人教版2019选修三 6.1 分类计数原理与分步计数原理
一、单选题
1．（2021高二下·江苏月考）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（ ）
A．120 B．12 C．60 D．72
2．（2020高二下·嘉兴期末）某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）
A．21种 B．23种 C．25种 D．27种
3．（2020高二下·东莞期末）东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（ ）
A．4种 B．8种 C．12 种 D．16种
4．（2020高二下·盐城期末） 、 、 、 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生 不参加甲社团， 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ）
A．14 B．18 C．12 D．4
5．（2020高二下·连云港期末）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．34种 B．43种 C． 种 D． 种
6．（2020高二下·洛阳期末）回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为 （n为正整数），如11是2位回文数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·菏泽期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
8．（2020高二下·邢台期末）张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ）
A．7种 B．12种 C．14种 D．24种
9．（2020高二下·宾县期末）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
10．（2020高二下·莲湖期末）汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2020高二下·邢台期末）某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）
A．12 B．36 C．24 D．48
12．（2020高二下·河西期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
二、填空题
13．（2020高二下·天津期末）从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有 种.
14．（2020高二下·台州期末）某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 ．
15．（2020高二下·重庆期末）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有 种．
16．（2020高二下·淄博期末）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 种涂法.
三、解答题
17．（2020高二下·黄山期中）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.
（1）若n=6，则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
18．（2020高二下·海林期末）7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
19．（2020高二下·宿迁期中）一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课.
（1）语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（2）数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（3）体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
20．（2020高二下·闵行期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
21．（2020高二下·吉林期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
22．（2020高二下·吉林期中）4个男同学，3个女同学站成一排.
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先排男生共有 种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有 种排法，
所以符合条件的共有 种排法.
故答案为：D.
【分析】先排男生，再把女生排见男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果。
2．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有 种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有 种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有 种，报考B大学的选择方案有 种，利用分步计数原理计算即可得解.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先把 两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区共有安排方式 种．
故答案为：B．
【分析】先把 两个项目安排到两个地区，剩下的2个项目随便安排，可用项目选城市法计算．
4．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】分以下两种情况讨论：
①若学生 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为 ；
②若学生 不参加乙社团，则学生 有两种选择，则学生 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为 .
综上所述，不同的报名方法种数为 .
故答案为：A.
【分析】对学生 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
5．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.
故答案为：A.
【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，共有 种方法.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以
3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共 个，故 ，
4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有 种方法，故
5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有 种，故 .
故答案为：C
【分析】根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的 ， ， ， 的值，判断选项.
7．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
8．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】由分类计数原理可知，张先生从本地到上海的出行方案可以是坐动车前往，或者坐飞机前往，
共有 种．
故答案为：A.
【分析】 根据题意，分析“坐动车”和“坐飞机”的方案数目，由加法原理计算可得答案．
9．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数。
10．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有 种可能的下车方式．
故答案为：A．
【分析】用乘客选车站的方法．
11．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知：不同的涂色种数为： ，
故答案为：C
【分析】 根据题意，按行分析每一行的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．
12．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】利用第一种方法有： 种，利用第二种方法有： 种方法.
故共有：5+4＝9种完成工作.
故答案为：A.
【分析】利用分类加法计数原理求解.
13．【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据分步乘法原理得： ，
故答案为：60.
【分析】根据分步乘法原理，即可得到答案；
14．【答案】300
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有 种情况，
②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有 种不同的顺序，
故答案为： 300 ．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．
15．【答案】20
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
综上故有10+10＝20种，
故答案为20.
【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．
16．【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为 、 、 、 ，
然后给 面涂色，有3种；给 面涂色，有2种；
给 面，若 与 相同色，则 面可以涂2种；若 与 不同色，则 面可以涂1种，
所以共有 ．
故答案为：72．
【分析】结合已知条件由乘法计数原理计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：对区域A，B，C，D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
（2）解：对区域A，B，C，D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120，整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据分步计数原理进行计算即可；
（2） 对区域A，B，C，D按顺序着色 ， 由分步乘法计数原理 ，列出方程求解即可。
18．【答案】（1）解：根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.
共有 种
（2）解：根据题意，A，B都不选，只需从10人中选5人即可.
共有 种
（3）解：根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，共有 种情况.
第二类：A，B中有一人当选，共有 种情况.
所以共有 种
（4）解：根据题意12人选 人共有 种情况，
没有女生入选共有 种，只有1名女生入选共有 种情况，
所以至少有2名女生当选共有 种情况
（5）解：选出一名男生担任体育委员共有 种情况，
选出一名女生担任班长共有 种情况.
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，
共有 种情况.
根据分步计数原理得到共有 种
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.（2）A，B都不选，只需从10人中选5人即可.（3）根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，第二类：A，B中有一人当选，再利用分类计数原理计数即可.（4）根据题意用间接法，先计算12人选5人共有多少种情况，然后计算没有女生入选和只有1名女生入选共有多少种，再相减即可.（5）根据题意分3步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班长共的情况，第三步再从剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委的情况，最后利用分步计数原理计数即可.
19．【答案】（1）解：语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有 种；
（2）解：数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，
其余6节课全排，利用分步计数原理得 种；
（3）解：当体育课排在第7节课时有 种排法，
当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，
其余五节课全排列，有 种排法，
之后应用分类加法计数原理，有 种.
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出语文课排第1节课共有的不同的排课方法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式，进而结合分步乘法计数原理，从而求出数学课不排第7节课共有的不同的排课方法种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，进而结合分类加法计数原理，从而求出体育课不排第1节课，微机课不排第7节课共有的不同的排课方法种数。
20．【答案】（1）解：设既能唱歌又会跳舞的有 人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（2）解：由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人， ，
②只能唱歌选1人， ，
③只能唱歌选2人， ，
有228种选派方法.
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x人，再列出关于x的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；
21．【答案】（1）解：先排个位数，有 种，因为0不能在首位，再排首位有 种，最后排其它有 ，根据分步计数原理得，六位奇数有 ；
（2）解：因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有 ， 当个位不数是0，有 ，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有 ；
（3）解：当千位小于4时，有 种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有 .
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．
22．【答案】（1）解：（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有 种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有 ，共有 ；
（2）解：先把4个男生排练有 种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有 ；
（3）解：先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中， 按分步计数原理不同的排法有， （种）．
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序；（2）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔；（3）先把甲、乙捆绑成一个整体，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，按分步计数原理求的结果．
1 / 1人教版2019选修三 6.1 分类计数原理与分步计数原理
一、单选题
1．（2021高二下·江苏月考）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（ ）
A．120 B．12 C．60 D．72
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先排男生共有 种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有 种排法，
所以符合条件的共有 种排法.
故答案为：D.
【分析】先排男生，再把女生排见男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果。
2．（2020高二下·嘉兴期末）某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）
A．21种 B．23种 C．25种 D．27种
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有 种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有 种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有 种，报考B大学的选择方案有 种，利用分步计数原理计算即可得解.
3．（2020高二下·东莞期末）东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（ ）
A．4种 B．8种 C．12 种 D．16种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】先把 两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区共有安排方式 种．
故答案为：B．
【分析】先把 两个项目安排到两个地区，剩下的2个项目随便安排，可用项目选城市法计算．
4．（2020高二下·盐城期末） 、 、 、 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生 不参加甲社团， 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ）
A．14 B．18 C．12 D．4
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】分以下两种情况讨论：
①若学生 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为 ；
②若学生 不参加乙社团，则学生 有两种选择，则学生 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为 .
综上所述，不同的报名方法种数为 .
故答案为：A.
【分析】对学生 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果.
5．（2020高二下·连云港期末）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．34种 B．43种 C． 种 D． 种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.
故答案为：A.
【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，共有 种方法.
6．（2020高二下·洛阳期末）回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为 （n为正整数），如11是2位回文数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以
3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共 个，故 ，
4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有 种方法，故
5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有 种，故 .
故答案为：C
【分析】根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的 ， ， ， 的值，判断选项.
7．（2020高二下·菏泽期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数： 种，
故答案为：C.
【分析】 根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
8．（2020高二下·邢台期末）张先生打算第二天从本地出发到上海，查询得知一天中从本地到上海的动车有4列，飞机有3个航班，且无其他出行方案，则张先生从本地到上海的出行方案共有（ ）
A．7种 B．12种 C．14种 D．24种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】由分类计数原理可知，张先生从本地到上海的出行方案可以是坐动车前往，或者坐飞机前往，
共有 种．
故答案为：A.
【分析】 根据题意，分析“坐动车”和“坐飞机”的方案数目，由加法原理计算可得答案．
9．（2020高二下·宾县期末）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ）
A．7 B．64 C．12 D．81
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数。
10．（2020高二下·莲湖期末）汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有 种可能的下车方式．
故答案为：A．
【分析】用乘客选车站的方法．
11．（2020高二下·邢台期末）某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（ ）
A．12 B．36 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知：不同的涂色种数为： ，
故答案为：C
【分析】 根据题意，按行分析每一行的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．
12．（2020高二下·河西期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】利用第一种方法有： 种，利用第二种方法有： 种方法.
故共有：5+4＝9种完成工作.
故答案为：A.
【分析】利用分类加法计数原理求解.
二、填空题
13．（2020高二下·天津期末）从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有 种.
【答案】60
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据分步乘法原理得： ，
故答案为：60.
【分析】根据分步乘法原理，即可得到答案；
14．（2020高二下·台州期末）某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 ．
【答案】300
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有 种情况，
②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，
则有 种不同的顺序，
故答案为： 300 ．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．
15．（2020高二下·重庆期末）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有 种．
【答案】20
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，
综上故有10+10＝20种，
故答案为20.
【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．
16．（2020高二下·淄博期末）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 种涂法.
【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为 、 、 、 ，
然后给 面涂色，有3种；给 面涂色，有2种；
给 面，若 与 相同色，则 面可以涂2种；若 与 不同色，则 面可以涂1种，
所以共有 ．
故答案为：72．
【分析】结合已知条件由乘法计数原理计算出结果即可。
三、解答题
17．（2020高二下·黄山期中）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.
（1）若n=6，则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.
【答案】（1）解：对区域A，B，C，D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
（2）解：对区域A，B，C，D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120，整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据分步计数原理进行计算即可；
（2） 对区域A，B，C，D按顺序着色 ， 由分步乘法计数原理 ，列出方程求解即可。
18．（2020高二下·海林期末）7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【答案】（1）解：根据题意，先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.
共有 种
（2）解：根据题意，A，B都不选，只需从10人中选5人即可.
共有 种
（3）解：根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，共有 种情况.
第二类：A，B中有一人当选，共有 种情况.
所以共有 种
（4）解：根据题意12人选 人共有 种情况，
没有女生入选共有 种，只有1名女生入选共有 种情况，
所以至少有2名女生当选共有 种情况
（5）解：选出一名男生担任体育委员共有 种情况，
选出一名女生担任班长共有 种情况.
剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委，
共有 种情况.
根据分步计数原理得到共有 种
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先选出A，B，再从剩下的10人中选3人即可.（2）A，B都不选，只需从10人中选5人即可.（3）根据题意分成两类，第一类：A，B都不选，第二类：A，B中有一人当选，再利用分类计数原理计数即可.（4）根据题意用间接法，先计算12人选5人共有多少种情况，然后计算没有女生入选和只有1名女生入选共有多少种，再相减即可.（5）根据题意分3步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班长共的情况，第三步再从剩下6名男生再选2人，4名女生再选1人，担任其它3个班委的情况，最后利用分步计数原理计数即可.
19．（2020高二下·宿迁期中）一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课.
（1）语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（2）数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（3）体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
【答案】（1）解：语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有 种；
（2）解：数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，
其余6节课全排，利用分步计数原理得 种；
（3）解：当体育课排在第7节课时有 种排法，
当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，
其余五节课全排列，有 种排法，
之后应用分类加法计数原理，有 种.
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合排列数公式，进而求出语文课排第1节课共有的不同的排课方法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式，进而结合分步乘法计数原理，从而求出数学课不排第7节课共有的不同的排课方法种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，进而结合分类加法计数原理，从而求出体育课不排第1节课，微机课不排第7节课共有的不同的排课方法种数。
20．（2020高二下·闵行期中）在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
【答案】（1）解：设既能唱歌又会跳舞的有 人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（2）解：由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人， ，
②只能唱歌选1人， ，
③只能唱歌选2人， ，
有228种选派方法.
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x人，再列出关于x的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；
21．（2020高二下·吉林期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310的四位偶数.
【答案】（1）解：先排个位数，有 种，因为0不能在首位，再排首位有 种，最后排其它有 ，根据分步计数原理得，六位奇数有 ；
（2）解：因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有 ， 当个位不数是0，有 ，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有 ；
（3）解：当千位小于4时，有 种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有 .
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．
22．（2020高二下·吉林期中）4个男同学，3个女同学站成一排.
（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
【答案】（1）解：（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有 种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有 ，共有 ；
（2）解：先把4个男生排练有 种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有 ；
（3）解：先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中， 按分步计数原理不同的排法有， （种）．
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序；（2）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔；（3）先把甲、乙捆绑成一个整体，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，按分步计数原理求的结果．
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