人教版初中数学八年级下册 第二十章 数据的分析 20.2 数据的波动程度 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·北仑期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差分别为S = 0.63环2，S = 0.51环2，S = 0.48环2，S = 0.42环2，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ 每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差分别为S = 0.63环2，S = 0.51环2，S = 0.48环2，S = 0.42环2，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2.
∴四人中成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】四个人的平均数一样，再比较方差的大小，根据方差越小数据月稳定，可得答案.
2．（2021八下·长兴期中）已知样本数据3，4，6，5，7，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是5 B．方差是2 C．中位数是6 D．标准差是
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、∵，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、从小到大排列为：3，4，5，6，7
最中间的数是5，此组数据的中位数是5，故C符合题意；
D、∵
∴，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平均数公式先求出此组数据的平均数，可对A作出判断；再利用方差公式求出方差及标准差，可对B，D作出判断；先将数据排序，找到最中间的数，可求出这组数据的中位数，可对C作出判断.
3．（2021八下·拱墅月考）去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示.今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
S2 1.9 2.1 2 1.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定.
∴应选的品种是甲.
故答案为：A.
【分析】 先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可．
4．（2021·湖州模拟）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（ ）
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最低气温 1℃ ﹣1℃ 2℃ 0℃ ■ ■ 1℃
A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃，
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设周五的温度为x℃，
平均数= ，
解得：x=3，
方差==2，
故答案为：A.
【分析】设设周五的温度为x℃，根据平均数公式列方程求出x，然后根据方差公式求方差即可.
5．（2020八上·砀山期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．这组数据0，2，3，3，4，6的方差是2.1
C．一组数据的标准差越大，这组数据就越稳定
D．如果x1，x2，x3…xn的平均数是x，那么(x1- ) + (x2- )…+ (xn- ) =0
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、 中位数就是一组数据中最中间的一个数或时中间两个数的平均数，故A错误，不符合题意；
B、这组数据0，2，3，3，4，6的平均数=，方差=，故B错误，不符合题意；
C、一组数据的标准差越大，这组数据就越不稳定，故C错误，不符合题意；
D、如果x1，x2，x3…xn的平均数是x，那么(x1- ) + (x2- )…+ (xn- ) =x1+x2+…+ xn-n=0，
故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中位数的定义、方差的计算公式和意义、平均数的计算公式，逐项进行判断，即可求解.
6．（2021八上·玉门期末）对于两组数据A，B，如果 ，且 ，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：依题可知： ，显然两组数据的的平均水平相同，∴C选项不正确；
又 ，结合方差的定义及性质；可得B组数据比A组数据稳定；
∴B组数据的波动性小于A组数据的波动性；
∴数据B组的波动小一些.
故答案为：B.
【分析】依据题意，可知两组数的平均数相等，A组数据的方差大于B组数据的方差，根据方程差的意义，方差越小数据越稳定即可求解.
二、填空题
7．（2021八下·慈溪期中）已知一组数据 ，x，0，1， 的平均数是0，那么这组数据的方差是
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵-1，x，0，1，-2的平均数是0，
∴，
∴x=2，
∴方差=.
故答案为2.
【分析】首先根据平均数的计算公式可得，求解可得x的值，然后根据方差的计算公式计算即可.
8．（2021九下·兴化月考）某中学为了选拔一名运动员参加市运会 米短比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的 次百米跑平均时间都是 秒，他们的方差分别是 （秒 ） （秒 ），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 去.
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴S2甲＜S2乙，
∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去.
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定进行解答即可.
9．（2021九上·义乌期末）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出200株测得其高度，并求得它们的方差分别为 ， ，则 种小麦的长势比较整齐.
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜15.8
∴ ，
∴长势比较整齐的小麦是甲.
故答案为：甲.
【分析】直接根据方差性质，方差越小，波动越小，越稳定即可选择.
三、综合题
10．（2021九上·玄武期末）某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（分） 35 39 37 40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
（1）a的值是 ；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差 .（填“变大”“变小”或“不变”）
【答案】（1）39
（2）解： ，
乙的体育成绩更好.因为 ， ，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好；
（3）变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）由乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可知乙同学的五次成绩分别是：36、38、37、39、40，乙同学五次成绩之和为190，
∵甲和乙的五次成绩之和相等，
∴ ，
故答案为：39；
（3）第六次模拟测试成绩为38分，则平均数 ，不变，
， 会变小，
故答案为：变小.
【分析】（1）由方差公式可求出乙同学的五次总成绩为190，可得甲五次总成绩为190，利用总成绩分别减去甲同学第一、第二、第三、第五次成绩即得a值；
（2）由于两人的平均成绩相同，可求出甲成绩的方差，方差越小越稳定，据此判断即可；
（3） 由于第六次模拟测试成绩刚好等于平均数，可知平均数不变，但计算方差时导致方差变小.
11．（2021八上·灞桥期末）从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位： ）如下：
甲厂生产的零件尺寸 9.02 9.01 9 8.98 8.99
乙厂生产的零件尺寸 9.01 8.97 9.02 8.99 9.01
（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；
（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格.（零件的规定尺寸为 ）
【答案】（1）解：
所以：甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为
（2）解： 由 ＞ ＜
所以甲厂生产的零件更符合规格.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）利用平均数公式直接计算即可得到答案；
（2）由方差的计算公式直接计算甲，乙的方差，再根据方差越小，零件越符合规格，从而可得答案.
12．（2021八上·秦都期末）在一次广场舞比赛中，甲、乙两个队参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是甲队：163 165
165 164 168
乙队：162 164 164
167 168
（1）求甲队女演员身高的平均数、中位数﹑众数；
（2）计算两队女演员身高的方差，并判断哪个队女演员的身高更整齐？
【答案】（1） ，
∴甲队女演员身高的平均数是165cm，
把这些数从小到大排列，则中位数是165cm，
165cm出现了2次，出现的次数最多，则众数是165cm；
（2）乙队女演员身高的平均数 ，
甲队数据方差
，
乙队数据方差
，
∵ ，
∴甲队女演员的身高更整齐.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据平均数公式“”可求得甲队女演员身高的平均数；根据众数和中位数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数"可求得甲队 女演员身高的众数和中位数；
（2）根据平均数公式“”可求得乙队女演员身高的平均数；再根据方差公式“s2=”可求得甲、乙两队的方差，由方差越大，波动越大可判断求解.
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一、单选题
1．（2021八下·北仑期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差分别为S = 0.63环2，S = 0.51环2，S = 0.48环2，S = 0.42环2，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2021八下·长兴期中）已知样本数据3，4，6，5，7，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是5 B．方差是2 C．中位数是6 D．标准差是
3．（2021八下·拱墅月考）去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示.今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ）
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
S2 1.9 2.1 2 1.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2021·湖州模拟）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（ ）
日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温
最低气温 1℃ ﹣1℃ 2℃ 0℃ ■ ■ 1℃
A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃，
5．（2020八上·砀山期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．中位数就是一组数据中最中间的一个数
B．这组数据0，2，3，3，4，6的方差是2.1
C．一组数据的标准差越大，这组数据就越稳定
D．如果x1，x2，x3…xn的平均数是x，那么(x1- ) + (x2- )…+ (xn- ) =0
6．（2021八上·玉门期末）对于两组数据A，B，如果 ，且 ，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
二、填空题
7．（2021八下·慈溪期中）已知一组数据 ，x，0，1， 的平均数是0，那么这组数据的方差是
8．（2021九下·兴化月考）某中学为了选拔一名运动员参加市运会 米短比赛，有甲、乙两名运动员备选，他们最近测试的 次百米跑平均时间都是 秒，他们的方差分别是 （秒 ） （秒 ），如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派 去.
9．（2021九上·义乌期末）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出200株测得其高度，并求得它们的方差分别为 ， ，则 种小麦的长势比较整齐.
三、综合题
10．（2021九上·玄武期末）某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（分） 35 39 37 40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
（1）a的值是 ；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差 .（填“变大”“变小”或“不变”）
11．（2021八上·灞桥期末）从甲、乙两厂生产的同一种零件中各抽取5个，量得它们的尺寸（单位： ）如下：
甲厂生产的零件尺寸 9.02 9.01 9 8.98 8.99
乙厂生产的零件尺寸 9.01 8.97 9.02 8.99 9.01
（1）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的平均尺寸；
（2）分别计算从甲、乙两厂抽取的5个零件的方差，根据计算结果，你认为哪个厂生产的零件更符合规格.（零件的规定尺寸为 ）
12．（2021八上·秦都期末）在一次广场舞比赛中，甲、乙两个队参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是甲队：163 165
165 164 168
乙队：162 164 164
167 168
（1）求甲队女演员身高的平均数、中位数﹑众数；
（2）计算两队女演员身高的方差，并判断哪个队女演员的身高更整齐？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ 每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差分别为S = 0.63环2，S = 0.51环2，S = 0.48环2，S = 0.42环2，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2＞S丁2.
∴四人中成绩最稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】四个人的平均数一样，再比较方差的大小，根据方差越小数据月稳定，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、∵，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、从小到大排列为：3，4，5，6，7
最中间的数是5，此组数据的中位数是5，故C符合题意；
D、∵
∴，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平均数公式先求出此组数据的平均数，可对A作出判断；再利用方差公式求出方差及标准差，可对B，D作出判断；先将数据排序，找到最中间的数，可求出这组数据的中位数，可对C作出判断.
3．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定.
∴应选的品种是甲.
故答案为：A.
【分析】 先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可．
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设周五的温度为x℃，
平均数= ，
解得：x=3，
方差==2，
故答案为：A.
【分析】设设周五的温度为x℃，根据平均数公式列方程求出x，然后根据方差公式求方差即可.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：A、 中位数就是一组数据中最中间的一个数或时中间两个数的平均数，故A错误，不符合题意；
B、这组数据0，2，3，3，4，6的平均数=，方差=，故B错误，不符合题意；
C、一组数据的标准差越大，这组数据就越不稳定，故C错误，不符合题意；
D、如果x1，x2，x3…xn的平均数是x，那么(x1- ) + (x2- )…+ (xn- ) =x1+x2+…+ xn-n=0，
故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中位数的定义、方差的计算公式和意义、平均数的计算公式，逐项进行判断，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：依题可知： ，显然两组数据的的平均水平相同，∴C选项不正确；
又 ，结合方差的定义及性质；可得B组数据比A组数据稳定；
∴B组数据的波动性小于A组数据的波动性；
∴数据B组的波动小一些.
故答案为：B.
【分析】依据题意，可知两组数的平均数相等，A组数据的方差大于B组数据的方差，根据方程差的意义，方差越小数据越稳定即可求解.
7．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵-1，x，0，1，-2的平均数是0，
∴，
∴x=2，
∴方差=.
故答案为2.
【分析】首先根据平均数的计算公式可得，求解可得x的值，然后根据方差的计算公式计算即可.
8．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴S2甲＜S2乙，
∴选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派甲去.
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定进行解答即可.
9．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜15.8
∴ ，
∴长势比较整齐的小麦是甲.
故答案为：甲.
【分析】直接根据方差性质，方差越小，波动越小，越稳定即可选择.
10．【答案】（1）39
（2）解： ，
乙的体育成绩更好.因为 ， ，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，所以乙的体育成绩更好；
（3）变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：（1）由乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可知乙同学的五次成绩分别是：36、38、37、39、40，乙同学五次成绩之和为190，
∵甲和乙的五次成绩之和相等，
∴ ，
故答案为：39；
（3）第六次模拟测试成绩为38分，则平均数 ，不变，
， 会变小，
故答案为：变小.
【分析】（1）由方差公式可求出乙同学的五次总成绩为190，可得甲五次总成绩为190，利用总成绩分别减去甲同学第一、第二、第三、第五次成绩即得a值；
（2）由于两人的平均成绩相同，可求出甲成绩的方差，方差越小越稳定，据此判断即可；
（3） 由于第六次模拟测试成绩刚好等于平均数，可知平均数不变，但计算方差时导致方差变小.
11．【答案】（1）解：
所以：甲，乙两厂生产的零件的平均尺寸都为
（2）解： 由 ＞ ＜
所以甲厂生产的零件更符合规格.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）利用平均数公式直接计算即可得到答案；
（2）由方差的计算公式直接计算甲，乙的方差，再根据方差越小，零件越符合规格，从而可得答案.
12．【答案】（1） ，
∴甲队女演员身高的平均数是165cm，
把这些数从小到大排列，则中位数是165cm，
165cm出现了2次，出现的次数最多，则众数是165cm；
（2）乙队女演员身高的平均数 ，
甲队数据方差
，
乙队数据方差
，
∵ ，
∴甲队女演员的身高更整齐.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据平均数公式“”可求得甲队女演员身高的平均数；根据众数和中位数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数"可求得甲队 女演员身高的众数和中位数；
（2）根据平均数公式“”可求得乙队女演员身高的平均数；再根据方差公式“s2=”可求得甲、乙两队的方差，由方差越大，波动越大可判断求解.
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