《红对勾》人教版数学必修一1.3.2.1《函数奇偶性的概念》课件

(共39张PPT)
第一章　
集合与函数概念
1．3　函数的基本性质
1.3.2　奇偶性
第1课时　函数奇偶性的概念
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．奇、偶函数的定义域和图象特征，要在理解的基础上学习．
3．掌握判断函数奇偶性的方法.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于y轴对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称．
2．对于某个函数f(x)，存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，这个函数是偶函数吗？
提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．
自 我 检 测
1．函数f(x)＝|x|是(　　)
A．奇函数　　　　　　　　B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：函数定义域为R，
且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
答案：B
2．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
答案：A
答案：D
4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，
∴区间[3－a,5]关于原点对称，
∴3－a＝－5，a＝8.
答案：8
解：(1)f(x)的定义域为{2}，因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f(x)＝(x＋1)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x.∵f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一　　函数奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)的解析式均已知；
②判断奇偶性问题．
解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．
[解]　(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)①当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)；
②当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
[点评]　判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
(4)当x<0时，
－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，
当x>0时，
－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，
∴f(x)是奇函数．
类型二　　奇函数、偶函数图象的对称性
[例2]　奇函数y＝f(x)的局部图象如图1所示，试比较f(2)与f(4)的大小．
[解]　因为奇函数的图象关于原点对称，
所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，而由函数图象可知f(－2)－f(－4)，所以f(2)>f(4)．
[点评]　给出奇函数(或偶函数)的图象的一部分，根据奇函数(或偶函数)图象的对称性可以作出图象的另外一部分．如本题，因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，可以作出y轴右侧的图象，从而比较f(2)与f(4)的大小．
变式体验2　如图2，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
图2　　 图3
解：奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))．如图3为补充后的图象，易知f(3)＝－2.
类型三　　根据奇偶性求函数解析式
[例3]　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
[分析]　由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
[点评]　解题时不能漏掉x＝0这一特殊点．
思 悟 升 华
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
1．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
2．图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
课时作业（11）