第三章 圆培优填空题选编 2021—2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆培优填空题选编 2021—2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-11 08:06:24 | ||
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文档简介
第三章 圆培优填空题选编
1.（2021九上·江阴月考）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2 ， 则该半圆的半径为 cm.
2.（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
3.（2021九上·鹿城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，点P在以D（4，6）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最大值为 .
4.（2021九上·温州月考）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
5.（2021九上·邗江月考）如图，点 ， ， ， 为 上的四个点， 平分 ， 交 于点 ， ， ，则 的长为 .
6.（2021·岳阳）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ， ， 为 的外接圆，过点 作 的切线 交 于点 ，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③若 ，则 的长为 ；④ ；⑤若 ，则 .
7.（2021·荆州模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是 .
8.（2021·攸县模拟）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则 的最小值为 .
9.（2021·东河模拟）如图，在 中， ，以AB为直径的 分别交AC ， BC于点D ， E ， 过点B作 的切线与AC的延长线交于点F ， 若 ， ，则BF的长为 ．
10.（2021·江干模拟）如图， 的弦 、 相交于点 ， 为弧 的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， 的半径为 ， ，则 .
11.（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
12.（2021·随县模拟）小君家购入如图1的划船机一台，如图2是划船机的部分示意图.阻尼轮 由支架 和 支撑，点A处于点O的正下方， 与 相切，脚踏板点E和圆心O在连杆 上， 部分隐藏在阻尼轮内部，测量发现点E到地面的高度 为35 ，E、A两点间的水平距离 为72 ， ，则 的长为 .
13.（2021·青白江模拟）如图，A，C是双曲线 上关于原点对称的点，B，D是双曲线 上关于原点对称的点，圆弧 与 围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
14.（2021·博山模拟）如图，圆心都在 轴正半轴上的半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线l相切．设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，则当直线l与x轴所成锐角为 ，且 时， ．
15.（2021·河东模拟）如图，放置在直线l上的扇形OAB ， 由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
16.（2021·成华模拟）如图，在半径为3 的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是 .
17.（2021九下·叙州期中）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是 的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F ， DB交AC于点G ， 若 ＝ ，则 ＝ ．
18.（2021·鄞州模拟）如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
19.（2021·北部湾模拟）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点.将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E.若∠OCD＝45°，OC＝ +1，则扇形AOB的半径长是 .
20.（2021·临邑模拟）如图， 是⊙O的直径， ，过点B作 的切线，C是切线上一点，且 ，P是线段 的中点，连接 交⊙O于点D，过点P作 的垂线，交切线 于点E，交⊙O于点F，则 的长为 ．
21.（2021九上·长沙月考）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 .
22.（2021·惠城模拟）如图，半径为 的 中， 为直径，弦 且过半径 的中点，点 为 上一动点， 于点 ．当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为 ．
23.（2021·岳阳模拟）如图，已知点C是以 为直径的⊙O上一点， 于点H，过点B作⊙O的切线交直线 于点D，点E为 的中点，连接 并延长交 于点F，连接 .给出下列结论：① ；② 是⊙O的切线；③若 ，则⊙O的半径为 ；④若 ，⊙O的半径为3，则弧 的长 .其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）
24.（2021九下·咸宁月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4 .
其中正确的是 .（填序号）
25.（2021九上·台州期末）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF CP为定值.
26.（2021九上·乐清期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且 ， ， 的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若 ，则 ________ .
27.（2021九上·长兴期末）如图，在 中，点 为弧 的中点，弦 ， 互相垂直，垂足为 ， 分别与 ， 相于点 ， ，连结 ， .若 的半径为2， 的度数为 ，则线段 的长是 .
28.（2020九上·崇川月考）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC.给出下列结论：
①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP AD＝CQ CB.
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.
29.（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是________．
30.（2020九上·镇海期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC=6，那么△ACD的面积是________。
31.（2020九上·南京月考）如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6.M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为________.
32.（2020九上·乐清月考）如图,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60 ,点O在∠B内,点D为 上的动点,点M,N,P分别是AD,DC,CB的中点。若⊙O的半径为4,则PN+MN的长度的最大值是________。
33.（2020·岳阳模拟）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为________．
34.（2020九下·江油开学考）如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则 ＝________．
35.（2020·龙泉驿模拟）如图直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，C是 的中点，点D在直线 上，以 为直径的圆与直线 的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知 ， ，则 的长是________．
36.（2020八下·温州月考）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为BC边上的一个动点，EF∥BD交CD于点F，作点C关于EF的对称点C'，连接C'E，C'F，以EC'为直径作⊙O，当⊙O与矩形ABCD的边相切时，CE的长为________。
37.（2020九上·诸暨期末）如图，在半径为5的⊙ 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，线段 的长为________.
38.（2019九上·北京月考）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在以 为圆心，1为半径的 上， 是 的中点，已知 长的最小值为1，则 的值为________.
39.（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________．
40.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是________.
41.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为 ，则△ABC的周长为________.
42.（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
43.（2019·道真模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC， ，AD=3.给出下列结论：①AC平分∠BAD；②△ABC∽△ACE；③AB=3PB；④S△ABC=5，其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）.
44.（2019·温州模拟）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH=________.
45.（2019·平阳模拟）婷婷在发现一个门环的示意图如图所示.图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12 cm，则该圆的半径为________cm.
46.（2019九下·温州竞赛）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AB=24．D，E是AB的三等分点，以AD为直径的⊙E正好过点C．P点为⊙E上一点，弦PC与半径AE交于点F，过点F作FG⊥CA，垂足为G，连接PA．若 ，则EF的长是________
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
故答案为：.
2.【答案】 24
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
3.【答案】 4 ＋1
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵点A（0，2），B（0，2＋m），C（0，2 m）（m＞0），
∴AB＝（2＋m） 2＝m，AC＝2 （2 m）＝m，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝ BC＝AB＝m，
要m最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴点P在AD延长线上，
即P为AD延长线与圆D的交点，
则AP＝AD＋PD，
∵A（0，2），D（4，6），
∴AD＝ ，
∴m的最大值是AP＝AD＋PD＝4 ＋1，
故答案为：4＋1.
4.【答案】
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交 于点E，连接OC，则点E是 的中点，
由折叠的性质可得点O为 的中点，
∴S弓形BO=S弓形CO ，
在Rt△BOD中，OD=DE= R=2，OB=R=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC= .
故答案为：π.
5.【答案】 5
【解析】【解答】解：连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
解得： .
.
故答案为：5.
6.【答案】 ①②④⑤
【解析】【解答】解:①∵DE是 的垂直平分线
∴
故正确
②∵DE是 的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故正确
③连接OC
∵DE是 的垂直平分线
∴
∴∠EBD=∠A=40°
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-40°=50°
∴∠EBC=50°-40°=10°
∵∠EOC=2∠EBC
∴∠EOC=20°
∴
故错误
④∵DE⊥AB， F是 的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴
故正确
⑤∵ ，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB中，
∵DE是 的垂直平分线
∴ ，AE=BE=8
∵在Rt△ADE和Rt△ACE中
∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
∴
∴
∴AC=10.24
又AE=BE=8
∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24
故正确
故答案为：①②④⑤
7.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB＝10，
∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AC＝12，
∴QC＝ ，
∴CE＝QC QE＝13 5＝8，
故答案为：8.
【分析】如图，连接AE，由圆周角定理得到点E在以AB为直径的⊙Q上，接着根据点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），最后根据勾股定理求出QC进而即可得到答案.
8.【答案】 10
【解析】【解答】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值.
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝ DE＝2，
∴NP＝MN MP＝EF MP＝1，
∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10.
故答案为10.
9.【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB是 的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵直线BF是 的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABE+∠CBF=90°，又∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
则 ，
在Rt△AEB中，AB=5， ，
∴BE= ，
∴BC=2BE= ，
过C作CM⊥BF于M，则CM∥AB，
在Rt△CMB中， ，即 ，
解得：CM=2，
由勾股定理得：BM= =4，
由AB∥CM得△FCM∽△FAB，
，
即 ，
解得：BF= ，
故答案为： ．
10.【答案】
【解析】【解答】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH=BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC，
∴AC=AE，
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AC=5λ，AB=8λ，
∴AH=4λ，HE=λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ，
∴OH=OC-CH= -3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2 ，
∴CE= λ，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2=AH2+OH2 ，
即（ ）2=（4λ）2+（ -3λ）2 ，
解得λ=1，
∴CE= λ= ，
故答案为： .
11.【答案】
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO ，
∴BO=BC+CO=BC+CD ，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2 ， 即AB2+(2AB)2=52 ，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO ， 再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
12.【答案】 50
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OA交OA于点H，
∵ 与 相切，
∴AD⊥CD，
∴ ，
∵O为CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∵EH=AF=72，
∴OH=30，
∵AH=EF=35，
∴AO=65，
∵ ，
∴设AD=12x，OD=5x，则AO= ，
∴13x=65，即：x=5，
∴OD=25，
∴CD=2×25=50.
故答案为：50.
13.【答案】
【解析】【解答】解：设点A ， 要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，
∴
∴当时，OA的最小值为
∴x=1（负值舍去）
∴点A（1，1），点C（-1，1）；
∴AC=
设点B ， 要使当线段BD都最短，就是使OB最短，
∴
∴当时，OB的最小值为
∴x=-（负值舍去）
∴点B ， 点D；
∵点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∴BC=AB=CD=AD，
∴
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB
∴
∴S阴影部分=.
故答案为：
14.【答案】
【解析】【解答】解：过点 分别作 交l于点A ， B ， C ，
∵半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线 相切，设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，
．
∵ ，
．
在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
．
同理可得 ，
故答案为： ．
【分析】根据图形找出规律求解即可。
15.【答案】
【解析】【解答】解：如图，
点O的运动路径的长 的长+ 的长
故答案为
【分析】根据弧长公式求解即可。
16.【答案】 8
【解析】【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝ BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝ DF，
∵OD＝3 ，
∴OF＝ ，
∴BC＝2 ，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2 ，
∴AC＝ ＝ ＝8，
故答案为8.
17.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CB，DA，DC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB= 90°，
∵D是AC的中点，
∴弧AD= 弧DC ，
∴∠DCA=∠ABD，
∴∠DAC =∠DCA，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠EBD =∠GBC，
∵DE⊥AB，即∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE= 90°-∠EDB，
∵∠CBG = 90°-∠CGB，
∴∠ADE =∠CBG，
∴∠ADE=∠CBG =∠ABD，
∴∠DAF=∠ADF，
∴ FA= FD，
∵ ，
设EF= 3x，则AE= 4x，
∴AF= ，
∵sin∠CBG= ， sin∠ADE= ，
∵∠CBG=∠ADE，
∴== ，
故答案为：.
18.【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠ODE＝90°，
∵A为OE的中点，
∴OA＝AE＝4，
在Rt△ODE中，
∵sinE＝ ＝ ，
∴∠E＝30°，
在Rt△BCE中，BC＝ BE＝12× ＝4 ，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝4 .
故答案为4 .
19.【答案】 2+
【解析】【解答】解：作 关于 的对称点 ，连接 、 ，如图1所示：
则 为扇形 的半径，
由折叠的性质得： ， ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
折叠后的图形恰好与半径 相切于点 ，
，
，
，如图2所示：
；
故答案为： .
20.【答案】
【解析】【解答】解： 是⊙O的直径， ，
是线段 的中点，
是⊙O的切线，
中，
，
故答案为： ．
21.【答案】 18
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18.
故答案为：18.
22.【答案】
【解析】【解答】
点 的路径是以 为半径， 中点为圆心的一段圆弧
如图，连接 ，设 于点 ，连接 的中点 和点 ,
的半径为 ,弦 且过半径 的中点， 为直径
,
,
故答案为： ．
23.【答案】 ①②③
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴CH∥BD，
∴ ，
∵CE＝EH，
∴DF＝BF，
∴①正确；
连接OC、BC、OF，
∴∠ACB＝90°，
∴CF＝ BD＝BF，
∵OC＝OB，OF＝OF，
∴△OCF≌△OBF（SSS），
∴∠OCF＝∠OBF＝90°，
∴CF是⊙O的切线，
故②正确；
如图2，过点F作FG⊥CH于点G，
若CF＝EF＝2，
∴CG＝EG＝ CE＝ EH，
∵FG⊥CH，CH⊥AB，
∴FG∥AH，
∴ ，
设FG＝a，则AH＝2a，
而四边形BFGH是矩形，
∴AB＝AH＋BH＝3a，
∴OC＝ a，OH＝ a，
∵∠OCH＋∠FCG＝∠OCF＝90°＝∠OCH＋∠COH，
∴∠FCG＝∠COH，
∴△FCG∽△COH，
∴ ，即：CG OC＝OH CF，
则CG a＝ a 2，
∴CG＝ ，故CH＝4CG＝ ，
∵OC2＝OH2＋CH2 ，
∴（ a）2＝（ ）2＋（ ）2 ，
解得：a＝ ，
从而半径OC＝ a= ，
故③正确；
由BC的长度＝3 ＝ ，
得：∠BOC＝180°，
此时点C与点A重合，这与题意不符，
故④不正确，
综上所述，正确的结论是①②③.
故答案为：①②③.
24.【答案】 ①②⑤
【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
∴tan∠AED= ；故③错误；
④∵∠AFD=∠CFE，∠ADC=∠AEC
∴△AFD∽△CFE
∴ ，即 ，解得：
∴EF≠DF
则∠AED≠∠CDE，而∠ADC=∠AED
∴∠ADC≠∠CDE
∴CD并不平分∠ADE，故④错误
⑤∵DF=DG+FG=6，AD=
∴S△ADF= DF AG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴
∴ ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4 ；故⑤正确.
故答案为：①②⑤.
25.【答案】 ②⑤
【解析】【解答】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为 的中点，这与P为 上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC ，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴ 的长度 ，
故②正确；
③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，
故③错误；
④∵M、C是 的三等分点，
∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
但∠BFP＞∠FCB，
∠PBF＜∠BFC，
∴△BCF∽△PFB不成立，
故④错误；
⑤∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠BCF＝∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故⑤正确，
故答案为：②⑤.
26.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∵∠A=∠EDF=90°，AD∥BC，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵EF=BE，
∴△ABE≌△DEF（AAS），
∴DE=AB=4，
如图，连接GO并延长，交ED于点M，
∵⊙O与BC切于点G，
∴GM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴GM⊥ED，
则四边形ABGM为矩形，
∴AB=MG=4，EM=DM= ED=2，
设⊙O半径为r，
在Rt△OEM中，
OM2+EM2=OE2 ，
∴（4-r）2+22=r2 ，
解得，r= ，
∵∠EDF=90°，
∴EF为⊙O的直径，∠EHF=90°，
∴EF=2r=5，
∵EF⊥BE，EF=BE，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EFH=45°，
∴EH= EF= ，
过点E作EN⊥HD于点N，
∵ ，
∴∠EHN=∠EFD，
又∵∠ENH=∠EDF，
∴△ENH∽△EDF，
∴ ，
即 ，
∴EN= ，
在Rt△EHN中，
HN= ，
∵∠EDN=∠EFH=45°，
∴在等腰Rt△END中，
ND= ED= ，
∴DH=DN+HN= ，
故答案为： .
27.【答案】
【解析】【解答】连接OA，OB，AB，AC，
∵ 的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2 ，
∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵ ，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN AB＝ .
故答案为： .
28.【答案】 ②③④
【解析】【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则 ，
∵ ，
∴ ，显然不可能，故①错误.
②正确，连接OD.
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正确.
③正确，∵AB⊥CE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴点P是△ACQ的外心，故③正确.
④正确，连接BD.
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴ ，
∴AP AD=AF AB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AF AB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ CB，
∴AP AD=CQ CB，故④正确.
故答案为：②③④.
29.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
30.【答案】 21
【解析】【解答】解：如图，连接OD，作AG⊥AD于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB=90°，
∴∠ACE=∠B，
∵OC=OB，
∵∠B=∠BCO，
∴∠ACE=∠BCO，
∵CD平分∠ECO，
∴∠ECD=∠OCD，
∴∠ACE+∠ECD=45°，
∵AC=6，
∴AG=CG=3 ，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD，
∴OD⊥OA，
∴OA=OD，
∵AB=10，
∴AD=OA=5 ，
∴DG===4 ，
∴CD=CG+GD=3+4=7 ，
∴ △ACD的面积=×CG×AG=×7×3=21.
故答案为：21.
31.【答案】
【解析】【解答】解： 过 三点的圆与 相切，
点 为切点，
设过 三点的圆的圆心为 ，
连接 ，
则 ，
过 作 于 ，延长 交 于
，
，
设 ，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
解得： （不合题意舍去)，
半径的长为 ;
故答案为：》
32.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH=OC×sin60°=2 ，
∴AC=4 ，
∵CN=DN，AM=DM，
∴MN=AC=2 ，
同理PN=BD，
当BD是直径时，PN的值最大，
∴PN+MN的最大值是4+2.
故答案为：4+2.
33.【答案】 ＜AP＜ 或AP＝5
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴x＝ ，
即AP＝ ；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
∴S ABCD＝ ×6×8×2＝10PG，
∴PG＝ ，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时， ＜AP＜ ，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是： ＜AP＜ 或AP＝5，
故答案为： ＜AP＜ 或AP＝5．
34.【答案】
【解析】【解答】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，
∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）
∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2 ，
∴BE2﹣AE2＝AC2 ，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，
∴△ACD∽△DHB，
∴ ，
∴AC2＝AE BE，
∴BE2﹣AE2＝AE BE，
∴BE＝ AE，
∴
故答案为： ．
35.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M ， 直线y＝﹣2交y轴于P ， 作CH⊥OB于H ， 连接O′F ， 作AJ⊥DM于J ， O′N⊥FG于N ．
∵CD是⊙O′的直径，∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A ， B ，
∴A（m ， 0），B（0，m），
∴OA＝OB ， ∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM ， ∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，∴ED＝EM ，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝ ，
∵JA⊥DM ， ∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2 ，
∴BC＝CA＝4 ，∴AB＝8 ，∴BO＝AO＝8，
∴A（8，0），B（0，8），C（4，4），
设D（m ， ﹣2），则O′（ （m+4），1），
∴O′N＝ （m+4），O′F＝ CD＝ ，
∵O′N⊥FG ， ∴FN＝ ，
在Rt△O′FN中，由勾股定理，得： ，解得m＝1，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
36.【答案】 或
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与矩形的边AB相切于点G，与边BC交于另一点I，连结C'I，作直线OG交C'I于点K，作FH⊥C'I于H，
∴∠OGB=90°，
∵EC'为⊙O的直径，
∴∠C'IB=90°，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，
∴四边形BIKG为矩形，
∵O为EC'中点，
∴K为C'I的中点，
∵∠C'EI=90°-∠EC'I=∠FC'H，
∵∠C'IE=∠FHC'，
∴△C'HF∽△EIC'，
∵EF∥BD，
∴∠C'EF=∠CEF=∠CBD，
∴tan∠C'EF=
,
设C'H=3a，HF=3b，则EI=4a，C'I=4b，
∵四边形HICF为矩形，
∴FC=HK=4b-3a，EC=3b+4a，
∵FC：EC=3:4，
∴a：b=7:24，即tan∠C'EI= ，
设BE=x，则EC'=EC=8-x，
∴EI=（8-x），OK= ，
∵KG=BI，
∴,解得x= ，
∴EC=.
当⊙与AD相切时，可得IC'=CD=6，EI= ，
∴EC=EC'=
故答案为：或.
37.【答案】 8或
【解析】【解答】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ，
由垂径定理可知 ，
∴ ，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴ ，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则 ，
∴ ；
②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
38.【答案】
【解析】【解答】如图,连接BP,由对称性得:OA=OB,
∵M是AP的中点,
∴OM= BP,
∵OM长是最小值为1,
∴BP长的最小值为1×2=2,
如图,当BP过圆点C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,
∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,
∵B在直线y=-2x上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:
BC2=CD2+BD2,
∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或 ,
∴B( , ),
∵点B在反比例函数 的图象上,
∴k= × = .
故答案为: .
39.【答案】 ．
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
40.【答案】 3
【解析】题干修改为： 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是 1 .
【解答】解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，
∴BE最大时， 最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝ =5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
在Rt△GME中，GM＝EG sin∠AEP＝ ，
而BE＝GE﹣BG＝GE ，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝ +HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝ ，
∴GP'＝HP'+HG＝ ，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt△GP'F中，FG＝ ，
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴ 最大值为1+ ＝3，
故答案为：3.
41.【答案】 25
【解析】【解答】如图，
可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF= DE EF= ，
∴DE= ，EF=4，
∴DF= ，
∴PH=DE= ，MQ=EF=4，NK=DF= ，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+ ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+ ，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴ ，
解得： ，
∴AC= + ，BC=10，AB= + +5，
∴AC+BC+AB= + +10+ + +5=7+3+10+5=25，
故答案为：25.
42.【答案】
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
43.【答案】 ①②③④
【解析】【解答】连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAD；故①正确，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△AEC∽△ACB，故②正确，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴ ，
∴PC2=PB PA，
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB，
∴PA=4PB，
∴AB=3PB；故③正确
过点O作OH⊥AD于点H，则AH= AD= ，四边形OCEH是矩形，
∴OC=HE，
∴AE= +OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴ ，
∵AB=3PB，AB=2OB，
∴OB= PB，
∴ ，
∴OC= ，
∴AB=5，
∵△PBC∽△PCA，
∴ ，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ，
∴（2BC）2+BC2=52 ，
∴BC= ，
∴AC=2 ，
∴S△ABC= AC BC=5.故④正确，
故答案为：①②③④.
44.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC交DC于N，HP//CF教BC于P。，
∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，
∴△BAE≌△EDF，
∴DE=AB=8，
∵⊙O切BC于G，
∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
∴ME= DE=4，
在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2 ， 即OE2=(8-OE)2+42 ，
解得：OE=5，
∴OM=3，
∵OM是△DEF的中位线，
∴DF=2OM=6，
∴CF=8-6=2，
∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
∵BE=EF，
∴BH=HF，
∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，
∴四边形HPCN是矩形，
∴PH是△BFC的中位线，
∴PH=CN，PH=CF，
∴CN=1，FN=1，
∴DN=6+1=7，
∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，
∴∠HDN=45°，
∴△DHN是等腰直角三角形，
∴DH=DN=7.
45.【答案】
【解析】【解答】解：连接OB，OP，
∵AB＝BC，O为AC的中点，
∴OB⊥AC，
∵AQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AQ，
设该圆的半径为r，
∴OB＝OP＝r，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝ ，
∴AC＝ ，
∴sin∠PAO＝ ，
过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，
则四边形DHGC是矩形，
∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，
∴sin∠PAO＝ ，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，
∴QG＝12，
∴AG＝ ，
∴QH＝12﹣2r，DH＝ ，
∴tan∠QDH＝tan30°＝ ，
解得r＝ ，
∴该圆的半径为 cm，
故答案为： .
46.【答案】
【解析】【解答】 解：如图，过C作CH⊥AB，
AC=BC，AB=24, 则AH=BH=12, D，E是AB的三等分点 AD= ，
则DH=AD-AH=16-12=4，在Rt△ACD和Rt△CHD中，∠D公用，△ACD∽Rt△CHD ∴HC2=DH×AH=48；
∵∠PDA和∠PCA所对的弧都是PA弧，则∠PDA=∠PCA，AD是直径，则∠APD=∠FGC=90°，∴△CFG∽△DAP，, ∴ ，
∴FH2=FC2-HC2， , EH=ED-HD=8-4=4，则EF=FH-EH=
故答案为：
1.（2021九上·江阴月考）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2 ， 则该半圆的半径为 cm.
2.（2021九上·长沙月考）如图，已知 ， 分别切⊙O于A、B， 切⊙O于E，若 ， ，则△ 周长为 .
3.（2021九上·鹿城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，点P在以D（4，6）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，则m的最大值为 .
4.（2021九上·温州月考）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
5.（2021九上·邗江月考）如图，点 ， ， ， 为 上的四个点， 平分 ， 交 于点 ， ， ，则 的长为 .
6.（2021·岳阳）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ， ， 为 的外接圆，过点 作 的切线 交 于点 ，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
① ；② ；③若 ，则 的长为 ；④ ；⑤若 ，则 .
7.（2021·荆州模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是 .
8.（2021·攸县模拟）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则 的最小值为 .
9.（2021·东河模拟）如图，在 中， ，以AB为直径的 分别交AC ， BC于点D ， E ， 过点B作 的切线与AC的延长线交于点F ， 若 ， ，则BF的长为 ．
10.（2021·江干模拟）如图， 的弦 、 相交于点 ， 为弧 的中点，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ，若 ， 的半径为 ， ，则 .
11.（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
12.（2021·随县模拟）小君家购入如图1的划船机一台，如图2是划船机的部分示意图.阻尼轮 由支架 和 支撑，点A处于点O的正下方， 与 相切，脚踏板点E和圆心O在连杆 上， 部分隐藏在阻尼轮内部，测量发现点E到地面的高度 为35 ，E、A两点间的水平距离 为72 ， ，则 的长为 .
13.（2021·青白江模拟）如图，A，C是双曲线 上关于原点对称的点，B，D是双曲线 上关于原点对称的点，圆弧 与 围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
14.（2021·博山模拟）如图，圆心都在 轴正半轴上的半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线l相切．设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，则当直线l与x轴所成锐角为 ，且 时， ．
15.（2021·河东模拟）如图，放置在直线l上的扇形OAB ， 由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
16.（2021·成华模拟）如图，在半径为3 的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是 .
17.（2021九下·叙州期中）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是 的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F ， DB交AC于点G ， 若 ＝ ，则 ＝ ．
18.（2021·鄞州模拟）如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是 .
19.（2021·北部湾模拟）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点.将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E.若∠OCD＝45°，OC＝ +1，则扇形AOB的半径长是 .
20.（2021·临邑模拟）如图， 是⊙O的直径， ，过点B作 的切线，C是切线上一点，且 ，P是线段 的中点，连接 交⊙O于点D，过点P作 的垂线，交切线 于点E，交⊙O于点F，则 的长为 ．
21.（2021九上·长沙月考）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 .
22.（2021·惠城模拟）如图，半径为 的 中， 为直径，弦 且过半径 的中点，点 为 上一动点， 于点 ．当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为 ．
23.（2021·岳阳模拟）如图，已知点C是以 为直径的⊙O上一点， 于点H，过点B作⊙O的切线交直线 于点D，点E为 的中点，连接 并延长交 于点F，连接 .给出下列结论：① ；② 是⊙O的切线；③若 ，则⊙O的半径为 ；④若 ，⊙O的半径为3，则弧 的长 .其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）
24.（2021九下·咸宁月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：
①△ADF∽△AED； ②FG＝2； ③tan∠AED＝ ；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4 .
其中正确的是 .（填序号）
25.（2021九上·台州期末）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF CP为定值.
26.（2021九上·乐清期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且 ， ， 的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若 ，则 ________ .
27.（2021九上·长兴期末）如图，在 中，点 为弧 的中点，弦 ， 互相垂直，垂足为 ， 分别与 ， 相于点 ， ，连结 ， .若 的半径为2， 的度数为 ，则线段 的长是 .
28.（2020九上·崇川月考）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC.给出下列结论：
①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP AD＝CQ CB.
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.
29.（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是________．
30.（2020九上·镇海期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC=6，那么△ACD的面积是________。
31.（2020九上·南京月考）如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6.M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为________.
32.（2020九上·乐清月考）如图,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60 ,点O在∠B内,点D为 上的动点,点M,N,P分别是AD,DC,CB的中点。若⊙O的半径为4,则PN+MN的长度的最大值是________。
33.（2020·岳阳模拟）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．不难发现，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化．如图2，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点．若公共点的个数为4，则相对应的AP的取值范围为________．
34.（2020九下·江油开学考）如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则 ＝________．
35.（2020·龙泉驿模拟）如图直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，C是 的中点，点D在直线 上，以 为直径的圆与直线 的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知 ， ，则 的长是________．
36.（2020八下·温州月考）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为BC边上的一个动点，EF∥BD交CD于点F，作点C关于EF的对称点C'，连接C'E，C'F，以EC'为直径作⊙O，当⊙O与矩形ABCD的边相切时，CE的长为________。
37.（2020九上·诸暨期末）如图，在半径为5的⊙ 中，弦 ， 是弦 所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，线段 的长为________.
38.（2019九上·北京月考）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在以 为圆心，1为半径的 上， 是 的中点，已知 长的最小值为1，则 的值为________.
39.（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________．
40.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是________.
41.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为 ，则△ABC的周长为________.
42.（2021·黄冈模拟）如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
43.（2019·道真模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC， ，AD=3.给出下列结论：①AC平分∠BAD；②△ABC∽△ACE；③AB=3PB；④S△ABC=5，其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）.
44.（2019·温州模拟）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH=________.
45.（2019·平阳模拟）婷婷在发现一个门环的示意图如图所示.图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12 cm，则该圆的半径为________cm.
46.（2019九下·温州竞赛）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AB=24．D，E是AB的三等分点，以AD为直径的⊙E正好过点C．P点为⊙E上一点，弦PC与半径AE交于点F，过点F作FG⊥CA，垂足为G，连接PA．若 ，则EF的长是________
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
故答案为：.
2.【答案】 24
【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，点A是切点，
∴PA⊥OA；
∴PA＝ ，
∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB；
同理可得：DA＝DE，CE＝CB.
∵△PCD的周长＝PC＋CE＋ED＋PD，
∴△PCD的周长＝PC＋CB＋AD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝24.
故答案为：24.
3.【答案】 4 ＋1
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵点A（0，2），B（0，2＋m），C（0，2 m）（m＞0），
∴AB＝（2＋m） 2＝m，AC＝2 （2 m）＝m，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴AP＝ BC＝AB＝m，
要m最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴点P在AD延长线上，
即P为AD延长线与圆D的交点，
则AP＝AD＋PD，
∵A（0，2），D（4，6），
∴AD＝ ，
∴m的最大值是AP＝AD＋PD＝4 ＋1，
故答案为：4＋1.
4.【答案】
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交 于点E，连接OC，则点E是 的中点，
由折叠的性质可得点O为 的中点，
∴S弓形BO=S弓形CO ，
在Rt△BOD中，OD=DE= R=2，OB=R=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC= .
故答案为：π.
5.【答案】 5
【解析】【解答】解：连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
解得： .
.
故答案为：5.
6.【答案】 ①②④⑤
【解析】【解答】解:①∵DE是 的垂直平分线
∴
故正确
②∵DE是 的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故正确
③连接OC
∵DE是 的垂直平分线
∴
∴∠EBD=∠A=40°
在Rt△ABC中，∠ABC=90°-40°=50°
∴∠EBC=50°-40°=10°
∵∠EOC=2∠EBC
∴∠EOC=20°
∴
故错误
④∵DE⊥AB， F是 的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴
故正确
⑤∵ ，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB中，
∵DE是 的垂直平分线
∴ ，AE=BE=8
∵在Rt△ADE和Rt△ACE中
∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
∴
∴
∴AC=10.24
又AE=BE=8
∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24
故正确
故答案为：①②④⑤
7.【答案】 8
【解析】【解答】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB＝10，
∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AC＝12，
∴QC＝ ，
∴CE＝QC QE＝13 5＝8，
故答案为：8.
【分析】如图，连接AE，由圆周角定理得到点E在以AB为直径的⊙Q上，接着根据点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），最后根据勾股定理求出QC进而即可得到答案.
8.【答案】 10
【解析】【解答】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值.
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝ DE＝2，
∴NP＝MN MP＝EF MP＝1，
∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10.
故答案为10.
9.【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB是 的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵直线BF是 的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABE+∠CBF=90°，又∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
则 ，
在Rt△AEB中，AB=5， ，
∴BE= ，
∴BC=2BE= ，
过C作CM⊥BF于M，则CM∥AB，
在Rt△CMB中， ，即 ，
解得：CM=2，
由勾股定理得：BM= =4，
由AB∥CM得△FCM∽△FAB，
，
即 ，
解得：BF= ，
故答案为： ．
10.【答案】
【解析】【解答】解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH=BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC，
∴AC=AE，
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AC=5λ，AB=8λ，
∴AH=4λ，HE=λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ，
∴OH=OC-CH= -3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2 ，
∴CE= λ，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2=AH2+OH2 ，
即（ ）2=（4λ）2+（ -3λ）2 ，
解得λ=1，
∴CE= λ= ，
故答案为： .
11.【答案】
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO ，
∴BO=BC+CO=BC+CD ，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2 ， 即AB2+(2AB)2=52 ，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO ， 再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
12.【答案】 50
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OA交OA于点H，
∵ 与 相切，
∴AD⊥CD，
∴ ，
∵O为CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∵EH=AF=72，
∴OH=30，
∵AH=EF=35，
∴AO=65，
∵ ，
∴设AD=12x，OD=5x，则AO= ，
∴13x=65，即：x=5，
∴OD=25，
∴CD=2×25=50.
故答案为：50.
13.【答案】
【解析】【解答】解：设点A ， 要使当线段AC与BD都最短，就是使OA最短，
∴
∴当时，OA的最小值为
∴x=1（负值舍去）
∴点A（1，1），点C（-1，1）；
∴AC=
设点B ， 要使当线段BD都最短，就是使OB最短，
∴
∴当时，OB的最小值为
∴x=-（负值舍去）
∴点B ， 点D；
∵点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∴BC=AB=CD=AD，
∴
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB
∴
∴S阴影部分=.
故答案为：
14.【答案】
【解析】【解答】解：过点 分别作 交l于点A ， B ， C ，
∵半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线 相切，设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，
．
∵ ，
．
在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
．
同理可得 ，
故答案为： ．
【分析】根据图形找出规律求解即可。
15.【答案】
【解析】【解答】解：如图，
点O的运动路径的长 的长+ 的长
故答案为
【分析】根据弧长公式求解即可。
16.【答案】 8
【解析】【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是 的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝ BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝ DF，
∵OD＝3 ，
∴OF＝ ，
∴BC＝2 ，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2 ，
∴AC＝ ＝ ＝8，
故答案为8.
17.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CB，DA，DC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB= 90°，
∵D是AC的中点，
∴弧AD= 弧DC ，
∴∠DCA=∠ABD，
∴∠DAC =∠DCA，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠EBD =∠GBC，
∵DE⊥AB，即∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE= 90°-∠EDB，
∵∠CBG = 90°-∠CGB，
∴∠ADE =∠CBG，
∴∠ADE=∠CBG =∠ABD，
∴∠DAF=∠ADF，
∴ FA= FD，
∵ ，
设EF= 3x，则AE= 4x，
∴AF= ，
∵sin∠CBG= ， sin∠ADE= ，
∵∠CBG=∠ADE，
∴== ，
故答案为：.
18.【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠ODE＝90°，
∵A为OE的中点，
∴OA＝AE＝4，
在Rt△ODE中，
∵sinE＝ ＝ ，
∴∠E＝30°，
在Rt△BCE中，BC＝ BE＝12× ＝4 ，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝4 .
故答案为4 .
19.【答案】 2+
【解析】【解答】解：作 关于 的对称点 ，连接 、 ，如图1所示：
则 为扇形 的半径，
由折叠的性质得： ， ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
折叠后的图形恰好与半径 相切于点 ，
，
，
，如图2所示：
；
故答案为： .
20.【答案】
【解析】【解答】解： 是⊙O的直径， ，
是线段 的中点，
是⊙O的切线，
中，
，
故答案为： ．
21.【答案】 18
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
在 中，根据勾股定理，得
，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18.
故答案为：18.
22.【答案】
【解析】【解答】
点 的路径是以 为半径， 中点为圆心的一段圆弧
如图，连接 ，设 于点 ，连接 的中点 和点 ,
的半径为 ,弦 且过半径 的中点， 为直径
,
,
故答案为： ．
23.【答案】 ①②③
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴CH∥BD，
∴ ，
∵CE＝EH，
∴DF＝BF，
∴①正确；
连接OC、BC、OF，
∴∠ACB＝90°，
∴CF＝ BD＝BF，
∵OC＝OB，OF＝OF，
∴△OCF≌△OBF（SSS），
∴∠OCF＝∠OBF＝90°，
∴CF是⊙O的切线，
故②正确；
如图2，过点F作FG⊥CH于点G，
若CF＝EF＝2，
∴CG＝EG＝ CE＝ EH，
∵FG⊥CH，CH⊥AB，
∴FG∥AH，
∴ ，
设FG＝a，则AH＝2a，
而四边形BFGH是矩形，
∴AB＝AH＋BH＝3a，
∴OC＝ a，OH＝ a，
∵∠OCH＋∠FCG＝∠OCF＝90°＝∠OCH＋∠COH，
∴∠FCG＝∠COH，
∴△FCG∽△COH，
∴ ，即：CG OC＝OH CF，
则CG a＝ a 2，
∴CG＝ ，故CH＝4CG＝ ，
∵OC2＝OH2＋CH2 ，
∴（ a）2＝（ ）2＋（ ）2 ，
解得：a＝ ，
从而半径OC＝ a= ，
故③正确；
由BC的长度＝3 ＝ ，
得：∠BOC＝180°，
此时点C与点A重合，这与题意不符，
故④不正确，
综上所述，正确的结论是①②③.
故答案为：①②③.
24.【答案】 ①②⑤
【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；故①正确；
②∵ ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= ，
∴tan∠AED= ；故③错误；
④∵∠AFD=∠CFE，∠ADC=∠AEC
∴△AFD∽△CFE
∴ ，即 ，解得：
∴EF≠DF
则∠AED≠∠CDE，而∠ADC=∠AED
∴∠ADC≠∠CDE
∴CD并不平分∠ADE，故④错误
⑤∵DF=DG+FG=6，AD=
∴S△ADF= DF AG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴
∴ ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4 ；故⑤正确.
故答案为：①②⑤.
25.【答案】 ②⑤
【解析】【解答】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B，
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为 的中点，这与P为 上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC ，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴ 的长度 ，
故②正确；
③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，
故③错误；
④∵M、C是 的三等分点，
∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
但∠BFP＞∠FCB，
∠PBF＜∠BFC，
∴△BCF∽△PFB不成立，
故④错误；
⑤∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠BCF＝∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故⑤正确，
故答案为：②⑤.
26.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∵∠A=∠EDF=90°，AD∥BC，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵EF=BE，
∴△ABE≌△DEF（AAS），
∴DE=AB=4，
如图，连接GO并延长，交ED于点M，
∵⊙O与BC切于点G，
∴GM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴GM⊥ED，
则四边形ABGM为矩形，
∴AB=MG=4，EM=DM= ED=2，
设⊙O半径为r，
在Rt△OEM中，
OM2+EM2=OE2 ，
∴（4-r）2+22=r2 ，
解得，r= ，
∵∠EDF=90°，
∴EF为⊙O的直径，∠EHF=90°，
∴EF=2r=5，
∵EF⊥BE，EF=BE，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EFH=45°，
∴EH= EF= ，
过点E作EN⊥HD于点N，
∵ ，
∴∠EHN=∠EFD，
又∵∠ENH=∠EDF，
∴△ENH∽△EDF，
∴ ，
即 ，
∴EN= ，
在Rt△EHN中，
HN= ，
∵∠EDN=∠EFH=45°，
∴在等腰Rt△END中，
ND= ED= ，
∴DH=DN+HN= ，
故答案为： .
27.【答案】
【解析】【解答】连接OA，OB，AB，AC，
∵ 的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2 ，
∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵ ，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN AB＝ .
故答案为： .
28.【答案】 ②③④
【解析】【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则 ，
∵ ，
∴ ，显然不可能，故①错误.
②正确，连接OD.
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正确.
③正确，∵AB⊥CE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴点P是△ACQ的外心，故③正确.
④正确，连接BD.
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴ ，
∴AP AD=AF AB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AF AB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ CB，
∴AP AD=CQ CB，故④正确.
故答案为：②③④.
29.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
30.【答案】 21
【解析】【解答】解：如图，连接OD，作AG⊥AD于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB=90°，
∴∠ACE=∠B，
∵OC=OB，
∵∠B=∠BCO，
∴∠ACE=∠BCO，
∵CD平分∠ECO，
∴∠ECD=∠OCD，
∴∠ACE+∠ECD=45°，
∵AC=6，
∴AG=CG=3 ，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD，
∴OD⊥OA，
∴OA=OD，
∵AB=10，
∴AD=OA=5 ，
∴DG===4 ，
∴CD=CG+GD=3+4=7 ，
∴ △ACD的面积=×CG×AG=×7×3=21.
故答案为：21.
31.【答案】
【解析】【解答】解： 过 三点的圆与 相切，
点 为切点，
设过 三点的圆的圆心为 ，
连接 ，
则 ，
过 作 于 ，延长 交 于
，
，
设 ，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
解得： （不合题意舍去)，
半径的长为 ;
故答案为：》
32.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH=OC×sin60°=2 ，
∴AC=4 ，
∵CN=DN，AM=DM，
∴MN=AC=2 ，
同理PN=BD，
当BD是直径时，PN的值最大，
∴PN+MN的最大值是4+2.
故答案为：4+2.
33.【答案】 ＜AP＜ 或AP＝5
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝8，
如图2所示，连接PF，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴x＝ ，
即AP＝ ；
当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
∴S ABCD＝ ×6×8×2＝10PG，
∴PG＝ ，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时， ＜AP＜ ，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是： ＜AP＜ 或AP＝5，
故答案为： ＜AP＜ 或AP＝5．
34.【答案】
【解析】【解答】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，
∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）
∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2 ，
∴BE2﹣AE2＝AC2 ，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，
∴△ACD∽△DHB，
∴ ，
∴AC2＝AE BE，
∴BE2﹣AE2＝AE BE，
∴BE＝ AE，
∴
故答案为： ．
35.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M ， 直线y＝﹣2交y轴于P ， 作CH⊥OB于H ， 连接O′F ， 作AJ⊥DM于J ， O′N⊥FG于N ．
∵CD是⊙O′的直径，∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A ， B ，
∴A（m ， 0），B（0，m），
∴OA＝OB ， ∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM ， ∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，∴ED＝EM ，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝ ，
∵JA⊥DM ， ∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2 ，
∴BC＝CA＝4 ，∴AB＝8 ，∴BO＝AO＝8，
∴A（8，0），B（0，8），C（4，4），
设D（m ， ﹣2），则O′（ （m+4），1），
∴O′N＝ （m+4），O′F＝ CD＝ ，
∵O′N⊥FG ， ∴FN＝ ，
在Rt△O′FN中，由勾股定理，得： ，解得m＝1，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
36.【答案】 或
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与矩形的边AB相切于点G，与边BC交于另一点I，连结C'I，作直线OG交C'I于点K，作FH⊥C'I于H，
∴∠OGB=90°，
∵EC'为⊙O的直径，
∴∠C'IB=90°，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，
∴四边形BIKG为矩形，
∵O为EC'中点，
∴K为C'I的中点，
∵∠C'EI=90°-∠EC'I=∠FC'H，
∵∠C'IE=∠FHC'，
∴△C'HF∽△EIC'，
∵EF∥BD，
∴∠C'EF=∠CEF=∠CBD，
∴tan∠C'EF=
,
设C'H=3a，HF=3b，则EI=4a，C'I=4b，
∵四边形HICF为矩形，
∴FC=HK=4b-3a，EC=3b+4a，
∵FC：EC=3:4，
∴a：b=7:24，即tan∠C'EI= ，
设BE=x，则EC'=EC=8-x，
∴EI=（8-x），OK= ，
∵KG=BI，
∴,解得x= ，
∴EC=.
当⊙与AD相切时，可得IC'=CD=6，EI= ，
∴EC=EC'=
故答案为：或.
37.【答案】 8或
【解析】【解答】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ，
由垂径定理可知 ，
∴ ，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴ ，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则 ，
∴ ；
②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
38.【答案】
【解析】【解答】如图,连接BP,由对称性得:OA=OB,
∵M是AP的中点,
∴OM= BP,
∵OM长是最小值为1,
∴BP长的最小值为1×2=2,
如图,当BP过圆点C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,
∵CP=1,∴BC=BP+CP=3,
∵B在直线y=-2x上,设B(t,-3t),则CD=3-t,BD=-3t,
在Rt△BCD中,由勾股定理得:
BC2=CD2+BD2,
∴32=(3-t)2+(-3t)2,解得t=0(舍)或 ,
∴B( , ),
∵点B在反比例函数 的图象上,
∴k= × = .
故答案为: .
39.【答案】 ．
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
40.【答案】 3
【解析】题干修改为： 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 的最大值是 1 .
【解答】解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，
∴BE最大时， 最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝ =5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
在Rt△GME中，GM＝EG sin∠AEP＝ ，
而BE＝GE﹣BG＝GE ，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝ +HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝ ，
∴GP'＝HP'+HG＝ ，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt△GP'F中，FG＝ ，
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴ 最大值为1+ ＝3，
故答案为：3.
41.【答案】 25
【解析】【解答】如图，
可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF= DE EF= ，
∴DE= ，EF=4，
∴DF= ，
∴PH=DE= ，MQ=EF=4，NK=DF= ，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+ ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+ ，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴ ，
解得： ，
∴AC= + ，BC=10，AB= + +5，
∴AC+BC+AB= + +10+ + +5=7+3+10+5=25，
故答案为：25.
42.【答案】
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
43.【答案】 ①②③④
【解析】【解答】连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAD；故①正确，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△AEC∽△ACB，故②正确，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴ ，
∴PC2=PB PA，
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB，
∴PA=4PB，
∴AB=3PB；故③正确
过点O作OH⊥AD于点H，则AH= AD= ，四边形OCEH是矩形，
∴OC=HE，
∴AE= +OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴ ，
∵AB=3PB，AB=2OB，
∴OB= PB，
∴ ，
∴OC= ，
∴AB=5，
∵△PBC∽△PCA，
∴ ，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ，
∴（2BC）2+BC2=52 ，
∴BC= ，
∴AC=2 ，
∴S△ABC= AC BC=5.故④正确，
故答案为：①②③④.
44.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接EH，过H作HN//BC交DC于N，HP//CF教BC于P。，
∵∠BEF=90°，ABCD是矩形，
∴∠ABE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
又∵BE=EF，∠BAE=∠EDF=90°，
∴△BAE≌△EDF，
∴DE=AB=8，
∵⊙O切BC于G，
∴OG⊥BC，OM⊥DE，MG=AB=8，
∴ME= DE=4，
在Rt△OEM中，OE2=OM2+ME2 ， 即OE2=(8-OE)2+42 ，
解得：OE=5，
∴OM=3，
∵OM是△DEF的中位线，
∴DF=2OM=6，
∴CF=8-6=2，
∵∠EDF=90°，⊙O是△DEF的外接圆，
∴EF是⊙O的直径，
∴∠EHF=90°，
∵BE=EF，
∴BH=HF，
∵HN//BC，HP//CF，∠C=90°，
∴四边形HPCN是矩形，
∴PH是△BFC的中位线，
∴PH=CN，PH=CF，
∴CN=1，FN=1，
∴DN=6+1=7，
∵∠BFE=∠EDH=45°，∠EDF=90°，
∴∠HDN=45°，
∴△DHN是等腰直角三角形，
∴DH=DN=7.
45.【答案】
【解析】【解答】解：连接OB，OP，
∵AB＝BC，O为AC的中点，
∴OB⊥AC，
∵AQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AQ，
设该圆的半径为r，
∴OB＝OP＝r，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝ ，
∴AC＝ ，
∴sin∠PAO＝ ，
过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，
则四边形DHGC是矩形，
∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，
∴sin∠PAO＝ ，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，
∴QG＝12，
∴AG＝ ，
∴QH＝12﹣2r，DH＝ ，
∴tan∠QDH＝tan30°＝ ，
解得r＝ ，
∴该圆的半径为 cm，
故答案为： .
46.【答案】
【解析】【解答】 解：如图，过C作CH⊥AB，
AC=BC，AB=24, 则AH=BH=12, D，E是AB的三等分点 AD= ，
则DH=AD-AH=16-12=4，在Rt△ACD和Rt△CHD中，∠D公用，△ACD∽Rt△CHD ∴HC2=DH×AH=48；
∵∠PDA和∠PCA所对的弧都是PA弧，则∠PDA=∠PCA，AD是直径，则∠APD=∠FGC=90°，∴△CFG∽△DAP，, ∴ ，
∴FH2=FC2-HC2， , EH=ED-HD=8-4=4，则EF=FH-EH=
故答案为：