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北师版九年级上册数学4.7.2 相似三角形的周长和面积之比教学设计
课题 4.7.2相似三角形的周长和面积之比 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.经历探索相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方的过程，体会转化的数学思想.2.能用相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方解决实际问题.3.经历探索相似多边形的性质的过程，培养探索能力，加强合作意识学习重点: “相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方”的探索及应用.
重点 探索相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
难点 “相似三角形的面积比等于相似比的平方”的理解与探究，正向及反向运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.如果 （其中a+c+e≠0），那么 ______.2.两个相似三角形的相似比为2：3，则对应高的比______，则对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_______.相似三角形对应线段的比如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ 复习等比定理,便于学生证明“相似三角形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方” ,特别是“相似三角形面积比等于相似比的平方”. 学生们在一个特别熟悉的环境下,研究学生们熟悉的周长、面积问题,是顺理成章的事,学生基本上已能用自己的语言归纳总结出相似多边形周长和面积的关系,为学习相似多边形性质(2)打下了基础.
讲授新课 【动手画一画】在练习本上画边长为4的等边△ABC和边长为2的等边△A'B'C'，这两个三角形相似吗？这两个三角形的相似比是多少？△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？你有什么猜想？猜想：相似三角形的周长比等于相似比.如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，那么你能求出△ABC与△A'B'C'的周长比吗？△ABC与△A'B'C'的周长比也是k.想一想：怎么证明这一结论呢？如图，由已知，得性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．例【2021·湖南永州江华一模】已知△ABC的三边长分别是5，6，7，△A'B'C'与它相似，且△A'B'C'的最短长为10，则△A'B'C'的周长是__________。解析：设△A'B'C'的周长是x，∵△ABC∽△A'B'C'，△ABC的三边长分别是5，6，7，△A'B'C'的最短边长为10，∴ ，解得x=36，即△A'B'C'的周长是36.通过观察，计算相似比。这两个三角形的相似比是多少？△ABC与△ A'B'C'的面积比是多少？你有什么猜想？如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，你能求出△ABC与△ A'B'C'的面积比吗？分别作△ABC与△A'B'C'的高CD和C'D'，∵△ABC∽△A'B'C'，你能得到什么结论？相似三角形的面积比等于相似比的平方.【例】如图，在△ABC中，D，E分别为边AC、AB上的点，∠ADE=∠ABC，若AB=2AD，则的值为（ ）.议一议两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似n边形呢？和两个相似三角形的结论类似：两个相似多边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.例2 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF的重合部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，求△ABC平移的距离.解：根据题意，可知EG∥AB.∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.∴△GEC∽△ABC∴EC2=2.∴EC=∴BE=BC-EC=2－即△ABC平移的距离为2－ 学生动手操作，在练习本上画符合条件的三角形。学生猜想，得出答案。学生在教师的引导下总结归纳。学生根据所学知识做例题。学生观察图片，得出结论。学生在教师的引导下总结归纳。学生做例题。学生思考讨论问题。在教师的引导下做例题。 通过层层设疑引领学生不断思考,积极探索,让学生感受知识的发生发展过程,从而培养学生学数学的兴趣,增强学生的探究意识。层层深入推导,满足学生的认知需要，既符合学生的认知规律，又增强了知识之间的联系，使发散思维得以提升运用,大大提高了学生的逻辑思维能力以及合作交流意识,同时引导学生学会转化的思想及方法.在得出定理后,及时进行由浅入深、由易到难的思维训练。通过探究、论证,到运用解决实际问题, 方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法,另一方面又感受到了数学来源于生活又服务于生活。对引例的变式训练是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式。用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方求出边长和三角形的面积,再把面积转化为所需的条件,考查了学生综合运用知识的能力。
课堂练习 1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为( B )A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶42.已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( A ).A．3 B．2 C．4 D．53.如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是( B )A. B．25 C．35 D．634.如图，已知在□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是( C )A．FA∶FB＝1∶2 B．AE∶BC＝1∶2C．BE∶CF＝1∶2 D．S△ABE∶S△FBC＝1∶45.某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木，如图，其中AD∥BC，AD＝10 m，BC＝20 m.他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8元/m2.当△AMD地带上种满太阳花后(图中阴影部分)，共花了160元，请计算种满△CMB地带所需要的费用．解：∵AD∥BC，∴易得△AMD∽△CMB.∵种满△AMD地带花了160元，∴S△AMD＝160÷8＝20(m2)．∴S△CMB＝20×4＝80(m2)．∴种满△CMB地带所需要的费用为80×8＝640(元)．6.【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于( B )A. B． C. D．7.【中考·通辽】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，交AC于点F，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE.下列结论：①S ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE. 其中正确的个数有( B )A．1个 B．2个C．3个 D．4个 学生利用所学知识做练习。 课堂练习的布置,帮助学生对知识的保持和迁移,尊重学生的个体差异满足多样化的学习需要,使不同层次的学生有不同的收获。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.相似三角形周长之比等于相似比2.相似三角形面积之比等于相似比的平方 让学生归纳刚获得的知识和技能,再引导学生回顾知识
板书 课题：4.7.2 相似三角形的周长和面积之比一、相似三角形周长之比等于相似比二、相似三角形面积之比等于相似比的平方
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4.7.2 相似三角形的周长和面积之比
北师版 九年级上册
新知导入
1.如果 （其中a+c+e≠0），那么 ______.
2.两个相似三角形的相似比为2：3，则对应高的比______，则对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_______.
2
2：3
2：3
2：3
新知导入
相似三角形对应线段的比
如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
合作探究
△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？
【动手画一画】在练习本上画边长为4的等边△ABC和边长为2的等边△A'B'C'，这两个三角形相似吗？
这两个三角形的相似比是多少？
4
2
你有什么猜想？
新知讲解
如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，那么你能求出△ABC与
△A'B'C'的周长比吗？
猜想：相似三角形的周长比等于相似比.
△ABC与△A'B'C'的周长比也是k.
想一想：怎么证明这一结论呢？
新知讲解
A
B
C
A'
B'
C'
如图，由已知，得
性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．
新知讲解
例【2021·湖南永州江华一模】已知△ABC的三边长分别是5，6，7，△A'B'C'与它相似，且△A'B'C'的最短长为10，则△A'B'C'的周长是__________。
36
解析：设△A'B'C'的周长是x，∵△ABC∽△A'B'C'，△ABC的三边长分别是5，6，7，△A'B'C'的最短边长为10，
∴ ，解得x=36，即△A'B'C'的周长是36.
新知讲解
3
通过观察，计算相似比。
这两个三角形的相似比是多少？
△ABC与△ A'B'C'的面积比是多少？
1
你有什么猜想？
新知讲解
如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，你能求出△ABC与△ A'B'C'的面积比吗？
A
B
C
A'
B'
C'
分别作△ABC与△A'B'C'的高CD和C'D'，
D
D'
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴
新知讲解
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
你能得到什么结论？
【例】如图，在△ABC中，D，E分别为边AC、AB上的点，∠ADE=∠ABC，若AB=2AD，则 的值为（ ）.
A
B
C
E
D
C
新知讲解
议一议
两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？
两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？
两个相似n边形呢？
和两个相似三角形的结论类似：两个相似多边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
新知讲解
例2 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
新知讲解
例2 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF的重合部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，求△ABC平移的距离.
∴EC2=2.
∴EC=
∴BE=BC-EC=2－
即△ABC平移的距离为2－
课堂练习
1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为( )
A．2∶1
B．1∶2
C．4∶1
D．1∶4
B
课堂练习
2.已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( ).
A．3
B．2
C．4
D．5
A
课堂练习
B
课堂练习
4.如图，已知在□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是( )
A．FA∶FB＝1∶2
B．AE∶BC＝1∶2
C．BE∶CF＝1∶2
D．S△ABE∶S△FBC＝1∶4
C
拓展提高
5.某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块四边形空地ABCD上
种植花木，如图，其中AD∥BC，AD＝10 m，BC＝20 m.
他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8元/m2.当△AMD地带上种满太阳花后(图中阴影部分)，共花了160元，请计算种满△CMB地带所需要的费用．
拓展提高
解：∵AD∥BC，∴易得△AMD∽△CMB.
∵种满△AMD地带花了160元，
∴S△AMD＝160÷8＝20(m2)．
∴S△CMB＝20×4＝80(m2)．
∴种满△CMB地带所需要的费用为80×8＝640(元)．
中考链接
B
中考链接
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.相似三角形周长之比等于相似比
2.相似三角形面积之比等于相似比的平方
板书设计
课题：4.7.2 相似三角形的周长和面积之比
教师板演区
学生展示区
一、相似三角形周长之比等于相似比
二、相似三角形面积之比等于相似比的平方
作业布置
课本 P111 练习题
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