2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
2.2.3 二次函数y=a(x-h)2+k
的图象与性质
北师版九年级下册 二次函数
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.
4.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
5、能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1.函数 的图象的顶点坐标是 ；
开口方向是 ；最 值是 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数 的
图象向 平移 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数 的图象.
(0,3)
小
向上
3
y=-2x2
上
3
y=-3x2-2
温 故 知 新
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
思考：它们的图象之间有什么关系？
探 究 一
通过观察发现：1、y=3x2+2的图象可以看做是由y=3x2向上平移得到；
2、y=3(x-1)2的图象可以看做是由y=3x2向右平移得到.
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
思考：它们的图象之间有什么关系？
y=3x2 y=3(x-1)2
y=3(x+1)2
通过观察发现：1、y=3(x-1)2+2的图象可以看做是由y=3x2向右平移得到；
2、y=3(x+1)2的图象可以看做是由y=3x2向左平移得到.
探 究 二
函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象之间的关系搞清楚了。那么它会是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标又分别是什么
探 究 二
分析：因为y=3(x+1)2与y=3x2的a值相同。所以：
1、开口方向，开口大小与之相同；
2、是轴对称图形，对称轴是直线x=-1(如右图);
3、顶点坐标是（-1,0）（如右图，最低点处）
那么,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性又会怎样
探 究 二
问：x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
分析： 如图
1、在对称轴左侧（x＜-1），y随着x的增大而减小；
2、在对称轴左侧（x＞-1），y随着x的增大而增大;
3、顶点是最低点,函数有最小值.当x=-1时,最小值是0..
猜一猜,
函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;
抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.
探 究 二
如图：
2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),
它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2与y=-3(x+1)2的增减性相同，都有最大值。
对称轴左侧“增”，对称轴右侧“减”。口诀：左增右减
归 纳 小 结
函数y=a（x-h）2的图象可看作是由y=ax2
(h ，0)
向右平移h（h﹥0）个单位
(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
二、函数y=a（x-h）2的图象与性质：
一、函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
四字口诀：左加右减
a＞0
a＜0
向上
向下
直线x=h
最小值0
最大值0
(h ，0)
左减右增
左增右减
反 思
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴；
２.位置与开口方向；
３.增减性与最值；
根据图形填表：
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
左减右增
左增右减
越小,开口越大.
越大,开口越小.
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的_______相同，
_________不同.
2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的______相同，
_________不同.
3.抛物线y =3x2+5的开口_______，对称轴是______，
顶点坐标是____________.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口__________，对称轴是___________，顶点坐标是_____________.
形状
形状
位置
位置
向上
向下
y 轴
直线x =－1
(0，5)
(－1，0)
【变式训练】
探 究 三
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
函数 的图象
函数 的图象
向右
平移
1个
单位
向上平移
2个单位
向右
平移
1个
单位
向上平移
2个单位
的图象
向右平移h个
单位
的图象
向右平移h个
单位
的图象
向上平移 k 个
单位
的图象
向上平移 k 个
单位
对称轴：直线x= h
顶点： (h，k)
【图象平移的规律】
（当k,h都大于0时）的图象特点.
二次函数y=a(x-h) +k与y=ax 的关系
1、一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:
（1）h＞0时，可将图象右移|h|个单位；h＜0，反之；
（2）k＞0时，可将图象上移|k|个单位；k＜0，反之.
2、因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,
它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a, h, k的值有关.
简记为：左加右减
简记为：上加下减
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（-h，k）
（-h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
左减右增
左增右减
根据图形填表：
合作交流
顶点坐标
对称轴
开口方向
抛物线
向上
向上
向上
向上
向上
向下
由a决定
y 轴(或直线x=0)
y 轴(或直线x=0)
直线x=－1
直线x=1
直线x=1
直线x=－1
直线x=h
(h ，k)
(1，2)
(－1，－2)
(1，－2)
(－1，2)
(0，2)
(0，0)
回顾总结
1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、
且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3 D.y=(x+2)2－3
【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，
再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
课堂练习
2．（西宁·中考）将抛物线y=2(x-1）2向左平移1个单位后所得到的
新抛物线的表达式为 ______________.
3. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（ 　）
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
4. 抛物线 的顶点坐标是（　 ）
A．（2，1）　 B．（-2，1）　 C．（2，-1）　　 D．（-2，-1）
课堂练习
B
B
6、（2014 兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
课堂练习
A
C
课堂练习
B
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,“左减右增”；a<0时,开口向下,“左增右减” .
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象通过
“左加右减、上加下减”平移得到的.
小结 拓展
二次函数y=a(x-h) +k与=ax 的关系