吉林省长春第20中2022届高三上学期第一次质量检测（10月）数学（文）试卷（Word版含答案）

长春第20中2022届高三上学期第一次质量检测
数学（文科）
满分：150分 时间：120分钟
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合A={x|x>0}，B={x|x2-x-2<0}，则A∩B等于（ ）
A．{x|-1≤x≤0} B．{x|-13．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．若为真命题，则，均为真命题．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在区间上的函数，其值域为（ ）
A． B． C． D．
10．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．函数在内单调递减，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数________.
14．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是________.
15．已知在上单调递增，，若为真命题，则的取值范围是___________.
16．已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点，对称；
③函数是偶函数；④函数在上是单调函数.
在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）
三．解答题（17-21题，每小题12分）
17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
18．已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；（2）求数列的前项和.
19．如图，四棱锥中，，底面是面积为18的正方形，点分别在线段上，且.
（1）求证：直线平面；
（2）若平面平面，求点到平面的距离.
20．“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人” 称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们的运动情况，选取了老师们在某日的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人 参与者 合计
男教师 60 20 80
女教师 40 20 60
合计 100 40 140
（1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关 （2）从具有“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，求抽取的2人都为女教师的概率.
参考公式：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21．已知原点到椭圆C：（a>b>0）的上顶点与右顶点连线的距离为.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线l过点P与椭圆交于M，N两点，点B是椭圆的上顶点，求证：直线BM与BN的斜率之和为定值.
四．选考题（10分，在22和23题中选一题作答，如果都作答，按第一题批阅）
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：
（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．B
6．D
7．D
8．D
9．C
，
当时，，，所以，
所以，
当时，，所以，所以，
所以，
所以在区间上的值域为，故选：C.
10．D
由题意，函数满足，即函数是周期为4的周期函数，
则，
又由函数在区间上单调递增，可得，
即，所以.故选：D.
11．C
解：因为函数在内单调递减，
所以，解得，所以a的取值范围为，故选：C
12．B
作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，故选B．
13．2
14．
根据题意，函数为偶函数，则，
又由函数在上单调递减，则在上，，在上，，函数在上单调递增，则在上，，在上，，是将函数的图象向右平移个单位，其草图如图：
15．
16．①②③
解：对于①：函数是周期函数且其周期为3.①对
对于②：是奇函数其图象关于原点对称
又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.
函数的图象关于点，对称，故②对.
对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：
对于任意的都成立.
令，则，函数是偶函数，③对.
对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对.
故答案为：①②③.
17．（1）；（2）．
（1）由正弦定理，得，
又，则，因此；
（2）由（1）可知，则，，
所以，所以由正弦定理得．
18．（1），；（2）.
（1）设等差数列的公差为，而，则，
于是得，解得，则有，，
所以，；
（2）由（1）知，，
因此，，
所以.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）证明：如图，取线段上靠近的三等分点，连接，且
，且
四边形为平行四边形，得，
平面平面平面
（2）解：在中，，可得，
作于，平面平面，，平面平面平面
平面，又平面平面平面平面，平面，
，设点到平面的距离为，
由得即，
解得，即点到平面的距离为.
20．（1）不能；（2）.
（1）根据列联表数据得：
∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.
（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人，
抽取的男教师记为A，B，C；女教师记为a，b.
从抽取的这五名教师中选取2名，有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种选法，
其中2人都是女教师的选法有ab一种选法，记事件A为“抽取的2人都为女教师”，则抽取的2人都为女教师的概率.
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）椭圆的上顶点与右顶点分别为
故两点连线的方程为，所以，解得，
则离心率.
（2）由点P的坐标为，即，由直线和椭圆有两个交点，故直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为，即.椭圆方程可化为，
直线l与椭圆方程联立得.
设，，
则，，又，
所以
，
所以直线BM与BN的斜率之和为定值.
22．（1），；（2）.
（1）由消去参数t，得，即，
所以曲线的普通方程为.由，得，即，
所以曲线的直角坐标方程为
（2）将代入，整理得，
则，令方程的两个根为由韦达定理，，所以.
23．（1）；（2）.
（1）当时，
令，则，而时，
不等式的解集为.
（2），且当时等号成立，当时，，得，则，
当时，，得，则.
综上，若，则的取值范围是.