n+1
＝n2+n﹣2+n+1
＝n2+2n﹣1
＝n2+2n+1﹣1﹣1
＝（n+1）2﹣2．
故答案为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2．
8．解：（1）观察图形规律：
第一个图形有4个五角星，
第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星，
第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星，
第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+3＝13个五角星，
…………
以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n﹣1）＝（3n+1）个五角星，
故答案为：10，13，3n+1；
（2）将n＝20代入3n+1中，得3×20+1＝61（个），
故答案为：61；
（3）假设存在第n个图案，恰好含有2021个五角星．
依题意可得3n+1＝2021，
解得n＝673……1，
∵n为正整数才符合题意，
∴不存在恰好含有2021个五角星的图案．
（4）前20个五角星图案中，五角星的总个数为：
4+7+10+13+……+58+61
＝（4+61）+（7+58）+……+（31+34）
＝65+65+……+65
＝65×10
＝650（个），
∴前20个五角星图案中，五角星的总个数为650个．
9．解：（1）n＝1时，有5个，即3×1+2（个）；
n＝2时，有8个，即3×2+2（个）；
n＝3时，有11个，即3×3+2（个）；
n＝4时，有3×4+2＝14（个）；
故答案为：14．
（2）由题意知，第n个图形中有三角形（3n+2）个，
故答案为：3n+2；
（3）当n＝2021时，3×2021+2＝6065，
故答案为：6065．
10．解：（Ⅰ）观察图形的变化可知：
当n＝2时，S的值为3＝3×1；
当n＝3时，S的值为6＝3×2；
当n＝4时，S的值为9＝3×3；
当n＝5时，S的值为12＝3×4；
当n＝6时，S的值为15＝3×5；
故答案为：9；15；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
每条“边”有n个点时的总点数S是3（n﹣1）；
故答案为：3（n﹣1）；
（Ⅲ）当n＝2021时，总点数S＝3（2021﹣1）＝6060．
11．解：（1）设第一种摆放方式n张桌子能坐an人，第二种摆放方式n张桌子能坐bn人．
∵a1＝6＝4×1+2，a2＝10＝4×2+2，a3＝14＝4×3+2，…，
∴an＝4n+2；
同理，可得出：bn＝2n+4．
∴第一种摆放方式能坐（4n+2）人，第二种摆放方式能坐（2n+4）人．
（2）当n＝18时，an＝4n+2＝74，bn＝2n+4＝40．
∵74＞73，40＜73，
∴应该选择第一种摆放方式来摆放餐桌．
12．（1）由题意得：第④个等式为：1+3+5+7＝42，
第⑤个等式为：1+3+5+7+9＝52，
故答案为：1+3+5+7＝42；1+3+5+7+9＝52；
（2）∵①1＝12；
②1+3＝22；
③1+3+5＝32；
④1+3+5+7＝42；
⑤1+3+5+7+9＝52；
..．
∴第n个星阵图对应的等式为：1+3+5+ +（2n﹣1）＝n2．
13．解：（1）由图可知，图2、图3中三角形的个数分别为5个，9个；
故答案为：5，9；
（2）由（1）可知：图1中三角形的个数为1个，
图2中三角形的个数为5个，
图3中三角形的个数为9个，
由于每次三角形递增4个，所以第n个图形中有1+4（n﹣1）＝（4n﹣3）个三角形，
4n﹣3＝2019，
解得：n＝，
∵n的值不是整数，
∴不存在2019个三角形．
14．解：（1）观察图形可知：部分①的面积为：，
部分②的面积为＝，
部分③的面积为＝，
故答案为：，，；
（2）阴影部分的面积是＝；
（3）①由（1）知：＝1﹣，
故答案为：1﹣；
②当n＝10时，
方法一：由①知：的值为：1﹣；
方法二：原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．
15．解：（1）首先观察图形，得到前面三个图形的具体个数，不难发现：在5的基础上依次多3枚．
即第n个图案需要5+3（n﹣1）＝3n+2．
那么当n＝3时，则有11枚；当n＝4时，则有14枚；当n＝10时，则有32枚；
填表如下：
图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩
每个图案中棋子个数 5 8 11 14 … 32
故答案为：11，14，32．
（2）因为第①个图案有5枚棋子，
第②个图案有（5+3×1）枚棋子，
第③个图案有（5+3×2）枚棋子，
依此规律可得第n个图案需5+3×（n﹣1）＝5+3n﹣3＝（3n+2）枚棋子．
故答案为：（3n+2）；
（3）第20个“T”字形图案共有棋子3×20+2＝62（个）．
即第20个图案需62个棋子；
（4）前20个“T”字形图案中棋子的总个数为：
5+8+11+14+17+…+53+56+59+62
＝（5+62）+（8+59）+（11+56）+…+（32+35）
＝67×10
＝670（个）．
故答案是：670．
16．解：（1）；；
故答案为：﹣，﹣；
（2）；
（3）．
17．解：（1）原式＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝；
故答案为：；
（2）根据题意可知：＝×（﹣）．
故答案为：×（﹣）．
18．解：852＝8×9×100+25＝7225；
1052＝10×11×100+25＝11025；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
故答案为：7225，11025，去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
说理：设末位数字的是5的数为10a+5，则
（10a+5）2＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25．
故以上计算正确．
19．解：（1）∵（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1．
∴（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
故答案为：a2021﹣1．
（2）∵（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
当a＝2时，22020+22019+22018+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22020+22019+22018+…+22+2+1）
＝22021﹣1．
（3）∵（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
当a＝5时，（5﹣1）×（52020+52019+52018+…+52+5+1）＝52021﹣1，
∴52020+52019+52018+…+52+5+1＝（52021﹣1），
∴52020+52019+52018+…+52+4
＝52020+52019+52018+…+52+5+1﹣2
＝（52021﹣1）﹣2
＝．
20．解：（1）设S＝1+2+22+……+210①，
则2S＝2+22+……+211②，
②﹣①得，2S﹣S＝S＝211﹣1，
即S＝211﹣1．
故答案为：211﹣1．
（2）设S＝3+32+……+399，①
则3S＝32+33+……+3100，②
②﹣①得，3S﹣S＝2S＝3100﹣3，
∴S＝．
故答案为：．
（3）当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，
令S＝1+a+a2+……+an，①
则aS＝a+a2+……+an+1，②
②﹣①得，aS﹣S＝（a﹣1）S＝an+1﹣1，
∴S＝．（a≠1）
综上所述：
当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，原式＝1+a+a2+……+an＝
1．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形…按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）填写下列表格：
图序 ① ② ③ ④ …
黑色三角形个数 1 3 6 …
（2）若第 个图案中黑色三角形的个数有91个，求n的值．
2．观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）
（2）求出10+11+…+80的值．
3．如图，是一组完全相同的黑白小球组成的图形：
观察上面各图及对应的关系式，根据发现的规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示，并证明其正确性）．
4．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 a b
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（用含n的代数式来表示）
（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．
5．将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第n层有 个白色棋子，图中从第一层到第n层一共有 个白色棋子；
（2）利用发现的规律计算：1921+1923+1925+…+2021的和．
6．如图1，给定一个正方形，要通过裁剪将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次裁剪分割成4个互不重叠的正方形，得到图2，称之为1个基本操作；第2次裁剪分割成7个互不重叠的正方形，得到图3，称之为2个基本操作…以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中裁剪．
（1）5个基本操作后，共裁剪成 个正方形；100个基本操作后，共裁剪成 个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．
7．观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+…+n＝）．
8．按如下规律摆放五角星：
（1）填写表格：
图案序号 1 2 3 4 … n
五角星个数 4 7 …
（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为 ；
（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？
（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数．
9．按如下规律摆放三角形：
（1）图④中分别有 个三角形？
（2）按上述规律排列下去，第n个图形中有 个三角形？
（3）按上述规律排列下去，第2021个图形中有 个三角形？
10．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形的总点数记为S．
（Ⅰ）当n＝4时，S的值为 ；当n＝6时，S的值为 ；
（Ⅱ）每条“边”有n个点时的总点数S是 （用含n的式子表示）；
（Ⅲ）当n＝2021时，总点数S是多少？
11．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（2）一天中午餐厅要接待73位顾客且要“同桌”就餐，但餐厅只有18张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？
12．找规律：观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律．
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①1＝12；
②1+3＝22；
③1+3+5＝32；
④ ；
⑤ ；
（2）通过猜想，写出第n个星阵图相对应的等式．
13．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．
（1）图2中共有 个三角形，图3中共有 个三角形；
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形（图1是第一个图形）中共有多少个三角形（用含n的代数式表示）？是否存在2019个三角形？若存在，求出n的值，若不存在，说明理由．
14．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分⑧是部分②面积的一半，依此类推…
（1）根据图形填写下表；
① ② ③
面积
（2）阴影部分的面积是多少？
（3）猜想：①＝ ；
②当n＝10时，请用两种方法计算：的值（结果用分数表示）．
15．如图所示的是用棋子摆成的“T”字形图案．
（1）填写表：
图案序号 ① ② ③ ④ … ⑩
每个图案中棋子的个数 5 8 …
（2）第n个“T”字形图案中棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示）
（3）第20个“T”字形图案共有棋子多少个？
（4）计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数为 ．
16．观察下列各等式，并回答问题：
，，，，…．
（1）填空：＝ ；＝ （n为整数）；
（2）计算：；
（3）计算：．
17．观察下面的等式：
第1个等式：＝×（1﹣）；
第2个等式：＝×（﹣）；
第3个等式：＝×（﹣）；
第4个等式：＝×（﹣）；
…
解答下面的问题：
（1）+++…+＝ ；
（2）若n为正整数，请你猜想＝ ，并证明你猜想的结论．
18．观察与计算：
152＝225＝1×2×100+25；
252＝625＝2×3×100+25；
352＝1225＝3×4×100+25；
…
猜想与计算：
852＝ ，1052＝ ；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于 ；
说理：请你用整式的乘法的有关知识说明你发现的结论的正确性．
（提示：可以用10a+5表示末位数字是5的数）
19．你会求（a﹣1）（a2021+a2020+a2019+…+a2+a+1）的值吗？
这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1．
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝ ．
利用上面的结论求：
（2）求22020+22019+22018+…+22+2+1的值．
（3）求52020+52019+52018+…+52+4的值．
20．阅读下列材料：小亮为了计算1+2+22+…+22017+22018+22019的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018+22019①；
则2S＝2+22+23+…+22018+22019+22020②；
②﹣①得2S﹣S＝（2+22+23+…+22018+22019+22020）﹣（1+2+22+…+22017+22018+22019）；
∴S＝2+22+23+…+22018+22019+22020﹣1﹣2﹣22﹣…﹣22017﹣22018﹣22019；
∴S＝22020﹣1；
∴1+2+22+…+22017+22018+22019＝22020﹣1．
请仿照小亮的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29+210＝ ；
（2）1+3+32+…+399＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的值（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
参考答案
1．解：（1）由图形的变化规律知，④中黑三角的个数为1+2+3+4＝10，
中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n＝n（n+1），
故答案为：10，n（n+1）；
（2）由（1）的规律知，n（n+1）＝91，
∵n＞0，
∴n＝13．
2．解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+80＝＝3240，
1+2+3+4+...+9＝＝45，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
3．解：（1）写出第6个等式：62＝7×5+1；
故答案为：62＝7×5+1；
（2）猜想的第n个等式：n2＝（n+1）（n﹣1）+1，
证明：左边＝n2，右边＝n2﹣1+1＝n2，
∴左＝右，
∴原题得证．
故答案为：n2＝（n+1）（n﹣1）+1．
4．解：（1）按图示规律填空：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 5 9 13 17 21
故答案为：17，21；
（2）由（1）可得出规律：4n+1，
即照这样的规律摆下去，搭第n个图形需要4n+1根火柴棒；
故答案为：4n+1；
（3）当n＝2021时，4×2021+1＝8085，
所以第2021个图形需要的火柴棒8085根．
5．解：（1）根据题意得，
第一层有2×1﹣1＝1个白色棋子，
第二层有2×2﹣1＝3个白色棋子，
第三层有2×3﹣1＝5个白色棋子，
第四层有2×4﹣1＝7个白色棋子，
…，
∴第n层由2n﹣1（个）白色棋子；
从第一层到第二层共有1+3＝4＝22个白色棋子；
从第一层到第三层共有1+3+5＝9＝32个白色棋子；
从第一层到第四层共有1+3+5+7＝16＝42个白色棋子；
∴图中从第一层到第n层一共有 1+3+5+7+ +（2n﹣1）＝n2（个）白色棋子；
故答案为：（2n﹣1）；n2．
（2）1921+1923+1925+…+2021
＝（1+3+5+7+ +2021）﹣（1+3+5+7+ +1919）
＝10112﹣9602
＝100521．
6．解：（1）尝试：3×1+1＝4，
3×2+1＝7；
3×3+1＝10；
3×4+1＝13；
3×5+1＝16；
3×100+1＝301；
故答案为：16，301；
（2）发现：通过尝试可知：第n个操作后，分割成的正方形个数为：3n+1；
设每个操作后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m＝3n+1．
若m＝2021，则2021＝3n+1．解得n＝，这个数不是整数，故不能．
7．解：（1）第5个等式：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
故答案为：2+3+4+5+6+5+4+3+2＝62﹣2；
（2）第n个等式为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2；
证明：已知：1+2+3+…+n＝，
∴2+3+…+n＝﹣1．
∵2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2
＝2[﹣1]+n+1
＝n2+n﹣2+n+1
＝n2+2n﹣1
＝n2+2n+1﹣1﹣1
＝（n+1）2﹣2．
故答案为：2+3+4+5+6+…+n+（n+1）+n+…+5+4+3+2＝（n+1）2﹣2．
8．解：（1）观察图形规律：
第一个图形有4个五角星，
第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星，
第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星，
第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+3＝13个五角星，
…………
以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n﹣1）＝（3n+1）个五角星，
故答案为：10，13，3n+1；
（2）将n＝20代入3n+1中，得3×20+1＝61（个），
故答案为：61；
（3）假设存在第n个图案，恰好含有2021个五角星．
依题意可得3n+1＝2021，
解得n＝673……1，
∵n为正整数才符合题意，
∴不存在恰好含有2021个五角星的图案．
（4）前20个五角星图案中，五角星的总个数为：
4+7+10+13+……+58+61
＝（4+61）+（7+58）+……+（31+34）
＝65+65+……+65
＝65×10
＝650（个），
∴前20个五角星图案中，五角星的总个数为650个．
9．解：（1）n＝1时，有5个，即3×1+2（个）；
n＝2时，有8个，即3×2+2（个）；
n＝3时，有11个，即3×3+2（个）；
n＝4时，有3×4+2＝14（个）；
故答案为：14．
（2）由题意知，第n个图形中有三角形（3n+2）个，
故答案为：3n+2；
（3）当n＝2021时，3×2021+2＝6065，
故答案为：6065．
10．解：（Ⅰ）观察图形的变化可知：
当n＝2时，S的值为3＝3×1；
当n＝3时，S的值为6＝3×2；
当n＝4时，S的值为9＝3×3；
当n＝5时，S的值为12＝3×4；
当n＝6时，S的值为15＝3×5；
故答案为：9；15；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
每条“边”有n个点时的总点数S是3（n﹣1）；
故答案为：3（n﹣1）；
（Ⅲ）当n＝2021时，总点数S＝3（2021﹣1）＝6060．
11．解：（1）设第一种摆放方式n张桌子能坐an人，第二种摆放方式n张桌子能坐bn人．
∵a1＝6＝4×1+2，a2＝10＝4×2+2，a3＝14＝4×3+2，…，
∴an＝4n+2；
同理，可得出：bn＝2n+4．
∴第一种摆放方式能坐（4n+2）人，第二种摆放方式能坐（2n+4）人．
（2）当n＝18时，an＝4n+2＝74，bn＝2n+4＝40．
∵74＞73，40＜73，
∴应该选择第一种摆放方式来摆放餐桌．
12．（1）由题意得：第④个等式为：1+3+5+7＝42，
第⑤个等式为：1+3+5+7+9＝52，
故答案为：1+3+5+7＝42；1+3+5+7+9＝52；
（2）∵①1＝12；
②1+3＝22；
③1+3+5＝32；
④1+3+5+7＝42；
⑤1+3+5+7+9＝52；
..．
∴第n个星阵图对应的等式为：1+3+5+ +（2n﹣1）＝n2．
13．解：（1）由图可知，图2、图3中三角形的个数分别为5个，9个；
故答案为：5，9；
（2）由（1）可知：图1中三角形的个数为1个，
图2中三角形的个数为5个，
图3中三角形的个数为9个，
由于每次三角形递增4个，所以第n个图形中有1+4（n﹣1）＝（4n﹣3）个三角形，
4n﹣3＝2019，
解得：n＝，
∵n的值不是整数，
∴不存在2019个三角形．
14．解：（1）观察图形可知：部分①的面积为：，
部分②的面积为＝，
部分③的面积为＝，
故答案为：，，；
（2）阴影部分的面积是＝；
（3）①由（1）知：＝1﹣，
故答案为：1﹣；
②当n＝10时，
方法一：由①知：的值为：1﹣；
方法二：原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．
15．解：（1）首先观察图形，得到前面三个图形的具体个数，不难发现：在5的基础上依次多3枚．
即第n个图案需要5+3（n﹣1）＝3n+2．
那么当n＝3时，则有11枚；当n＝4时，则有14枚；当n＝10时，则有32枚；
填表如下：
图形序号 ① ② ③ ④ … ⑩
每个图案中棋子个数 5 8 11 14 … 32
故答案为：11，14，32．
（2）因为第①个图案有5枚棋子，
第②个图案有（5+3×1）枚棋子，
第③个图案有（5+3×2）枚棋子，
依此规律可得第n个图案需5+3×（n﹣1）＝5+3n﹣3＝（3n+2）枚棋子．
故答案为：（3n+2）；
（3）第20个“T”字形图案共有棋子3×20+2＝62（个）．
即第20个图案需62个棋子；
（4）前20个“T”字形图案中棋子的总个数为：
5+8+11+14+17+…+53+56+59+62
＝（5+62）+（8+59）+（11+56）+…+（32+35）
＝67×10
＝670（个）．
故答案是：670．
16．解：（1）；；
故答案为：﹣，﹣；
（2）；
（3）．
17．解：（1）原式＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝；
故答案为：；
（2）根据题意可知：＝×（﹣）．
故答案为：×（﹣）．
18．解：852＝8×9×100+25＝7225；
1052＝10×11×100+25＝11025；
发现：末位数字是5的数的平方的结果总是等于去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
故答案为：7225，11025，去掉5得到的数与比这个数大1的数的积的100倍加上25；
说理：设末位数字的是5的数为10a+5，则
（10a+5）2＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25．
故以上计算正确．
19．解：（1）∵（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1．
∴（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
故答案为：a2021﹣1．
（2）∵（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
当a＝2时，22020+22019+22018+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22020+22019+22018+…+22+2+1）
＝22021﹣1．
（3）∵（a﹣1）（a2020+a2019+a2018+…+a2+a+1）＝a2021﹣1．
当a＝5时，（5﹣1）×（52020+52019+52018+…+52+5+1）＝52021﹣1，
∴52020+52019+52018+…+52+5+1＝（52021﹣1），
∴52020+52019+52018+…+52+4
＝52020+52019+52018+…+52+5+1﹣2
＝（52021﹣1）﹣2
＝．
20．解：（1）设S＝1+2+22+……+210①，
则2S＝2+22+……+211②，
②﹣①得，2S﹣S＝S＝211﹣1，
即S＝211﹣1．
故答案为：211﹣1．
（2）设S＝3+32+……+399，①
则3S＝32+33+……+3100，②
②﹣①得，3S﹣S＝2S＝3100﹣3，
∴S＝．
故答案为：．
（3）当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，
令S＝1+a+a2+……+an，①
则aS＝a+a2+……+an+1，②
②﹣①得，aS﹣S＝（a﹣1）S＝an+1﹣1，
∴S＝．（a≠1）
综上所述：
当a＝1时，原式＝n+1；
当a≠1时，原式＝1+a+a2+……+an＝