2021学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）
1．D； 2．C； 3．B； 4．B； 5．D； 6．A．
二、填空题：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）
7．20； 8． 2 5 2 5 2； 9．88°； 10．50； 11． ； 12． a b；
3 3
12 3
13．60°； 14．2； 15． （2.4）； 16．1:5； 17． ； 18． 4 7．
5 4
三、解答题：（本大题共 7题，满分 78分）
19．（本题满分 10分）
1 2 3解：原式 ………………………………………8分
2
3 2 2
2
3 2 3……………………………………………… 1分
2………………………………………………………… 1分
（说明：4 个三角比值分别代入正确，每个得 2分，若计算结果为 2得全分，可以略去
第二个步骤）
20．（本题满分 10分）
5 1 5 1
解： b a (b 4a) b a b+2a ………（2分）
2 2 2 2
a 2b……………………………………………（3分）
2b 图形与方向正确……………………………………………（1分）
a
2b图形与方向正确……………………………………………（3分）
写出正确结论…………………………………………（1分）
（说明：结论形如 AB a 2b得 1分，如仅仅写成 AB为所求的向量不给分．如果化简错
误，则作图不给分．）
21．（本题满分 10分，第（1）小题满分 5分，第（2）小题满分 5分）
DE AD
解：（1）∵DE∥BC，∴ ，……………………（2分）
BC AB
∵AD=3，BD=9，
∴AB=BD—AD=6，………………………………（1分）
4 3
∵DE=4，∴ .
BC 6
∴BC=8………………………………………（2分）
AD EA
（2）∵DE∥BC，∴ ，………………………………（1分）
BD EC
CA 3
∵ ，
CE 5
AD 2
∴ ，……………………………………（1分）
BD 5
4 2
∵AD=4，∴ ，
BD 5
∴BD=10………………………………（1分）
∵BF⊥BC，垂足为点 F，∴∠DFB=90°．
DF 5
在 Rt△BDF中， sin B ，……………………………（1分）
BD 5
DF 5
即 ，∴DF= 2 5……………………………………………（1分）
10 5
（说明：第（2）问中其它解法可以参考上述过程酌情给分.如果逻辑正确得 BD=10给 3分，
得 DF= 2 5，给 5分．）
22．（本题满分 10分，第 1小题 5分，第 2小题 5分）
解：（1）根据题意，可知
∠ADC=37°，∠BDC=30°，BD=12米，AC⊥DC……………………………（2分）
AC
在 Rt△DBC中， tan ADC ，得
CD
AC=CD tan ADC 12 tan 37 12 0.75 9米…………………………（3分）
BC
在 Rt△DCA中， tan BDC ，得
CD
BC=CD tan 3 BDC 12 tan 30 12 4 3米…………………………（3分）
3
∴ AB AC BC =9 4 3…………………………………………………（1分）
答：广告牌 AB的高度为（9 4 3）米…………………………………………（1分）
（说明：没有列出已知条件扣 1分，没有强调在 Rt△DBC 中或在 Rt△DCA 中扣 1分）
23．（本题满分 12分，其中第（1）小题 6分，第（2）小题 6分）
证明：（1）∵CD=3BD，BC=20，∴BD=5，CD=15……………………………（1分）
BD 1 AB 1 BD AB
∵BA=10，∴ ， ，∴ ………………（1分）
AB 2 BC 2 AB BC
BD AB
BAD BCA
在△ 与△ 中， AB BC
ABD CBA
∴△BAD∽△BCA………………………………………………………（2分）
∴∠BAD=∠C…………………………………………………………（1分）
∵BE∥AD，∴∠EBA=∠BAD，
∴∠EBA=∠C………………………………………………………（1分）
（2）方法一∵△BAD∽△BCA BD AD 1，∴ ……………………（1分）
BA CA 2
设 AD=k，CA=2k，
∵∠ADC=90°，
在 Rt△DAC中，由勾股定理得
CD AD2 AC 2 5k 15，∴ k 3 5．
∴ AD 3 5，CA 6 5……………………………………………（2分）
AD CD CA CD
∵BE∥AD，∴ ， ．
BE BC AE BD
CD 3 CD
∵CD=3BD，∴ ， 3．
BC 4 BD
∴ BE 4 5， AE 2 5 ……………………………………………（2分）
1 1
∴S△BAE= BE AE 4 5 2 5 20……………………（1分）
2 2
方法二∵△BAD BCA BD AD 1∽△ ，∴ ．……………………（1分）
BA CA 2
设 AD=k，CA=2k，
∵∠ADC=90°，
在 Rt△DAC中，由勾股定理得
CD AD2 AC 2 5k 15，∴ k 3 5．
∴ AD 3 5，CA 6 5……………………………………………（2分）
1
∴S△DAC= AD
1
AC 3 5 6 5 45……………………（1分）
2 2
S△ABD BD 1∵△ABD与△ADC同高， ∴ ．
S△ADC DC 3
∴S△ABD=15…………………………………………………………（1分）
AD CD
∵AD∥BE，∴△BAE与△ABD等高， ，
BE BC
AD 3 S
∵CD=3BD，∴ ，∴ △ABD
AD 3
．
BE 4 S△BAE BE 4
15 3
∴ ，∴S△BAE=20………………………………………（1分）S△BAE 4
（其他方法请酌情给分）
24.（本题满分 12分，其中每小题各 6分）
证明：（1）方法一∵AB=AC ∴∠ABC=∠C．
∵∠FBC=90°，∴∠FBA+∠ABC=90°，∠BFC+∠C=90°．
∴∠FBA=∠BFC………………………………………………………（1分）
∴FA=AB ∴FA=AC，即 A是 FC的中点．
∴FC=2AC ………………………………………………………（1分）
∵FE⊥AB ∴∠FEB=90°．
∴∠FEB=∠FBC……………………………………………………（1分）
FEB FBC
在△FEB与△CBF中，
FBA BFC
∴△FEB∽△CBF …………………………………………………（1分）
EB BF 2
∴ ，∴ BF EB CF ……………………………（1分）
BF CF
BF 2∴ 2AC EB…………………………………………………（1分）
方法二：（1）如图 1，过作 AG⊥BC，垂足为 G，∴∠AGC=90°．
∵∠FBC=90°，∴∠FBC=∠AGC．
AC CG
∴AG∥FB，∴ ．
FC BC
∵AB=AC，AG⊥BC．
1 CG 1 AC 1
∴CG= BC，即 ，∴ ．
2 BC 2 FC 2
∴FC=2AC…………………………（1分） （图 1）
在 Rt△FBC中，由斜边中线定理可得 FA=AB．
∴∠FBA=∠BFC……………………………………………………（1分）
∵FE⊥AB，∴∠FEB=90°，∴∠FEB=∠FBC……………………（1分）
FEB FBC
在△FEB与△CBF中，
FBA BFC
∴△FEB∽△CBF…………………………………………………（1分）
EB BF 2
∴ ，即 BF EB CF ……………………………（1分）
BF CF
2
∴ BF 2AC EB…………………………………………………（1分）
（其他方法请酌情给分）
（2）方法一：如图 2，过点 A作 AH⊥BC，垂足为 H，∴∠AHC=90°．
1
∵AB=AC=5，BC=8，∴CH= BC=4．
2
在 Rt△AHC中，由勾股定理得，AH AC 2 CH 2 3 ……………（1分）
过点 B作 BM⊥CF，垂足为 M，∴∠BMC=90°，
1 1
S△ABC= BC AH AC BM ，即 BC AH AC BM ．
2 2
∴8 3 5 BM ，∴ BM 24 ．
5
7
在 Rt ABM 2 2△ 中，由勾股定理得 AM AB BM ……………（2分）
5
∵FD⊥AB，∴∠FEA=90°，∴∠FEA=∠BMC．
在△FEA与△BMA中，
FEA BMC
MAB EAF
（图 2）
∴△FEA∽△BMA…………………………………（1分）
EA FA
∴ ，∵AB=AC=5，∴ FA CF AC 8 5 3．
MA BA
EA 3
∴
7
，
5
5
∴ EA 21 …………………………………………（2分）
25
1
方法二：过点 A作 AH⊥BC，垂足为 H，∵AB=AC=5，BC=8，∴CH= BC=4．
2
在 Rt△AHC 2中，由勾股定理得 AH AC CH 2 3 ………（1分）
过点 B作 BM⊥CF，垂足为 M，∴∠BMC=90°，
在 Rt△ACH中， cosC CH 4 ，
AC 5
CM CM CM 4 32
在 Rt△BCH中， cosC ，∴ ，∴CM ．
BC 8 8 5 5
AM 7∴ CM AC ………………………………………………（2分）
5
∵FD⊥AB，∴∠FEA=90°，∴∠FEA=∠BMC．
FEA BMC
在△FEA与△BMA中，
MAB EAF
∴△FEA∽△BMA ………………………………………………（1分）
EA FA
∴ ，∵AB=AC=5，∴ FA CF AC 8 5 3．
MA BA
EA 3
∴ ，∴ EA
21
…………………………………………（2分）
7 5 25
5
1
方法三：过点 A作 AH⊥BC，垂足为 H，∵AB=AC=5，BC=8，∴CH= BC=4．
2
在 Rt 2 2△AHC中，由勾股定理得 AH AC CH 3 ………（1分）
过点 C作 CM⊥BA，垂足为 M，∴∠BMC=90°，
1 1
S△ABC= BC AH AB CM ，即 BC AH AB CM ．
2 2
∴8 3 5 CM ，∴CM 24 ．
5
7
在 Rt ACM 2 2△ 中，由勾股定理得 AM AC CM ……（2 （图 3）分）
5
∵FD⊥AB，∴∠FEA=90°，∴∠FEA=∠BMC，∴ FE //CM …………（1分）
EA FA
∴ ，∵AB=AC=5，∴ FA CF AC 8 5 3．
MA CA
EA 3 21
∴ ，∴ EA …………………………………………（2分）7 5 25
5
（其他方法请酌情给分）
25.（本题满分 14 分，其中第（1）小题各 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）
2 2
解：（1）在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴ BC AB AC 5…（1分）
过点 A作 AH⊥BC，垂足为 H， ∴∠AHC=90°=∠BAC．
AHC BAC CA AH CH
在△CAH与△CBA中， ∴△CAH∽△CBA，∴ ．
ACH BCA CB BA CA
4 AH CH
∵CA=4，CB=5，AB=3，∴ ．
5 3 4
12
∴ AH ，CH 16 ………………………………………………（1分）
5 5
∵C是线段 BD的中点，∴CD=BC=5，
5 16 41∴DH=CD+CH= ……………………………（1分）
5 5
12
在 Rt△AHD中， tan ADB AH 12 541 ………………………（1分）DH 41
5
（其他方法请酌情给分）
（2）方法一∵∠BAF=180 BAC 90 ，∴∠F+∠ABF=90°．
∵BE⊥DA，∴∠FEA=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∴∠ABF=∠FAE．
∵∠CAD=∠FAE，∴∠CAD=∠ABF…………………………………（1分）
如图 4，过点 C作 CM⊥AB，交 AD于点 M，
CM CD
∵∠MCA=∠BAC=90°， ．
AB BD
（图 4）
∵BAF=90°，AB=3，BD=x，CD BD BC x 5 CM x 5 ，∴∠MCA=∠FAB， ．
3 x
3x 15
∴CM ………………………………………………（1分）
x
MCA FAB
在△MAC 与△FBA中， ，∴ △MAC ∽△FBA．
CAD ABF
MC AC
∴ ………………………………………………（1分）
FA BA
3x 15
∴ x 4 ∴ y 9x 45 （ x 5）……………………………………（2分）
y 3 4x
方法二∵∠BAF=180 BAC 90 ，∴∠F+∠ABF=90°．
∵BE⊥DA，∴∠FEA=90°，∴∠F+∠FBA=90°，∴∠ABF=∠FAE．
∵∠CAD=∠FAE，∴∠CAD=∠ABF…………………………………（1分）
如图 5，过点 D作 DG∥AB交 AC的延长线与点 G，
∴∠DGA=∠BAC=90 DG DC CG°， ．
AB BC AC
∵∠BAF=90°，AB=3，BC=5，CD BD BC x 5．
∵∠DGA= FAB DG x 5 CG∠ ， ．
3 5 4
∴OG 3x 15 CG 4x 20 ， ………………………………………（1分）
5 5
∴GA AC CG 4x ．
5
DGA FAB
在△DGA与△FAB中， ，∴△DGA∽△FAB．
CAD ABF
DG GA
∴ ……………………………（1分）
FA AB
3x 15 4x
∴ 5 5
y 3
y 9x 45∴ （ x 5）………………（2分）
4x （图 5）
（定义域正确得 1分，其他方法请酌情给分）
（2）情况一：当点 D在 BC的延长线上时，可证△FAE∽△FBA．
FE AE FE FA
∴ ，∴ ．
FA BA AE BA
1 FA
∵AE=3EF，BA=3，∴ ．
3 3
y 9x 45 x 5 9x 45∴FA=1=y，∵ （ ），∴ 1．
4x 4x
∴ x 9 ，即 BD 9………………………………………（1分）
1 BD AH 1 9 12 54∴S△ABD= ……………………（1分）
2 2 5 5
情况二：当点 D在 BC的边上时， 可证△FAE∽△FBA．
FE AE FE FA
∴ ，∴ ．
FA BA AE BA （图 6）
1 FA
∵AE=3EF，BA=3，∴ ，∴FA=1=y．
3 3
类似的，如图 6，过点 C作 CM∥AB交 AD的延长线于点 M，
可求得 y 45 -9x 9 x 5 ………………（1分）定义域不对不扣分
4x 5
45 9x 1 x 45 BD 45∴ ，∴ ∴ …………………………（1分）
4x 13 13
1 1 45 12 54
∴S△ABD= BD AH ……………………（1分）
2 2 13 5 13
（其他方法请酌情给分）2021-2022学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
2．已知2x＝3y（x≠0），下列式子错误的是（ ）
A． B． C．y：x＝3：2 D．
3．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．下列有关相似三角形的性质，正确的是（ ）
A．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们对应角平分线的比为16：81
B．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们的周长的比为4：9
C．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们的面积的比为2：3
D．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么它们对应中线的比为2：3
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果，则0
B．如果和都是单位向量，那么
C．已知与单位向量的方向相反，且长度为3，那么3
D．如果2，3，其中是非零向量，那么∥．
6．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．在比例尺为1：500000的地图上，某两地图距为4厘米，那么这两地的实际距离是 千米．
8．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4厘米，那么线段BP的长是 厘米．
9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为65°、37°，则另一个三角形的最大的内角度数为 ．
10．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了 米．
11．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝2cm，DH＝4cm，AB＝5cm，那么AG＝ cm．
12．如图，点D是△ABC的边CB上的点，CD＝2BD．设，，则 ．（用含有a和b的式子表示）
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GC＝4，那么∠GCB的度数为 ．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点B处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，且sinα＝cosβ，则梯子顶端上升了 米．
15．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是 ．
16．如图，在 ABCD中，E为边BC的中点，联结AE，与对角线BD相交于点F，则△BEF与四边形CDFE的面积比为 ．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意△ABC中，以边BC为例，其它两边是AB和AC，AB和AC的夹角为∠A，根据余弦定理有BC2＝AB2+AC2﹣2AB A cosA，类似的可以得到关于AB2和AC2的关系式．已知在△ABC中，BC＝2，AB＝1，AC是BC和AB的比例中项，那么∠B的余弦值为 ．
18．如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3．如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，如果直线EF经过点D，那么线段BE的长是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19．计算：cos30°．
20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：（4）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC．
（1）如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
（2）如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
22．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．如图，在△ABC中，BC＝20，BA＝10，点D是边BC上的一点，且CD＝3BD，联结AD，过点B作BE∥AD，交CA的延长线于点E．
（1）求证：∠EBA＝∠C；
（2）如果∠DAC＝90°，求△BAE的面积．
24．已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，点E在边AB上，过点E作DF⊥AB，点D在边BC上，点F在CA的延长线上，联结BF．
（1）如图1，当∠FBC＝90°时，求证：BF2＝2AC BE；
（2）如图2，当BC＝CF时，求线段AE的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y．
（1）如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值；
（2）如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域．
（3）当AE＝3EF时，求△ABD的面积．
