吉林省长春第20中2021-2022学年高二上学期第一次质量检测（10月）数学试卷（Word版含答案）

长春第20中2021-2022学年高二上学期第一次质量检测
数学试卷
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单选题(每题5分,共60分)
1．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间四边形中，下列表达式结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
4．已知向量，，，则（　　）
A．1 B．—1 C．2 D．
5．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
6．过点，的直线的倾斜角为（ ）
A．60° B．45° C．135° D．30°
7．已知直线，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．2或
8．若直线：与直线：垂直，则（ ）.
A． B． C．或 D．或
9．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．两平行直线，之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
11．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．椭圆的焦距等于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（每题5分，共20分）
13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在点使得，则__________.
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点作直线交椭圆于A，B两点，则三角形的周长为________．
15．已知点是椭圆上的点，则点到椭圆的一个焦点的最短距离为_____．
16．已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.
三、解答题（17题10分，其余各题均为12分，共70分）
17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
18．求经过三点，，的圆的方程.
19．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程
20．已知椭圆的离心率为，求的值.
21．已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于两点，求.
22．如图，在直三棱柱中，，，点 分别为 的中点，与底面所成的角正切为2.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点与平面的距离.
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．C
5．C
6．B
7．A
8．B
9．A
10．A
11．D
12．C
13．
14．20
15．
16． 或
【分析】
根据双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，再根据，求得，即可得出答案.
【详解】
解：因为双曲线的渐近线方程为，
则可设双曲线的方程为，即，
因为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..
【详解】
（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于＝(0，1，－1)，
则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
则，
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
18．
【分析】
设圆的一般方程为（ 为参数）点代入解方程组即可.
【详解】
依题，设圆的一般方程为（ 为参数），将三点，，代入：解得
综上所述，圆的一般方程为
19．x2＋＝1
【分析】
设Q(x，y)，P(x0，y0)，进而可得x0＝2x，y0＝2y，代入椭圆方程即可求解.
【详解】
设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又＋1，
所以＋1，即x2＋＝1.
20．或
【分析】
需要分焦点在轴和轴讨论.
【详解】
由已知可得椭圆方程为
当焦点在轴上，即时，有
则
依题意得，解得m＝3.
当焦点在轴上，即时，有
则，依题意有
解得，即的值为或.
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）先由离心率得到，再根据短轴一个端点到右焦点的距离为，得到，结合，即可求出椭圆的方程；
（2）写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出．
【详解】
解：（1）由题意：，
即
短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为
即，
而，
所以，，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1），左焦点，直线的方程：，
设，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：
所以，
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知求得，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出、的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线与所成角的大小；
（2）求出平面的法向量及，由向量法求点与平面的距离．
【详解】
解：（1）平面，为与底面所成角，
即，．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，
则，1，，，
设异面直线与所成角的大小为，
，
则异面直线与所成角的大小为；
（2）设平面的法向量为，
由（1）知，，，
由，取，得．
又，
点与平面的距离．