人教版2019选修三第六章 计数原理 单元测试

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人教版2019选修三第六章 计数原理 单元测试
一、单选题
1．（2021高二下·长春期中）四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？（　　）
A．6 B．12 C．24 D．30
2．（2021高二下·广州期中）若 ，则 （　　）．
A．0 B．35 C．70 D．-70
3．（2021·株洲模拟）2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲 乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（　　）
A．270种 B．240种 C．210种 D．180种
4．（2021·永州模拟）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（　　）
A．18 B．36 C．54 D．64
5．（2021·广东模拟）某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
6．（2021·河南模拟）在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（　　）
A．11位 B．12位 C．13位 D．14位
7．（2021·焦作模拟）已知 的展开式中有常数项，则 的值可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2019·浙江模拟）从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
二、多选题
9．（2021·石家庄模拟）关于 ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（　　）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
11．（2020高二下·滨州期末）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（　　）
A．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共 种
12．（2020高二下·海南期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（　　）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
三、填空题
13．（2021高二下·天津期中）5个不同的小球全部放入编号为2、3、4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有　 　种放法(用数字作答)
14．（2021·陕西模拟） 展开式中，含 项的系数为　 　．
15．（2021·温州模拟）有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有　 　种不同的停放方法．（用数字作答）
16．（2020高二下·南通期末）某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有　 　种.
四、解答题
17．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
18．（2020高二下·农安期末）7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙、丙3人相邻
（2）甲、乙、丙3人不相邻
19．（2020高三上·松原月考）盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
20．（2020高二下·淮安期末）某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作.
（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；
（2）求至少选1名医生的概率.
21．（2020高二下·三明期末）为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.
22．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意得，先排甲以外的三个同学，共有种排法，再利用插空法知甲有种排法，则共有=12种不同的排法.
故答案为：B
【分析】本题主要考查排列与组合问题，利用插空法直接求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得(x+1)7=[（x+2）-1]7，则其展开式的通项公式为，
令7-r=3，即r=4，得，则，
令7-r=4，即r=3，得，则，
则 0，
故答案为：A

【分析】本题主要考查二项式定理，由通项公式，并赋值直接求解即可.
3．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有
故答案为：C
【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先看乙，在中间有一个名次中的一个，有 种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有 ，最后三人名次任意，有 种可能，共的 种情况．
故答案为：C．
【分析】 甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
5．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为 ，
各小组的第一名再进行单循环比赛次数为 ，
先后比赛的总次数为 .
故答案为：C
【分析】 根据题意，由组合数公式计算“每小组中各队进行单循环比赛”和“各小组的第一名再进行单循环比赛”的比赛数目，相加即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】设参赛选手共有 位，则总比赛场次为 ，即 场，且 ， ，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为 分且为偶数，
∴当 ，得 ；当 ， 无整数解；
∴ (位).
故答案为：B.
【分析】 由题意，由于 胜者得2分，负者得0分，平局各得1分 ，所以每场比赛都会产生2分，那么最后总分一定为偶数，所以131和133被排除，剩下132和134，再进行判断.
7．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意展开式通项公式为 ，
所以关于 的方程 有正整数解， 必是3的整数倍，只有B满足。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出常数项，进而求出 必是3的整数倍，从而求出n可能的值。
8．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故答案为：C．
【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.
9．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，即 ，A符合题意；
令 ，则 ，
即 ，
所以 ，B不符合题意；
根据二项式展开式的通项公式： ，C不符合题意；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加可得 ，①
两式相减可得 ，②
②①可得 ，
所以 ，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意对于选项A，B，D，分别令x=0，x=-1，x=1代入已知关系式求解即可，选项C，求出展开式中含x3项的系数即可判断．
10．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
11．【答案】A,B,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：若 企业没有派医生去，每名医生有 种选择，则共用 种，
若 企业派1名医生则有 种，所以共有 种.
对于B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，
对于C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，
若甲企业分 人，则有 种；若甲企业分 人，则有 种，
所以共有 种.
对于D：所有不同分派方案共有 种.
故答案为：ABC
【分析】 根据分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
12．【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若任意选择三门课程，选法总数为 ，A不符合题意
若物理和化学至少选一门，选法总数为 ，B不符合题意
若物理和历史不能同时选，选法总数为 ，C符合题意
若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 ，D不符合题意。
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理和对立事件计数方法，进而找出说法错误的选项。
13．【答案】130
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为没有空盒且每盒的小球数不大于盒子的编号数，
所以有 、 、 、 、 五种分组方式，
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
综上所述，共有 种放法，
故答案为：130.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理代入数值计算出结果即可。
14．【答案】30
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
故分别令 ，可得 展开式 与 的系数分别为 ，
故 展开式 的系数为
故答案为：30．
【分析】 把 按照二项式定理展开，可得结论.
15．【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有 种停法,
再在第二行分类讨论停放剩下车,第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，如果第二辆红车不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，
因此共有 种情况；
故答案为：72.
【分析】首先在第一行停放一辆红色车与一辆黑色车，再在第二行分类讨论停放剩下车，最后利用分步计数原理即可得出结果。
16．【答案】20
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，又由乙不购买“罗兰紫”，乙也有2种选择方法，
还剩下2种颜色，剩下的2人选择剩下的2种颜色，有 种选择方法，
则此时有 种购买方案；
②若甲不购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，由其他三人购买，有 种选择方法，
则此时有 种选择方法，
则一共有 种不同的购买方案。
故答案为：20。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而求出这四位市民不同的购买方案种数。
17．【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
18．【答案】（1）解：将甲、乙、丙3人看作一个整体，与其余4人全排列，有 种排法，而甲、乙、丙3人有 种排法，故共有 =720种不同的排法
（2）解：可先排其余4人，然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中，故共有 =1440种不同的排法
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而求出甲、乙、丙3人相邻的不同排法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而求出 甲、乙、丙3人不相邻的不同排法种数。
19．【答案】（1）解：首先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内，
则4个白球两两不相邻的排法有 种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，则共有 种取法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）由题意先将白球选出4个进行排列，再用黑球插空即可得解；（2）由题意将满足要求的情况分为三种：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，再结合分步乘法、组合的知识即可得解.
20．【答案】（1）解：记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A，
，
所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为
（2）解：记“至少选1名医生”为事件B，则事件B的对立事件为“不选医生”，记作事件 ，
,
,
所以至少选1名医生的概率为
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，进而求出志愿者、医生、护士各选1人的概率。
（2） 记“至少选1名医生”为事件B，则事件B的对立事件为“不选医生”，记作事件 ， 再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出 的值，再利用对立事件求概率公式，进而求出 的值 , 从而求出至少选1名医生的概率。
21．【答案】（1）解：当“射”排在最后一周时， ，
当“射”不排在最后一周时， ，
，
所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.
（2）解：当甲只任教1科时， ，
当甲任教2科时， ，
，
所以甲不任教“数”的课程安排方案有1440种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）根据题意，按“射”的安排时间分2种情况讨论：①“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制，②“射”不排在最后一周，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，按甲教的科目多少分2种情况讨论：①甲教两科，②甲教一科，由加法原理计算可得答案．
22．【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
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人教版2019选修三第六章 计数原理 单元测试
一、单选题
1．（2021高二下·长春期中）四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？（　　）
A．6 B．12 C．24 D．30
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意得，先排甲以外的三个同学，共有种排法，再利用插空法知甲有种排法，则共有=12种不同的排法.
故答案为：B
【分析】本题主要考查排列与组合问题，利用插空法直接求解即可.
2．（2021高二下·广州期中）若 ，则 （　　）．
A．0 B．35 C．70 D．-70
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得(x+1)7=[（x+2）-1]7，则其展开式的通项公式为，
令7-r=3，即r=4，得，则，
令7-r=4，即r=3，得，则，
则 0，
故答案为：A

【分析】本题主要考查二项式定理，由通项公式，并赋值直接求解即可.
3．（2021·株洲模拟）2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲 乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（　　）
A．270种 B．240种 C．210种 D．180种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有
故答案为：C
【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。
4．（2021·永州模拟）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（　　）
A．18 B．36 C．54 D．64
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先看乙，在中间有一个名次中的一个，有 种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有 ，最后三人名次任意，有 种可能，共的 种情况．
故答案为：C．
【分析】 甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
5．（2021·广东模拟）某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为 ，
各小组的第一名再进行单循环比赛次数为 ，
先后比赛的总次数为 .
故答案为：C
【分析】 根据题意，由组合数公式计算“每小组中各队进行单循环比赛”和“各小组的第一名再进行单循环比赛”的比赛数目，相加即可得答案.
6．（2021·河南模拟）在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（　　）
A．11位 B．12位 C．13位 D．14位
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】设参赛选手共有 位，则总比赛场次为 ，即 场，且 ， ，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为 分且为偶数，
∴当 ，得 ；当 ， 无整数解；
∴ (位).
故答案为：B.
【分析】 由题意，由于 胜者得2分，负者得0分，平局各得1分 ，所以每场比赛都会产生2分，那么最后总分一定为偶数，所以131和133被排除，剩下132和134，再进行判断.
7．（2021·焦作模拟）已知 的展开式中有常数项，则 的值可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意展开式通项公式为 ，
所以关于 的方程 有正整数解， 必是3的整数倍，只有B满足。
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出常数项，进而求出 必是3的整数倍，从而求出n可能的值。
8．（2019·浙江模拟）从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故答案为：C．
【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.
二、多选题
9．（2021·石家庄模拟）关于 ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，即 ，A符合题意；
令 ，则 ，
即 ，
所以 ，B不符合题意；
根据二项式展开式的通项公式： ，C不符合题意；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加可得 ，①
两式相减可得 ，②
②①可得 ，
所以 ，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意对于选项A，B，D，分别令x=0，x=-1，x=1代入已知关系式求解即可，选项C，求出展开式中含x3项的系数即可判断．
10．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（　　）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
11．（2020高二下·滨州期末）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（　　）
A．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共 种
【答案】A,B,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：若 企业没有派医生去，每名医生有 种选择，则共用 种，
若 企业派1名医生则有 种，所以共有 种.
对于B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，
对于C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，
若甲企业分 人，则有 种；若甲企业分 人，则有 种，
所以共有 种.
对于D：所有不同分派方案共有 种.
故答案为：ABC
【分析】 根据分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
12．（2020高二下·海南期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（　　）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】若任意选择三门课程，选法总数为 ，A不符合题意
若物理和化学至少选一门，选法总数为 ，B不符合题意
若物理和历史不能同时选，选法总数为 ，C符合题意
若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 ，D不符合题意。
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合分类加法计数原理和对立事件计数方法，进而找出说法错误的选项。
三、填空题
13．（2021高二下·天津期中）5个不同的小球全部放入编号为2、3、4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有　 　种放法(用数字作答)
【答案】130
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为没有空盒且每盒的小球数不大于盒子的编号数，
所以有 、 、 、 、 五种分组方式，
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
若按照 分组方式，则有 种放法；
综上所述，共有 种放法，
故答案为：130.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理代入数值计算出结果即可。
14．（2021·陕西模拟） 展开式中，含 项的系数为　 　．
【答案】30
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
故分别令 ，可得 展开式 与 的系数分别为 ，
故 展开式 的系数为
故答案为：30．
【分析】 把 按照二项式定理展开，可得结论.
15．（2021·温州模拟）有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有　 　种不同的停放方法．（用数字作答）
【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有 种停法,
再在第二行分类讨论停放剩下车,第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，如果第二辆红车不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，
因此共有 种情况；
故答案为：72.
【分析】首先在第一行停放一辆红色车与一辆黑色车，再在第二行分类讨论停放剩下车，最后利用分步计数原理即可得出结果。
16．（2020高二下·南通期末）某系列智能手机玻璃版有“星河银”、“罗兰紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则乙不购买“罗兰紫”，则这四位市民不同的购买方案有　 　种.
【答案】20
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，又由乙不购买“罗兰紫”，乙也有2种选择方法，
还剩下2种颜色，剩下的2人选择剩下的2种颜色，有 种选择方法，
则此时有 种购买方案；
②若甲不购买“亮黑色”或“星河银”，则甲有2种选择方法，
还剩下3种颜色，由其他三人购买，有 种选择方法，
则此时有 种选择方法，
则一共有 种不同的购买方案。
故答案为：20。
【分析】利用已知条件结合排列数公式，再利用分类加法计数原理，进而求出这四位市民不同的购买方案种数。
四、解答题
17．（2020高二下·徐汇期末）已知 的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中 项的系数.
【答案】（1）解： ，解得 ；
（2）解： ，令
可得 时， ，
即 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得 ，解可得 ，（2）先求得展开式的通项，可得 ，将r的值代入通项计算可得答案.
18．（2020高二下·农安期末）7人排成一排照相，按下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙、丙3人相邻
（2）甲、乙、丙3人不相邻
【答案】（1）解：将甲、乙、丙3人看作一个整体，与其余4人全排列，有 种排法，而甲、乙、丙3人有 种排法，故共有 =720种不同的排法
（2）解：可先排其余4人，然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中，故共有 =1440种不同的排法
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而求出甲、乙、丙3人相邻的不同排法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式合分步乘法计数原理，进而求出 甲、乙、丙3人不相邻的不同排法种数。
19．（2020高三上·松原月考）盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
【答案】（1）解：首先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内，
则4个白球两两不相邻的排法有 种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，则共有 种取法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）由题意先将白球选出4个进行排列，再用黑球插空即可得解；（2）由题意将满足要求的情况分为三种：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，再结合分步乘法、组合的知识即可得解.
20．（2020高二下·淮安期末）某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作.
（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；
（2）求至少选1名医生的概率.
【答案】（1）解：记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A，
，
所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为
（2）解：记“至少选1名医生”为事件B，则事件B的对立事件为“不选医生”，记作事件 ，
,
,
所以至少选1名医生的概率为
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，进而求出志愿者、医生、护士各选1人的概率。
（2） 记“至少选1名医生”为事件B，则事件B的对立事件为“不选医生”，记作事件 ， 再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出 的值，再利用对立事件求概率公式，进而求出 的值 , 从而求出至少选1名医生的概率。
21．（2020高二下·三明期末）为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.
【答案】（1）解：当“射”排在最后一周时， ，
当“射”不排在最后一周时， ，
，
所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.
（2）解：当甲只任教1科时， ，
当甲任教2科时， ，
，
所以甲不任教“数”的课程安排方案有1440种
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】 （1）根据题意，按“射”的安排时间分2种情况讨论：①“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制，②“射”不排在最后一周，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，按甲教的科目多少分2种情况讨论：①甲教两科，②甲教一科，由加法原理计算可得答案．
22．（2020高二下·吉林月考）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
【答案】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： .
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有 种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有 种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有 种方法，再从4名学生种选2名排两端，有 种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有 种方法，由乘法原理即可得到答案.
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