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北师版九年级上册数学4.7.1相似三角形中的对应线段之比教学设计
课题 4.7.1 相似三角形中的对应线段之比 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1、经历探索相似三角形中对应线段之比与相似比的关系的过程,知道相似三角形的性质.2、能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.3、在探索过程中体会类比思想、由特殊到一般的数学思想.
重点 探究“相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比”这个性质及其应用.
难点 相似三角形的性质的探索及应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 思考：1.什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？答案：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”表示。2.当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？这两个三角形全等3.全等三角形有哪些性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等。4.三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等。5.相似三角形又有哪些性质？ 学生思考回答问题。 回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．
讲授新课 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C' ，CD和C'D'分别是它们的立柱.（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.（2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（1）解：相似∴ △ABC∽△A'B'C'.∴ ∠A=∠C'A'D'.∵∠CDA=∠C'D'A',∴△ACD∽△A'C'D', 且相似比为1∶2.（2）∵△ACD∽△A'C'D', ∴ C'D'=3.∴ 模型房的房梁立柱高3 cm.想一想已知△ABC∽△A'B'C' ，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应中线的比呢？对应角平分线的比呢？请证明你的结论. 【探究1】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，∴△ABD∽△A' B' D' .类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kAD和A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高【探究2】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应角平分线的比是多少？证明：如图，作△ABC和△A′B′C′的角平分线CD和C'D'.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A＝∠A' ，∠ACB＝∠A'C'B' ∴∠ACB＝2∠ACD，∠A'C'B'＝2∠A'C'D'∴∠ACD＝∠A'C'D'∴△ACD∽△A'C'D'所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比。类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比． 由此得到：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kCD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线.【探究3】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应中线的比是多少？证明：如图，作△ABC和△A′B′C′的中线CD和C'D'.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A＝∠A' ， ∵CD和C'D'分别为△ABC和△A′B′C′的中线∴△ACD∽△A′C′D′，所以相似三角形对应中线的比等于相似比。类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比． 由此得到：相似三角形对应中线的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kCD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线.【总结归纳】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。【例1】 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD，∴ SR∥BC. ∴ ∠ASR=∠B， ∠ARS=∠C. ∴ △ASR∽△ABC . 当SR=1/2 BC时，得解得当SR=1/3 BC时，得解得 小组交流，合作思考教师提出的问题。学生类比探究，小组合作，证明结论。学生通过合作探究,可以发现相似三角形中对应角平分线、对应中线的比等于相似比.学生根据所学只是做练习。 通过学生小组合作探究,类比前面探究过程,引发学生主动探究意识、培养合作交流能力,发展学生的类比的思维能力,与归纳总结能力.学生通过计算,感知对应中线、对应高线之比等于相似比,猜测对应角平分线之比等于相似比,激发学生学习兴趣,层层设问,引发学生思维层层递进,从相似三角形的最基本性质展开研究,使学生明确相似比与对应高的比的关系。通过学生小组合作探究,类比前面探究过程,引发学生主动探究意识、培养合作交流能力,发展学生的类比的思维能力,与归纳总结能力.本题注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的性质有关知识解决相关问题.
课堂练习 1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为( C )A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为( A ) 3.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.解：∵ △ABC∽△DEF， 解得EH＝3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.如果AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，求AF∶AG的值．解：∵AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，∴AC＝4，AB＝6.∴AB∶AE＝AC∶AD＝2.又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.又∵AF为△ABC的角平分线，AG为△AED的角平分线，∴AF∶AG＝AC∶AD＝2.5.【2020·广西】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( B )A．15 B．20 C．25 D．306.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB.（1）求证：△BDE∽△EFC.证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE.∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC.∴△BDE∽△EFC.（2）设＝，若BC＝12，求线段BE的长；解：∵EF∥AB，∴＝＝.∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴＝，解得BE＝4. 学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 本节课你学到了什么？1.相似三角形对应高的比等于相似比2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比3.相似三角形对应中线的比等于相似比
板书 课题：4.7.1 相似三角形中的对应线段之比一、相似三角形对应高的比二、相似三角形对应角平分线和中线的比
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4.7.1 相似三角形中的对应线段之比
北师版 九年级上册
新知导入
思考：
1.什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？
2.当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊关系？
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k”表示。
这两个三角形全等
新知导入
思考：
3.全等三角形有哪些性质？
5.相似三角形又有哪些性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
4.三条主要线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？
全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等。
合作探究
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C' ，CD和C'D'分别是它们的立柱.
（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
（2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
新知讲解
（1）△ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
∴ ∠A=∠C'A'D'.
解：相似
∴ △ABC∽△A'B'C'.
∵∠CDA=∠C'D'A',
∴△ACD∽△A'C'D', 且相似比为1∶2.
新知讲解
（2）如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
解：（2）∵△ACD∽△A'C'D',
∴ C'D'=3.
∴ 模型房的房梁立柱高3 cm.
新知讲解
想一想
已知△ABC∽△A'B'C' ，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应中线的比呢？对应角平分线的比呢？请证明你的结论.
A
B
C
A'
B'
C'
新知讲解
【探究1】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应高的比是多少？
解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
A
B
C
A'
B'
C'
D
D'
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD∽△A' B' D' .
新知讲解
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
A
B
C
A'
B'
C'
D
D'
推理格式：
△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
AD和A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高
新知讲解
【探究2】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应角平分线的比是多少？
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
证明：如图，作△ABC和△A′B′C′的角平分线CD和C'D'.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A＝∠A' ，∠ACB＝∠A'C'B'
∴∠ACB＝2∠ACD，∠A'C'B'＝2∠A'C'D'
∴∠ACD＝∠A'C'D'
∴△ACD∽△A'C'D'
新知讲解
【探究2】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应角平分线的比是多少？
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
新知讲解
由此得到：
相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比．
推理格式：
△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
CD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的角平分线.
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
新知讲解
【探究3】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应中线的比是多少？
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
证明：如图，作△ABC和△A′B′C′的中线CD和C'D'.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A＝∠A' ，
∵CD和C'D'分别为△ABC和△A′B′C′的中线
新知讲解
【探究3】△ABC与△A'B'C'的相似比为k，它们对应中线的比是多少？
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
∴△ACD∽△A′C′D′，
所以相似三角形对应中线的比等于相似比。
新知讲解
由此得到：
相似三角形对应中线的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比．
推理格式：
△ABC∽△A′B′C′，相似比为k
CD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线.
C
A
B
D
C'
A'
B'
D'
新知讲解
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
【总结归纳】
一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。
合作探究
【议一议】如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上.
(1)若∠BAD= ∠BAC, ∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则 等于多少？
(2)若BE= BC，B′E′= B′C′，则 等于多少
新知讲解
【例1】 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR= BC时，求DE的长.
如果SR= BC呢？
解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD，∴ SR∥BC.
∴ ∠ASR=∠B， ∠ARS=∠C.
∴ △ASR∽△ABC .
新知讲解
【例1】 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR= BC时，求DE的长.
如果SR= BC呢？
当SR= BC时，得
解得
当SR= BC时，得
解得
课堂练习
1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为( )
A．3 cm
B．4 cm
C．4.5 cm
D．5 cm
C
课堂练习
2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A
课堂练习
A
G
B
C
D
E
F
H
3.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
拓展提高
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC，交DE于点G.如果AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，求AF∶AG的值．
中考链接
5.【2020·广西】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A．15
B．20
C．25
D．30
B
中考链接
6.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB.
（1）求证：△BDE∽△EFC.
证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
中考链接
6.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.相似三角形对应高的比等于相似比
2.相似三角形对应角平分线的比等于相似比
3.相似三角形对应中线的比等于相似比
板书设计
课题：4.7.1 相似三角形中的对应线段之比
教师板演区
学生展示区
一、相似三角形对应高的比
二、相似三角形对应角平分线和中线的比
作业布置
课本 P124 练习题
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