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专题20用样本估计总体综合问题难点专练（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．21教育网
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
3．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（ ）21cnjy.com
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
4．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）
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A．因为，，应选择A酒店 B．因为，，应选择A酒店
C．因为，，应选择B酒店 D．因为，，应选择B酒店
5．为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：21·cn·jy·com
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①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①④
C．①③ D．②④
6．袁隆平院士是中国杂交水 ( http: / / www.21cnjy.com )稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘 不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a=0.01
B．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280，300）中
C．这100株水稻的稻穗数的众数是250
D．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240，260）中
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．有甲 乙 丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据，，，，，的平均数 众数 中位数相同
D．某单位 三个部门平均年龄为岁 岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁， 两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁www.21-cn-jy.com
8．若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
9．某大学为了解该校学生的体重情况，从中抽取了若干个样本进行研究，将数据整理后得到如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右前四组的频率之比为，其中第二组的频数为60，则下列说法错误的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．抽取的样本量为400
B．样本中体重在的频率为0.25
C．若该大学共有学生36000人，则体重超过的估计有600人
D．估计抽取的学生体重的中位数约为66
10．下表记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）21*cnjy*com
甲组 56 65 65 74 x
乙组 59 61 67 y 78
A．70，65 B．75，65 C．73，67 D．75，67
二、填空题
11．已知样本数据，，，的平均数与方差分别是和，若，2，，，且样本数据的，，，平均数与方差分别是和，则__．【来源：21cnj*y.co*m】
12．在对某中学高一年级学生 ( http: / / www.21cnjy.com )身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.【出处：21教育名师】
13．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师人数为_______.【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．某校高二（4）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班25人的成绩记为由右边的程序运行后，输出.据此解答如下问题：注：图中表示“是”， 表示“否”利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的中位数是______________分.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．某种细胞的存活率（%）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度/℃ 20 15 10 5 0
存活率/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为______.21世纪教育网版权所有
16．某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知在样本数据中，有60名女生的 ( http: / / www.21cnjy.com )每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有______的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
17．为了解某次测验成绩，在全 ( http: / / www.21cnjy.com )年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b，则b的值为__．21*cnjy*com
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18．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建 ( http: / / www.21cnjy.com )立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________．
①平均数； ②标准差； ③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
19．气象意义上从春季进入夏季 ( http: / / www.21cnjy.com )的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
20．已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．
三、解答题
21．近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了5个苹果，求这5个苹果中重量至少有一个在一个在内的概率．2·1·c·n·j·y
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k格到第格，），行进至第31格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，．
（i）求、．
（ii）说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．
22．太阳能热水器因节能环保而深受广大消 ( http: / / www.21cnjy.com )费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况 日均气温不低于15℃ 日均气温低于15℃
日照充足 耗电0千瓦时 耗电5千瓦时
日照不足 耗电5千瓦时 耗电10千瓦时
日照严重不足 耗电15千瓦时 耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来 ( http: / / www.21cnjy.com )的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）
23．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.www-2-1-cnjy-com
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级拔高上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
24．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.
分组
频数 6 9 20 10 5
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（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；
（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．
25．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.2-1-c-n-j-y
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
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专题20用样本估计总体综合问题难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
不妨设，平均数为，方差为，根据条件可得，，，然后分、、三种情况讨论求解即可.
【详解】
不妨设，平均数为，方差为，
则，解得，即，
所以，则.
当时，数据依次为5，6，7，8，9，则样本的方差为
，不满足题意；
当时，数据依次为4，6，7，8，10，则样本的方差为
，满足题意；
当时，，，，此时，方差大于4，不合题意.
故样本中最大的数为10，最小的数为4，极差为6.
故选：B
2．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．www.21-cn-jy.com
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【分析】
根据题意举出反例，即可得出正确选项．
【详解】
解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；【版权所有：21教育】
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；21教育名师原创作品
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3
方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
3．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
【答案】C
【分析】
通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.
【详解】
①错，举反倒：0，0，0, 0，2， 6，6；其平均数，不符合题意;
②错，举反倒：；其平均数且,不符合题意;
③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,
则极差大于故假设不成立，故一定符合上述指标；
④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6, 则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.
故选：C
4．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．因为，，应选择A酒店 B．因为，，应选择A酒店
C．因为，，应选择B酒店 D．因为，，应选择B酒店
【答案】B
【分析】
先根据茎叶图得到A，B酒店的评分数值，再根据平均数和方差公式求解．
【详解】
由茎叶图可知A酒店的评分分别为：72，86，87，89，92，94，
B酒店的评分分别为：73，74，86，88，94，95，
所以，
即，
故选：B．
5．为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：【来源：21cnj*y.co*m】
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①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①④
C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；
【详解】
甲的得分为25,28,29,31,32；
乙的得分为28,29,30,31,32；
因为，
故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；
故正确的有②③；
故选：A
6．袁隆平院士是中国杂交水稻事业的 ( http: / / www.21cnjy.com )开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘 不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
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A．a=0.01
B．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280，300）中
C．这100株水稻的稻穗数的众数是250
D．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240，260）中
【答案】B
【分析】
由频率和为1可计算出，利用各区间中点值估计出均值，众数在频率最大的区间中，由频率对应的数值为中位数，这样可判断各选项得结论.
【详解】
根据频率分布直方图知：组距为20，所以，故A选项正确；
这100株水稻的稻穗数平均值，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间中，故B选项错误；
由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确；
前两个矩形的面积是，前三个矩形的面积是，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中，故选项D正确，
故选：B.
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．有甲 乙 丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为，则样本容量为
B．若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
C．数据，，，，，的平均数 众数 中位数相同
D．某单位 三个部门平均年龄为岁 岁和岁，又，两部门人员平均年龄为岁， 两部门人员平均年龄为岁，则该单位全体人员的平均年龄为岁21世纪教育网版权所有
【答案】D
【分析】
对于选项根据分层抽样的定义可判断正误，对于选项求出乙组数据的方程，与甲组数据的方差比较，可判断正误，对于选项求出数据的平均数、众数、中位数即可判断正误，对于选项设，，三个部门的人数为，，，根据题意可得，，从而求出该单位全体人员的平均年龄．
【详解】
解：对于选项：如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故选项是假命题，
对于选项：乙组数据的平均数为，方差为，
因为乙组数据的方程比甲组数据的方差小，所以这两组数据中较稳定的是乙，
故选项是假命题，
对于选项：数据1，2，3，4，4，5的平均数为、众数为4、中位数为，故选项是假命题，
对于选项：设，，三个部门的人数为，，，则有：
，化简得，
，化简得，
所以该单位全体人员的平均年龄为岁，
故选项是真命题，
故选：．
8．若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】
设、、、、的平均数为，方差为，求出、的值，利用平均数和方差公式可求得样本、、、、的平均数与方差.
【详解】
设、、、、的平均数为，方差为，
则，，
由题意可得
，则，
，
所以， 样本、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：D.
9．某大学为了解该校学生的体重情况，从中抽取了若干个样本进行研究，将数据整理后得到如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右前四组的频率之比为，其中第二组的频数为60，则下列说法错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．抽取的样本量为400
B．样本中体重在的频率为0.25
C．若该大学共有学生36000人，则体重超过的估计有600人
D．估计抽取的学生体重的中位数约为66
【答案】C
【分析】
根据后四组的频率值可得前四组的频率之和，从而可求出第二组的频率，从而可求出抽取的样本量，故可判断选项A；21教育网
根据前四组的频率之和及前四组的频率之比为，可计算出体重在的频率，故可判断选项B；
通过样本中体重超过的频率可估计大学共有学生36000人时，体重超过的人数，从而可判断选项C；
利用频率分布直方图估计中位数的方法可计算出中位数，故可判断选项D.
【详解】
由后四组的频率值可得前四组的频率之和为，
所以第二组的频率为，所以抽取的样本量为，故A正确；
体重在的频率为，B正确；
若该大学共有学生36000人，则体重超过的估计有人，C错误；
设抽取学生体重的中位数为，则，解得，D正确.
故选：C.
10．下表记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）2-1-c-n-j-y
甲组 56 65 65 74 x
乙组 59 61 67 y 78
A．70，65 B．75，65 C．73，67 D．75，67
【答案】A
【分析】
对甲、乙两组数进行从小到大排列，同时注意甲组数据中位数的特点，再逐步求出x，y的值.
【详解】
甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得
又甲、乙两组数据的平均值相等，
所以，
解得.
故选：A
二、填空题
11．已知样本数据，，，的平均数与方差分别是和，若，2，，，且样本数据的，，，平均数与方差分别是和，则__．
【答案】4040
【分析】
由样本数据的平均数、方差的性质列方程组求出，，从而，由此能求出的值．
【详解】
由题意得：，
解得，，
，
，
．
故答案为：4040．
12．在对某中学高一年级学生身高的调 ( http: / / www.21cnjy.com )查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.21·cn·jy·com
【答案】50.4
【分析】
分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，结合方差公式即可求解.
【详解】
设24名男生的身高分别为，平均数为，
26名女生的身高分别为，平均数为，
样本中人的身高平均为，
，可得
，可得
，可得：
，可得
故答案为：50.4.
13．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师人数为_______.
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【答案】
【分析】
根据图中的数据，分别求得本科学历和研究生学历的教师人数，再根据35岁以下的本科人数所占比例求解即可得答案.
【详解】
解：由图可知本科学历的教师共有人，故研究生学历的有人.
35岁以下的本科人数有人，35岁以下教师的比例为，
所以35岁以下的本科和研究生学历人数和为人，
所以35岁以下的研究生学历人数有人.
故答案为：
14．某校高二（4）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班25人的成绩记为由右边的程序运行后，输出.据此解答如下问题：注：图中表示“是”， 表示“否”利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的中位数是______________分.
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【答案】73.5.
【分析】
由茎叶图及频率分布直方图可得分数在之间，之间，之间的频数，再根据程序框图可得分数在之间的频数，从而可得分数在之间的频数，从而可得分数在各个区间的频率，再根据中位数的定义即可求得中位数.
【详解】
解：由频率分布直方图知，分数在之间的频率为，
故分数在之间的频数为，
由茎叶图可知，分数在之间的频数为2，分数之间的频数为7，
由程序框图及输出可知，分数在之间的频数为10，
所以分数在之间的频数为，
所以分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
因为，，
所以中位数在之间，设中位数为x，
则，解得，
所以中位数为73.5分.
故答案为：73.5.
15．某种细胞的存活率（%）与存放温度（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度/℃ 20 15 10 5 0
存活率/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为______.
【答案】
【分析】
根据更正前的数据计算更正后的，，，，从而求更正后的回归方程.
【详解】
由题意知，更正后，，
，，
∴，，
∴更正后的回归方程为.
故答案为：.
16．某中学共有学生5000名，其中男生3500名，女生1500名，为了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现用分层随机抽样的方法从中收集300名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：），其频率分布直方图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
已知在样本数据中，有60名女生 ( http: / / www.21cnjy.com )的每周平均体育锻炼时间不少于4h，根据独立性检验原理，我们有______的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【答案】95%
【分析】
根据频率分布直方图可得男女同学每周锻炼时间少于4小时和不少于4小时的列联表，计算，根据临界值作出结论即可.
【详解】
由题意，得从5000名学生中抽取一个容量为300的样本，其中男生、女生各抽取的人数为，，由频率分布直方图，可知每周平均体育锻炼时间不少于4h的人数的频率为0.75，所以在300名学生中每周平均体育锻炼时间不少于的人数为，又在每周平均体育锻炼时间不少于的学生中，女生有60名，所以男生有（名），可得如下列联表：
性别体育锻炼情况 男 女 总计
每周平均体育锻炼时间少于 45 30 75
每周平均体育锻炼时间不少于 165 60 225
总计 210 90 300
由列联表可得，因为，
所以有95%的把握认为该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关.
故答案为：95%
17．为了解某次测验成绩，在全年级随机地 ( http: / / www.21cnjy.com )抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b，则b的值为__．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】0.32
【分析】
由题可知后五组的人数为62人，利用等比数列求和公式可求第四组的频数，即解.
【详解】
由抽查了100名学生的成绩，90分以下人数为38，
则90分以上人数为100－38＝62人，为后五组的累积频数，
由于后5组的学生人数成等比数列，设第四组的频数为a，公比为q（0＜q＜1），则
S5＝
由各组人数均为整数，故，
故，，
则b＝＝0.32.
故答案为：0.32.
18．在某地区某高传染性 ( http: / / www.21cnjy.com )病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________．
①平均数； ②标准差； ③平均数且标准差；
④平均数且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
【答案】（4）（5）
【详解】
①错，举反例：；其平均数，但不符合上述指标；
②错，举反例：；其标准差，但不符合上述指标；
③错，举反例：；其平均数且标准差，但不符合上述指标；
④对，若极差小于，符合上述指标；
若极差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，
在平均数的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；
⑤对，在众数等于且极差小于或等于，则最大数不超过，符合指标，所以选⑷⑸.
19．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续 ( http: / / www.21cnjy.com )5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【分析】
根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【详解】
①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
20．已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．
【答案】-1
【分析】
设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.
【详解】
解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为，
可得：，，由新数据平均数比方差大4，
可得，可得，
可得：，
由，可得，
可得当时，可得的最大值为：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.
三、解答题
21．近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了5个苹果，求这5个苹果中重量至少有一个在一个在内的概率．
（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k格到第格，），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k格到第格，），行进至第31格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i格的概率为，．
（i）求、．
（ii）说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．
【答案】（1）；（2）（i），，（ii）小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家．
【分析】
（1）由频率分布直方图可知一个苹果重量在内的概率为0.28，由对立事件的概率及独立重复试验可求解；
（2）( i )由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得;分两种情况可求得：①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第格，掷一次骰子，结果为1.
（ii）根据（i）的递推关系可求得，由此可得 ,根据可求得，再比较大小可得答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知苹果重量在内的概率为0.28，
所以不在的概率为，购买5个所得重量相当于5次独立重复试验，
故这5个苹果中重量至少有一个在内的概率为
（2）（i）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为，则；
买家要行进至第2格的情况有以下两种：
①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为；
②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为；
所以．
（ii）买家要行进至第i格（）的情况有以下两种：
①当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i格，其概率为；
②当前格在第格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i格，其概率为；
所以．
，
即，
又，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列．所以，
所以
．
即．
所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为
；
又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为
，
由于，
所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推出的此款游戏活动是更有利于买家．
【点睛】
本题解决n次独立重复试验问题，根据题意，含有至少这样问题的概率，可利用对立事件求解，比较简洁，本题购买一个苹果落在要求范围内的概率为0.28,则不落在该范围的概率为0,72，利用对立事件转化为.
22．太阳能热水器因节能环保而深受广大消费 ( http: / / www.21cnjy.com )者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况 日均气温不低于15℃ 日均气温低于15℃
日照充足 耗电0千瓦时 耗电5千瓦时
日照不足 耗电5千瓦时 耗电10千瓦时
日照严重不足 耗电15千瓦时 耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.21·世纪*教育网
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（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的 ( http: / / www.21cnjy.com )电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）
【答案】（1），；（2）千瓦时.
【分析】
（1）根据频率分布直方图中频率和为1求出区间的频率，再除以组距求得的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于15℃的频率；
（2）由（1）知一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，低于15℃的概率的估计值为，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量，进而得到一年可以节省的电量.
【详解】
（1）依题意得.
一年中日均气温不低于15℃的频率为.
（2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为，
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为，的所有可能取值为0，5，10，15，20，，，，.
所以的分布列为
0 5 10 15 20
所以的数学期望
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时）
所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为（千瓦时）
【点睛】
方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列 ( http: / / www.21cnjy.com )和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
23．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.2·1·c·n·j·y
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级拔高上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.
【分析】
（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
.
所以的分布列为：
0 1 2
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查互斥事件与独立事件的概率公式，条件概率的计算，随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键难点有两个，一是用用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，这样所求概率事件可表示若干互斥事件的和，从而求得概率；二是认识到最终获得一等奖这个事件是在第一轮获奖的条件下才能发生，因此需要用条件概率来理解计算．
24．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.
分组
频数 6 9 20 10 5
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（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；
（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1），，，4人；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据题中条件和频率分布直方图的性质列出方程，从而解得结果；
（2）依题意可得抽取的6人中，两科均为“优”的同学为3人，写出的可能值，求出对应的概率，进而可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）由于，，．
解得，，，
数学成绩为“优”的人数：（人）
（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的同学为3人，
故的取值为0，1，2，3．
，
，．
则的分布列为
0 1 2 3
．
25．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.21*cnjy*com
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（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.21*cnjy*com
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.21cnjy.com
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：【出处：21教育名师】
单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
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