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第一章
集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.奇、偶函数的定义域和图象特征,要在理解的基础上学习.
3.掌握判断函数奇偶性的方法.
研 习 新 知
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1.函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数的定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
2.奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇函数的图象关于原点中心对称.
2.对于某个函数f(x),存在x0使得f(-x0)=f(x0),这个函数是偶函数吗?
提示:不是.函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质,必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性.
自 我 检 测
1.函数f(x)=|x|是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:函数定义域为R,
且f(-x)=|-x|=|x|=f(x),
所以f(x)是偶函数.
答案:B
2.函数f(x)=x+x3的奇偶性为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:函数定义域为R,且f(-x)=-x-x3=-(x+x3)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
答案:A
答案:D
4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么a=________.
解析:∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数,
∴区间[3-a,5]关于原点对称,
∴3-a=-5,a=8.
答案:8
解:(1)f(x)的定义域为{2},因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(x)=(x+1)3-3(1+x2)+2=x3+3x.∵f(-x)=-x3-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性:
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①函数f(x)的解析式均已知;
②判断奇偶性问题.
解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称,然后再验证f(x)与f(-x)之间的关系来确定奇偶性.
[解] (1)函数定义域为R.
f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
(2)函数的定义域为{x|x≠-1}.
不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)①当x<0时,-x>0.
f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3
=-x2-2x-3=-f(x);
②当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)+3
=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x),
综上可知f(x)为奇函数.
[点评] 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.
(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
另外,还有如下性质可判定函数奇偶性:
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用以上结论时要注意各函数的定义域)
(4)当x<0时,
-x>0,f(-x)=-x-1=-(x+1)=-f(x),
另一方面,
当x>0时,
-x<0,f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x),
而f(0)=0,
∴f(x)是奇函数.
类型二 奇函数、偶函数图象的对称性
[例2] 奇函数y=f(x)的局部图象如图1所示,试比较f(2)与f(4)的大小.
[解] 因为奇函数的图象关于原点对称,
所以f(2)=-f(-2),f(4)=-f(-4),而由函数图象可知f(-2)-f(-4),所以f(2)>f(4).
[点评] 给出奇函数(或偶函数)的图象的一部分,根据奇函数(或偶函数)图象的对称性可以作出图象的另外一部分.如本题,因为函数为奇函数,所以图象关于原点对称,可以作出y轴右侧的图象,从而比较f(2)与f(4)的大小.
变式体验2 如图2,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.
图2 图3
解:奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(-x,-f(x))关于原点的对称点为P′(x,f(x)).如图3为补充后的图象,易知f(3)=-2.
类型三 根据奇偶性求函数解析式
[例3] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2+3x-1,求f(x)的解析式.
[分析] 由奇函数的定义知f(0)=0,再由f(-x)=-f(x)计算当x<0时f(x)的表达式,构成定义在R上的奇函数.
[点评] 解题时不能漏掉x=0这一特殊点.
思 悟 升 华
判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
1.定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.
2.图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
另外,还有如下性质可判定函数奇偶性:
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用以上结论时要注意各函数的定义域)
课时作业(11)