《红对勾》人教版数学必修一1.3.2.2《函数奇偶性的应用》课件

(共42张PPT)
第一章　
集合与函数概念
1．3　函数的基本性质
1.3.2　奇偶性
第2课时　函数奇偶性的应用
1.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
2．掌握函数奇偶性与其他性质的综合运用．
3．进一步感悟数形结合思想的运用.
研 习 新 知
新 知 视 界
1．奇(偶)函数图象的对称性
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))．
答案：C
2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0.
答案：C
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
∴f(7)＝－2，故选A.
答案：A
4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图1，则函数f(x)的增区间为________．
图1
答案：[－1,0]，[1，＋∞)
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一　　利用函数奇偶性和单调性解不等式
[例1]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)[分析]　利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式(组)．
[点评]　解决此类问题时，一定要充分利用已知的条件，奇函数在关于原点的对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反．另外，函数自身定义域对参数的影响很容易漏掉，从而导致错解，求解时应特别注意．
变式体验1　如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是(　　)
A．增函数且最大值是4　　　
B．增函数且最小值是4
C．减函数且最大值是4
D．减函数且最小值是4
解析：作一个符合条件的函数的简图．
观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4.
答案：B
类型二　　抽象函数的奇偶性问题
[例2]　已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
[解]　(1)令a＝b＝0，
∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，
∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值．
令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)为奇函数．
变式体验2　已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可．
解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
∵x12＋1>0，x22＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈[0,1)时，x1x2－1<0，
x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1>0，
∴当x1，x2∈[0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0]上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．
[点评]　当f(x)是奇函数且在x＝0有意义时f(0)＝0，本题可利用f(0)＝0求得a＝0.但f(0)＝0时f(x)不一定是奇函数，需对a＝0时结合其他条件检验f(x)是奇函数．
解：F(x)在(－∞，0)上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.
∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，
∴f(－x2)又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)②
思 悟 升 华
1．奇偶性是函数在定义域上的对称性质，单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势．
函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相互关系．
即：若y＝f(x)为奇函数，则y＝f(x)在关于原点对称的区间上的单调性相同．
若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x)在关于原点对称的区间上的单调性相反．
课时作业（12）