初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·长兴期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·江岸期中）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x=4 C．x≤4 D．x≠4
3．（2020八上·松江期中）若等式 ，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八下·富顺月考）下列计算正确的 是（ ）
A． B． C． . D．
5．（2021八上·镇海期末）下列说法中正确的是（ ）
A．使式子 有意义的是x＞﹣3
B．使 是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3 cm，则面积为30cm2
D．计算3÷ × 的结果是3
6．（2020八上·北京期中）设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
7．（2021八下·丽水期中）若x，y为实数，且y＝2+ + ，则|x+y|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．（2020八上·郑州月考）估计 的运算结果应在下列哪两个数之间（ ）
A．3.5 和 4.0 B．4.0 和 4.5 C．4.5 和 5.0 D．5.0 和 5.5
9．（2020八上·上海月考）已知a>b>0，并且a+b=6 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·张掖期中）化简 ＝ .
12．（2020八上·南京月考）若 ，则a的取值范围是 .
13．（2020八上·四川月考）实数 的整数部分 ，小数部分 ．
14．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
15．（2020八上·砀山期末）最简二次根式与 是同类最简二次根式，则a-b= 。
16．（2020八下·泰兴期末）已知点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1），则 的值为 .
17．（2020八上·长宁期末）已知 ，当 分别取 时，所对应的 值的总和是 ．
18．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
三、综合题
19．（2020八下·呼和浩特月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．（2020八上·鄄城月考）已知 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
21．已知2a-1的平方根是 3,3a+b-9的立方根是2，c是 的整数部分，求a+2b+c的算数平方根。
22．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
23．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
25．（2021八下·富顺月考）阅读理解：
求 的值．
解：
设
两边平方得：
∴ ，即 .
∴
∵
∴
请利用上述方法，求 的值．
26．（2020八下·泰兴期中）阅读材料：
基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ 有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0， ＞0∴ ≥ ，即 ≥2 ，∴ ≥2
当且仅当x＝ ，即x＝1时，x+ 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x为 时，代数式3x+ 的最小值为 ；
（2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为
（3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.
27．（2020八下·曾都期末）阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ……①（其中 、 、 为三角形的三边长， 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ……②（其中 ）
（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积 ；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，它不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用最简二次根式的条件：被开方数中不能含有分数或分式；被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数≥0，由此建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵等式 成立，
∴a≥0．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】A、B根据同类二次根式的定义判断即可；
C、将原式化为，然后判断即可；
D、原式可化为，然后开方即可判断.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使 是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3 cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷ × 的结果是1，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的值，判断得到答案即可。
7．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵3-x≥0，x-3≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x=3，
∴y=2，
∴|x+y|=|3+2|=5，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件分别列不等式得出x=3，从而求出y值，再代入原式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵
∴
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再进行估算即可.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（）2=
∵a+b=6
∴==
∵a＞b＞0
∴=
故答案为：C.
【分析】根据题意，将原式平方，根据完全平方公式以及a+b=6化简式子，继而由a＞b＞0，开平方得到答案即可。
10．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
11．【答案】π－3.14
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|π-3.14|
=π-3.14，
故答案为π-3.14.
【分析】原式各项被开方数变形后，利用二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由二次根式的性质，即可求出答案.
13．【答案】2；
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解： 化简之后得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴整数部分 ，小数部分 ．
故答案为： ， ．
【分析】先对 进行分母有理化，然后再求出它的整数部分和小数部分．
14．【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
15．【答案】2
【知识点】代数式求值；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类最简二次根式，
∴a-1=2，5-2b=b+2，
∴a=3，b=1，
∴a-b=3-1=2.
【分析】根据同类二次根式的定义得出a-1=2，5-2b=b+2，求出a，b的值，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的加减法；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1），
∴a+b＝10，b﹣1＝1，
解得：a＝8，b＝2，
则 ＝ + ＝2 + ＝3 ，
故答案为：3 .
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，a+b=10，b-1=1，计算出a、b的值，然后代入可得 的值.
17．【答案】2022
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 分别取 时，所有 值的总和是： ．
故答案是：2022．
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和。
18．【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
19．【答案】（1）解：（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
= ；
（3）原式=
=
=
= ；
（4）原式=
= ．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方差公式展开，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（4）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
20．【答案】解：∴原式=－a+a－b+c－a+c－b=－a－2b+2c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质，化简式子得到答案即可。
21．【答案】解：∵2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2， ∴2a-1=9，3a+b-9=8， 解得：a=5，b=2； 又有7＜ ＜8 ，c是 的整数部分， 可得c=7； 则a+2b+c=16；故算术平方根为4.
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】由平方根的性质，即可得到（2a-1）的值，即可得到a的值，根据二次根式的性质，确定其整数部分可以得到c的值，根据立方根的性质以及a的值，计算得到b，即可得到代数式的值，计算其算术平方根即可。
22．【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
23．【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
24．【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
25．【答案】解：设x=，
两边平方得x2===14，
∴x=±.
∵>0，
∴=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】设x=，两边平方可得x2=14，进而可得x的值，然后根据x>0进行取舍即可.
26．【答案】（1）1；6
（2）
（3）解：设矩形的长为x米，宽= ，矩形的周长为2（ ），
∵x>0， >0，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，即x=3时， 有最小值6，2（ ）有最小值12
即矩形的周长的最小值为12，此时长为3，宽也为3.
【知识点】分式的混合运算；二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，3x>0， >0，
∴ ，
即 ，
当且仅当3x＝ ，即x＝1时，3x+ 有最小值，最小值为6.
故答案为：1，6；
（ 2 ）由基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0）得
即 （a＞0，b＞0）
当且仅当a＝b时等号成立，
∵a2+b2=7，
∴
即 ，当且仅当a=b= 时，等号成立，
故答案为： ；
【分析】（1）利用基本不等式即可解决问题；（2）利用基本不等式变形式即可得解；（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽= 米，则矩形周长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据基本不等式求解.
27．【答案】（1）解：由公式得①得
由②得 ，
故
（2）解：可以，过程如下：
，
【知识点】因式分解的应用；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据阅读材，将数值代入海伦公式即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册第十二章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·长兴期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，它不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用最简二次根式的条件：被开方数中不能含有分数或分式；被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断即可.
2．（2021八下·江岸期中）若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x=4 C．x≤4 D．x≠4
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数≥0，由此建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2020八上·松江期中）若等式 ，成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵等式 成立，
∴a≥0．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，求出a的取值范围即可。
4．（2021八下·富顺月考）下列计算正确的 是（ ）
A． B． C． . D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】A、B根据同类二次根式的定义判断即可；
C、将原式化为，然后判断即可；
D、原式可化为，然后开方即可判断.
5．（2021八上·镇海期末）下列说法中正确的是（ ）
A．使式子 有意义的是x＞﹣3
B．使 是正整数的最小整数n是3
C．若正方形的边长为3 cm，则面积为30cm2
D．计算3÷ × 的结果是3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、使式子 有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B、使 是正整数的最小整数n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为3 cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、3÷ × 的结果是1，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案.
6．（2020八上·北京期中）设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的值，判断得到答案即可。
7．（2021八下·丽水期中）若x，y为实数，且y＝2+ + ，则|x+y|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵3-x≥0，x-3≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x=3，
∴y=2，
∴|x+y|=|3+2|=5，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件分别列不等式得出x=3，从而求出y值，再代入原式计算即可.
8．（2020八上·郑州月考）估计 的运算结果应在下列哪两个数之间（ ）
A．3.5 和 4.0 B．4.0 和 4.5 C．4.5 和 5.0 D．5.0 和 5.5
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵
∴
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再进行估算即可.
9．（2020八上·上海月考）已知a>b>0，并且a+b=6 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（）2=
∵a+b=6
∴==
∵a＞b＞0
∴=
故答案为：C.
【分析】根据题意，将原式平方，根据完全平方公式以及a+b=6化简式子，继而由a＞b＞0，开平方得到答案即可。
10．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
二、填空题
11．（2020八上·张掖期中）化简 ＝ .
【答案】π－3.14
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|π-3.14|
=π-3.14，
故答案为π-3.14.
【分析】原式各项被开方数变形后，利用二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果.
12．（2020八上·南京月考）若 ，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由二次根式的性质，即可求出答案.
13．（2020八上·四川月考）实数 的整数部分 ，小数部分 ．
【答案】2；
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解： 化简之后得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴整数部分 ，小数部分 ．
故答案为： ， ．
【分析】先对 进行分母有理化，然后再求出它的整数部分和小数部分．
14．（2020八上·雅安期中）比较大小： （用 或 填空）
【答案】<
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：<．
【分析】将两个式子进行分母有理化，再比较大小即可。
15．（2020八上·砀山期末）最简二次根式与 是同类最简二次根式，则a-b= 。
【答案】2
【知识点】代数式求值；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵ 最简二次根式 与 是同类最简二次根式，
∴a-1=2，5-2b=b+2，
∴a=3，b=1，
∴a-b=3-1=2.
【分析】根据同类二次根式的定义得出a-1=2，5-2b=b+2，求出a，b的值，即可得出答案.
16．（2020八下·泰兴期末）已知点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1），则 的值为 .
【答案】
【知识点】二次根式的加减法；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（﹣10，1）关于y轴对称点Q（a+b，b﹣1），
∴a+b＝10，b﹣1＝1，
解得：a＝8，b＝2，
则 ＝ + ＝2 + ＝3 ，
故答案为：3 .
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，a+b=10，b-1=1，计算出a、b的值，然后代入可得 的值.
17．（2020八上·长宁期末）已知 ，当 分别取 时，所对应的 值的总和是 ．
【答案】2022
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 分别取 时，所有 值的总和是： ．
故答案是：2022．
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和。
18．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
三、综合题
19．（2020八下·呼和浩特月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
= ；
（3）原式=
=
=
= ；
（4）原式=
= ．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方差公式展开，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（4）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
20．（2020八上·鄄城月考）已知 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
【答案】解：∴原式=－a+a－b+c－a+c－b=－a－2b+2c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质，化简式子得到答案即可。
21．已知2a-1的平方根是 3,3a+b-9的立方根是2，c是 的整数部分，求a+2b+c的算数平方根。
【答案】解：∵2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2， ∴2a-1=9，3a+b-9=8， 解得：a=5，b=2； 又有7＜ ＜8 ，c是 的整数部分， 可得c=7； 则a+2b+c=16；故算术平方根为4.
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】由平方根的性质，即可得到（2a-1）的值，即可得到a的值，根据二次根式的性质，确定其整数部分可以得到c的值，根据立方根的性质以及a的值，计算得到b，即可得到代数式的值，计算其算术平方根即可。
22．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
23．（2020八上·青山期中）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）比较大小 （用“ ”、“ ”或“ ”填空）；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算：
【答案】（1）>
（2）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（ ）2﹣2
＝182﹣2
＝324﹣2
＝322
答：x2+y2的值为322．
（3）解：
＝ ＝1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
＝1﹣
＝
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝
；
比较 与
∵ ＞ ，2＞ ，
∴ +2＞ + ，
∴ 〉 ．
【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．
24．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
25．（2021八下·富顺月考）阅读理解：
求 的值．
解：
设
两边平方得：
∴ ，即 .
∴
∵
∴
请利用上述方法，求 的值．
【答案】解：设x=，
两边平方得x2===14，
∴x=±.
∵>0，
∴=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】设x=，两边平方可得x2=14，进而可得x的值，然后根据x>0进行取舍即可.
26．（2020八下·泰兴期中）阅读材料：
基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ 有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0， ＞0∴ ≥ ，即 ≥2 ，∴ ≥2
当且仅当x＝ ，即x＝1时，x+ 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x为 时，代数式3x+ 的最小值为 ；
（2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为
（3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.
【答案】（1）1；6
（2）
（3）解：设矩形的长为x米，宽= ，矩形的周长为2（ ），
∵x>0， >0，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，即x=3时， 有最小值6，2（ ）有最小值12
即矩形的周长的最小值为12，此时长为3，宽也为3.
【知识点】分式的混合运算；二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，3x>0， >0，
∴ ，
即 ，
当且仅当3x＝ ，即x＝1时，3x+ 有最小值，最小值为6.
故答案为：1，6；
（ 2 ）由基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0）得
即 （a＞0，b＞0）
当且仅当a＝b时等号成立，
∵a2+b2=7，
∴
即 ，当且仅当a=b= 时，等号成立，
故答案为： ；
【分析】（1）利用基本不等式即可解决问题；（2）利用基本不等式变形式即可得解；（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽= 米，则矩形周长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据基本不等式求解.
27．（2020八下·曾都期末）阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ……①（其中 、 、 为三角形的三边长， 为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ……②（其中 ）
（1）若已知三角形的三边长分别为3，5，6，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积 ；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程.
【答案】（1）解：由公式得①得
由②得 ，
故
（2）解：可以，过程如下：
，
【知识点】因式分解的应用；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据阅读材，将数值代入海伦公式即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导.
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