2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质 同步测试（Word含答案）

椭圆的几何性质
一、单选题
1．椭圆的短轴长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
4．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知、分别是椭圆：()的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，为坐标原点，，若椭圆的离心率，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆C：x21的焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．|PF1|+|PF2|＝2
B．△PF1F2面积的最大值是
C．椭圆C的离心率为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切
二、多选题
9．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆：的离心率为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
12．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
三、填空题
13．已知椭圆方程为，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
14．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为__________.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若在椭圆上存在点使得，且的面积是2，则该椭圆的长轴长为__________.
16．已知椭圆M：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为__．
①；②；③；④．
四、解答题
17．已知椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．
（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
18．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.
19．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
20．已知椭圆的方程为，离心率，，分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相交于、两点，为原点，且.试探究点到直线的距离是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．A
5．A
6．B
7．B
如图所示，点为直线上一点，是底角为的等腰三角形，
可得，所以，整理得，所以，
所以椭圆的离心率为.
故选B．
8．D
由题意可知，椭圆C：x21的焦点在y轴上，长半轴长a，短半轴长，
设，，则，设，
对于选项A：|PF1|+|PF2|＝，故A错误；
对于选项B：因为△PF1F2面积为，故B错误；
对于选项C：椭圆的离心率e，故C错误；
对于选项D：以线段F1F2为直径的圆的圆心为原点O(0,0)，半径，
故原点O(0,0)到直线的距离，
从而以线段F1F2为直径的圆与直线x+y0相切，故D正确．
故选：D．
9．AC
10．AD
11．BD
对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．
对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B正确．
对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．
对于选项D，设，则点到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．
故选：BD．
12．AB
依题意，，即，
所以，所以，因此B正确；
又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．
故选：AB．
13．
14．
15．
根据椭圆定义知，
由，得为直角三角形，
，
又的面积为2，
，则，
，
可得，
由可得
即，
，即.
故答案为：.
16．①④
解：当左右焦点和上下顶点构成直角三角形时，，，
离心率；
当长轴的一个端点、短轴的一个端点和一个焦点构成直角三角形时，
如图所示：这时，
即，整理可得：，
解得或（舍去）．
故答案为：①④．
17．（1）；（2）.
解：
（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，知b＝c，a＝c，
由焦距长为2，所以c＝1， a＝ ，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，即45°＜∠OPF2＜90°，
所以sin∠OPF2＝，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
18．（1）；（2）.
解：
解：（1）由已知得，则，
又由，可得，
所以椭圆方程为．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设，，，，
所以，，
两式作差，得，
所以，
所以，
所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
19．（1），（2）.
解：
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
20．（1）（2）点到直线的距离是为定值，且为
解：
（1）由题意得①
又因为过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且
即②
由①②得
所以椭圆方程为：
（2）i当直线斜率存在时，设直线方程为，点
由
所以，由韦达定理得：
因此
因为，所以
此时满足条件，设原点到直线的距离为
则
ii当直线的斜率不存在时，因为,根据圆的对称性，设直线的方程为
可得或
此时原点到直线的距离仍为
综上可得，原点到直线的距离为.