2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程基本达标训练题（Word含答案解析）

3.2.1双曲线及其标准方程基本达标训练题--2021---2022人教A（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
4．以为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
7．P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．－8
8．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．充要 C．必要不充分 D．既不充分又不必要
评卷人得分
二、多选题
9．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（ ）
A．2 B．－1 C．4 D．－3
10．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ）
A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
11．若方程表示双曲线，则实数m可能是（ ）
A．8 B．4 C．0 D．－5
12．已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
评卷人得分
三、填空题
13．双曲线的焦距为___________.
14．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线上，且，则此双曲线的标准方程为________．
15．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为______．
16．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
评卷人得分
四、解答题
17．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）焦距为，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；
（2）焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
18．已知椭圆的两焦点分别为、，长轴长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
19．给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．
20．已知正六边形ABCDEF的中心在坐标原点，外接圆半径为2，顶点A，D在x轴上，求以A，D为焦点，且过点E的双曲线方程．
21．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，三角形的周长等于26时，求此双曲线的标准方程．
22．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．
试卷第1页，共3页
第1页
参考答案
1．C
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
2．C
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
3．D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
4．A
【详解】
由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，
设双曲线的标准方程为(a>0，b>0)，
则有a2+b2=c2=3，，解得a2=2，b2=1，
故所求双曲线的标准方程为
故选：A
5．B
【详解】
因为双曲线的焦点位置不正确的，所以设双曲线的方程为．
因为，两点在双曲线上，
所以，解得，
于是所求双曲线的标准方程为.
故选：B．
6．D
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
7．D
【详解】
因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得，即，
所以，而点在双曲线左支上，于是，
所以．
故选：D．
8．C
【详解】
若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：C
9．AB
【详解】
设双曲线的方程为，则c＝3，
∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
∴，且，∴AB满足条件．
故选：AB
10．BCD
【详解】
设，，
整理可得（），
对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误；
对B，若，由（），则，故B正确；
对C，若，由（），则，故C正确；
对D，，（），，故D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【详解】
若方程表示双曲线，则其是焦点在轴上的双曲线，所以，即．
故选：ABC．
12．BD
【详解】
对于A，当时，曲线是圆，故A错误；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
故选BD．
13．
【详解】
令双曲线的半焦距为c，则有，解得，
所以双曲线的焦距为.
故答案为：
14．或
【详解】
直线与坐标轴的交点坐标为：，
当双曲线的焦点在横轴时，，因为，所以，
因此，即双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在纵轴时，，因为，所以，
因此，即双曲线方程为：，
故答案为：或
15．
【详解】
如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点，
根据两圆外切的条件，得，．
因为，所以，
即，
所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．
根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．
故点的轨迹方程为．
故答案为：.
16．－y2＝1
【详解】
由题意得
(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
故答案为：－y2＝1.
17．
【详解】
(1)因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为，0＜a2＜6.
又因为过点(－5,2)，所以，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
所以双曲线的标准方程为.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是.
18．
解：（1）由、，长轴长为6，
得：，，所以，
∴椭圆方程为．
（2）由题意得，双曲线的，，
所以，
∴双曲线方程为．
19．
【详解】
设，代入方程得
两式相减得：
又设中点
将代入，当时得
又
代入得
当弦斜率不存在时，其中点的坐标也满足上述方程
因此所求轨迹方程是
20．
【详解】
由题意可知，，
设双曲线的标准方程为，
则，解得，，
双曲线方程为
21．
【详解】
当双曲线的焦点在横轴时，设，是双曲线的左右两个焦点
三角形的周长等于26，所以有，
由双曲线的定义可知：，，两式相加得：
即，即，而，
因此可得，因为，所以，
于是，所以双曲线方程为：，
当双曲线的焦点在纵轴时，同理可得双曲线方程为：，
综上所述：双曲线方程为：或.
22．
【详解】
（1）设双曲线方程为，
由条件知，，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）由双曲线的定义可知，．
∵，
∴，即
∴，
∴的面积．