《红对勾》人教版数学必修一1.3.1.1《单调性与最大(小)值》课件

(共48张PPT)
第一章　
集合与函数概念
1．3　函数的基本性质
1．3.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
　　1.在回顾初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象后，理解函数的单调性的概念．
2．通过取值、描点分析函数值的变化规律，体会函数值的变化趋势，获得形成函数单调性这一概念的经验，探索函数单调性的实质.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．增函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x12．减函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间．
3．单调性与单调区间
定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
自 我 检 测
1．若函数y＝kx＋b(k≠0)是R上的减函数，那么(　　)
A．k>0　　　 B．k<0
C．k≠0 D．无法确定
答案：B
2．函数y＝x2在区间[－1,2]上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数又是减函数 D．不具有单调性
答案：D
3．函数y＝f(x)的图象如图4所示，其增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C
4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)与f(2)的大小关系是________．
答案：f(－3)>f(2)
5．求证f(x)＝x2－2x在区间(1，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是区间(1，＋∞)上的任意两个值，且x1f(x1)＝x12－2x1，f(x2)＝x22－2x2，
f(x2)－f(x1)＝x22－2x2－x12＋2x1
＝x22－x12－2x2＋2x1
＝(x2－x1)(x2＋x1)－2(x2－x1)
＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．
∵x2>x1，∴x2－x1>0.
又∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2>x1>1.
∴x1＋x2>2.∴x1＋x2－2>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
故f(x)＝x2－2x在(1，＋∞)上是增函数．
互 动 课 堂
由此可知：y＝f(x)的单调增区间是(－ ∞，－1]，[0,1]．
y＝f(x)的单调减区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
[点评]　利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．当单调递增(或递减)区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，应用“和”或“，”连接．
解：(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图7所示．由图象易得：
递增区间是[－3，－1]和[1，＋∞)．
递减区间是(－∞，－3]和[－1,1]．
类型三　　根据单调性求参数取值范围
[例3]　函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则(　　)
A．a∈(－∞，1]
B．a∈[2，＋∞)
C．a∈[1,2]
D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
[解析]　本题是关于一个二次函数的单调区间问题．二次函数的单调区间取决于其对称轴，为此需先确定函数的对称轴．
不难得到函数的对称轴为x＝a，函数图象开口向上，如图8.
要使函数在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时函数在区间[1,2]上单调递增，当a≥2时函数在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
[答案]　D
变式体验3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
分析：由题意可知是(－∞，4]应该是该函数的递减区间的子区间，从而可通过比较对称轴与4的大小来求得．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a，
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
类型四　　函数单调性的应用
[例4]　已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且
f(x－2)[点评]　对于x1思 悟 升 华
1．函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质，所以求函数的单调区间须先求函数的定义域．
2．函数定义中的x1，x2应深刻理解，一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”两个字决不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是x1，x2有大小，通常规定Δx＝x2－x1>0；三是同属于一个单调区间．
3．判断函数的单调性主要是利用定义，其中作差后变形是关键，常采用的方法有因式分解、通分、配方、有理化等．
4．根据函数单调性的定义，若f(x)为增函数，则x1f(x2)，它常用来比较大小或解抽象函数的不等式．
课时作业（9）