江苏省徐州市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（扫描版含答案）

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2021-2022 学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一、单选题：
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C 6. B 7. A 8. D
二、多选题：
9. ACD 10. ABD 11. BC 12. AD
三、填空题：
2
13. 14. (2,2) 2 2, 3 15. 3 5 16. ( , ] [ , )
2 2 2
四、解答题:
2x y 6 0 x 5
17.解:法一 联立 l1, l2 的方程 ，解得 ,即 P( 5, 4) .........2 分
x y 1 0 y 4
（1）法①：设直线 l的方程为： 4x 3y c 0，将 P( 5, 4)带入可得 c 8 ........4 分
所以 l的方程为： 4x 3y 8 0 .........5 分
法②:由 4x 3y 5 0 4 4可知直线 l3的斜率为 ，即直线 l的斜率为 ..........3 分3 3
l 4故直线 的方程为： y 4 (x 5)，即 4x 3y 8 0 ..........5 分
3
x y
（2）法①：易知直线m在两坐标轴上的截距均不为 0，设直线方程为： 1
a b
5 4
1 a b
则直线与两坐标轴交点为 A(a,0) ,B(0,b)，由题意得 ， ..........6 分
1
| ab | 5 2
a 5 a
5

解得: 或b 2
2 .............8 分
b 4
m x y x y所以直线 的方程为： 1或 5 1，5 2 4
2
即： 2x 5y 10 0或8x 5y 20 0 .............10 分
法②：设直线m的斜率为 k (k 0)，则m的方程为 y 4 k(x 5)
高二数学答案 第 1 页 （共 6 页）
当 x 0时， y 5k 4
当 y 0时， x 4 5 .............6 分
k
1 | 5k 4 || 4 2 8所以 5 | 5，解得： k 或 k ............. 8 分
2 k 5 5
2 8
所以m的方程为 y 4 (x 5)或 y 4 (x 5)
5 5
即： 2x 5y 10 0或8x 5y 20 0 .............10 分
法二：设过 P的直线方程为 (2x y 6) (x y 1) 0，
即 (2 )x (1 )y (6 ) 0 ( ) ................2 分
2 (1 )
（1）由 l与直线 l3 : 4x 3y 5 0：平行可得： ，4 3
解得： 2 ..............4 分
将 2带入 ( )式得 l的方程为： 4x 3y 8 0 ...............5 分
6
（2）由 ( ) 可得：当 x 0时， y
1
当 y 0 6 时， x .............6 分
2
1 6
由面积得： | || 6 | 5，解得： 2 8 或 .............8 分
2 2 1 3 3
将 的值带入 ( )式得直线m的方程为： 2x 5y 10 0或8x 5y 20 0 .......10 分
C 2 218.解：（1）圆 1 的方程可化为： (x 2) (y 3) 1，即：圆C1的圆心为 (2,3)，半径为1.
若直线 l的斜率不存在，方程为： x 3，与圆C1相切，满足条件. ............2 分
若直线 l的斜率存在，设斜率为 k，方程为： y 5 k(x 3)，即： kx y 5 3k 0
l C | 2k 3 5 3k | 3由 与圆 1相切可得： 4，解得： k ............4 分
k 2 1 4
所以 l的方程为： y 5 3 (x 3)，即：3x 4y 11 0 ............5 分
4
综上可得 l的方程为： x 3或3x 4y 11 0 . ............6 分
x2 y2 4x 6y 12 0
（2）联立两圆方程得：
x2 y2 2x 4y 4 0
，
消去二次项得 AB所在直线的方程：3x y 8 0 ............8 分
高二数学答案 第 2 页 （共 6 页）
C AB d | 3 2 3 8 | 10圆 1的圆心到 的距离 ............10 分
32 12 10
AB 10 3 10所以 2 12 ( )2 ............12 分
10 5
19.解：（1）设圆C的圆心为 (a, 2a 4)，由圆C被直线3x 4y 11 0所截得的弦长
2 3
为 3可得：圆心到直线3x 4y 11 0的距离d 1 ( )2 1 .........1 分
2 2
| 3a 4( 2a 4) 11 | 1 1 3
即： ，解得： a 或 a
32 42 2 2 2
1
即圆心为 ( ,3)或 (3 ,1)， ..............4 分
2 2
1 3
所以圆的标准方程为： (x )2 (y 3)2 1或 (x )2 (y 1)2 1 ............6 分
2 2
（2）设圆C的圆心为 (a, 2a 4)，M (x, y)，由MA 2MO可得：
(x 3)2 y2 4(x2 y2 )即： (x 1)2 y2 4 ...........8 分
这样M 为圆C与圆 (x 1)2 y2 4的公共点
5a2 14a 16 0
所以1 (a 1)2 ( 2a 4)2 3 ，即 ...........10 分
5a 14a 8 0
4
解得： a 2
5
4
所以圆心C的横坐标的取值范围是[ ,2]. ..........12 分
5
p 3
20.解：（1）抛物线的焦点 F 为 ( ,0)，双曲线的渐近线方程为： y x，即： x 3y 0
2 3
| p |
则 2 1，解得 p 4 ...........2 分
12 ( 3)2
2
故抛物线C的方程为： y 8x ...........3 分
p 4
（3）设 P(x0 , y0 )，由抛物线的定义可知： x0 4，即 x 4，2 0 2
解得： x0 2 ...........4 分
高二数学答案 第 3 页 （共 6 页）
将 x 20 2带入方程 y 8x得： y0 4，即 P的坐标为 (2, 4) . .............6 分
（3）法一：若直线 l的斜率存在，不妨设为 k ( k 0 )，则 l的方程为： y kx b（b 0）
y kx b
与抛物线方程联立得 ，消去 y得: k 2x2 (2kb 8)x b2 02
y 8x
2
设 A(x1, y1) B(x2 , y ) x x
2kb 8 b
2 ，则 1 2 2 ， x1x2 2 ..........7 分k k
由OA OB可得： x1x2 y1y2 0，即 x1x2 (kx1 b)(kx2 b) 0
(1 k 2 )x x kb(x x ) b2亦即： 1 2 1 2 0，
x x 2kb 8
2
将 1 2 2 ， x1x
b
22 2 带入上式得：b 8kb 0，k k
又b 0即：b 8k ...........9 分
所以直线 l的方程为： y kx 8k ，即 y k(x 8)故直线 l过定点 (8,0) .........10 分
2 2
若直线 l的斜率不存在，设 A(x0 , y0 ) B(x0 , y0 )，由OA OB可得: x0 y0 0
y2又 0 8x0，联立解得: x0 8 或 x0 0（舍）
此时直线 l的方程为 x 8，即直线 l过点 (8,0) ............11 分
综上可得：直线 l过定点 (8,0) ..........12 分
法二：由题意可知直线 l不能与 x轴平行，故方程可设为 x my n (n 0)
x my n
与抛物线方程联立得 ，消去 x得: y2 8my 8n 0
y2 8x
设 A(x1, y1) B(x2 , y2 )，则 y1 y2 8m， y1y2 8n ..............8 分
2
由OA OB (y1y2 )可得： x1x2 y1y2 0，即 y1y2 0 y y (1
y
1
y2
即： 1 2 ) 064 64
亦即： 8n(1 8n ) 0，又 n 0，解得： n 8 .............10 分
64
所以直线 l的方程为 x my 8，易得直线 l过定点 (8,0) . ............12 分
x x
21. 解：(1)设M 的坐标为 (x, y)， P的坐标为 (x , y )，则 .............1 分
y 2y
高二数学答案 第 4 页 （共 6 页）
又点 P(x , y ) O x 2在圆 上，即 y 2 16，
2 2
亦即 x2 (2y)2 x y 16， 化简得： 1. ................4 分
16 4
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )， AB所在的直线方程为： y 1 k1(x 2)，联立得：
y 1 k
1
(x 2)
x2 y2 ,消去 y得： (1 4k 2 2 21 1
) x 8k1 (1 2k1 ) x 4(1 2k1 ) 16 0

16 4
x x 8k1(1 2k ) 8k 16k
2 2 2
则 1 1 1 , x x 4(1 2k 1) 16 16k1 16k1 121 2 1 4k 2
.....6 分
1 1 4k
2 1 2 1 4k 2 21 1 1 4k1
法一： | NA | | NB | (x1 2)
2 (y1 1)
2 (x 2)22 (y2 1)
2
(x1 2)
2 [k (x 2)]2 (x 2)2 [k (x 2)]2 (1 k 21 ) | x1 2 || x2 2 | ........7 分1 1 2 1 2
(1 k 21 ) | (x1 2)(x
2
2 2) | (1 k1 ) | x1x2 2(x1 x2 ) 4 |
(1 k 2 ) | 4(1 2k )
2
1 16 2 8k
2
1
(1 2k1) 4 | 8(1 k1 )1 1 4k 2 1 4k 2 1 4k 2 ......... 9 分1 1 1
2
同理： | NC | | ND | 8(1 k ) 2
1 4k 2 ...........10 分2
| NA | | NB | 8(1 k
2 ) 8(1 k 2 )
由 | NC | | ND |
1 2
可得： | 1 4k 21 1 4k
2 ，
2
化简： k 2 k 21 2 ，又 k1 k2 ，故: k1 k2 , 即： k1 k2 0 . .............12 分
N (2,1) x
2 y2
法二：易知点 在椭圆 1内
16 4
2
故： | NA | | NB | NC ND (x 2, y 8(1 k1 ) 1 1 1) (x2 2)(y2 1) = 1 4k 2 ........9 分1
8(1 k 2
同理： | NC | ) | ND | 2
1 4k 2 . ..........10 分2
以下同法一 .......
a2 b
22.解：（1）根据双曲线的对称性不妨设直线 x 与渐近线 y x的交点为 P，
c a
高二数学答案 第 5 页 （共 6 页）
a2
x c a2 ab
则联立 得： P( , )
b c c ...........1 分
y x a
2
| PF | 3 ab 2 a由 可得： ( ) (c )2 3，即b2 3，
c c ............2 分
2 2 2
由离心率 e 2 c a b 2可得： 2 4，故：a 1a a2 ............3 分
x2 y
2
所以双曲线的标准方程为： 1.
3 ............4 分
（2）假设存在点M t,0 满足题设条件.
由（1）知双曲线C的右焦点为 F 2,0 .
2
设Q(x0 , y0 )（ x
2 y0
0 1）为双曲线C右支上一点，则 x0 13
①当 x0 2时， y0 3 . 因为 QFM 2 QMF 90
0
，
所以 QMF 450 ，于是MF QF | y0 | 3，所以 t 1. 即M ( 1,0) . .......6 分
y y
②当 x0 2时， tan QFM kQF
0
， tan QMF k 0x 2 QM

0 x0 t
2 y 0
y x t
因为 QFM 2
0 0
QMF， 所以 x 20 2 1 y

0
x0 t
（ⅰ）当 y0 0时，上式化简得：3x
2
0 y
2
0 (4 4t)x0 4t t
2 0 ................8 分
x 2 y
2
0 1 3x2 y2 2又 0 即： 0 0 3，带入上式得： (4 4t)x0 3 4t t 03
(4 4t) 0
所以 解得 t 1. 即M ( 1,0) ................10 分
3 4t t
2 0
0
（ⅱ）当 y0 0时， t 1,即M ( 1,0)也能满足 QFM 2 QMF ( 0 ) ............11 分
综上可得：满足条件的点M 存在，其坐标为 1,0 . ...............12 分
高二数学答案 第 6 页 （共 6 页）