绝密★考试结束前
杭州八校联盟 2021 学年第一学期期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共 1张 4页，满分 150 分，考试时间 120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.若直线的斜率是 1，则其倾斜角为（ ）
A. 30o B. 60o C. 45o D. 90o
2.已知a = (2, 1,3),b = ( 4,2, x) ，且a // b，则 x 的值为（ ）
10 10
A. B. C.6 D.-6
3 3
3. 已知一组数据为 20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第 60 百分位数和众数的大小关
系是（ ）
A．平均数=第 60百分位数 众数 B．平均数 第 60百分位数=众数
C．第 60百分位数=众数 平均数 D．平均数=第 60百分位数=众数
4．为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对 A 地区随机选取 n 个居民进行了环保知识问
卷调查（满分为 100 分），并根据问卷成绩（不低于 60 分记为及格）绘制成如图所示的频率分布
直方图（分为 40,50)， 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)， 90,100 六组），若问卷成绩
最后三组频数之和为 360，则下面结论中不正确的是（ ）
1
A．n = 480 B．问卷成绩在 70,80)内的频率为0.3
C．a = 0.030 D．以样本估计总体，若对 A地区 5000人进行问卷调查，则约有 1250人不及格
5.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件 A=“甲成功破译”，事件 B=“乙成功破译”，则表示
“密码被成功破译”的事件为（ ）
A. A B B. A B C. A B D. A B
6. 直线 l1 : ax y +b = 0与 l2 :bx y + a = 0（其中a 0,b 0,a b），在同一坐标系中的图象
是下图中的（ ）
7.在二面角的棱上有两个点 A、B，线段 AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，
若 AB=1，AC=2，BD=3，CD = 2 2 ,则这个二面角的大小为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
1
8.如图，已知电路中有5个开关，开关 S5 闭合的概率为 ，其它开关闭合的
3
1
概率都是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
2
7 15 23 4
A． B． C． D．
8 16 24 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.已知直线 l : x ay+1= 0(a R)，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 l 过定点 ( 1,0) B. 直线 l 与直线 l : x ay + 2 = 0一定平行
C. 直线 l 一定不与坐标轴垂直 D. 直线 l 与直线 l : ax+ y +m = 0(m R)一定垂直
10. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 向量a,b(a 0,b 0) ，若a ⊥ b，则a b = 0
1 3
B.若空间四个点P, A, B,C, PC = PA+ PB ,则 A, B,C 三点共线
4 4
2
2
C.已知向量a = (1,1, x),b = ( 2, x,4)，若 x ，则 a,b 为钝角
5
D.任意向量a,b满足 (a b) c = a (b c)
11.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在 10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
则下列叙述正确的是（ ）
A.甲机床出现的次品数较少 B.乙机床出现的次品数较少
C.甲机床性能更好 D.乙机床性能更好
12.如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，AB = AD = AA1， DAB = DAA
1 = BAA1 = 60 ,
点M , N 是棱D1C1,C1B1 的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. MN ⊥ AC1 B.向量 AM , BC, BB1 共面
2 42
C.CA1 ⊥平面C1BD D.DM与平面 ABCD所成角的正弦值为
21
非选择题部分
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13.某中学高一年级有 420 人，高二年级有 460 人，高三年级有 500 人，用分层抽样的方法抽取部
分样本，若从高一年级抽取 21人，则从高三年级抽取的人数是
14.直线 3x-4y+12=0在 x轴上的截距是
y
15.若 A， B 互为对立事件，其概率分别为 P(A) = x， P(B) = y ，且 x 0， y 0，则 的
x +1
取值范围为_______．
16.在三棱锥 A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M是 AD的中点，点 N是
线段 BC的一个三等分点（靠近 B点），则|MN|=
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10分）抛掷三枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况.
（1）写出试验的样本空间；
（2）若正面朝上时得 2分，反面朝上时得 1 分，求一次试验中总得分为 4分的概率.
3
18.（本题 12分）从高三年级抽出 50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图估计:
(1)这 50名学生成绩的众数与中位数;
(2)这 50名学生的平均成绩.
19.（本题 12分）△ABC的三个顶点是 A(4，0),B(6，7),C(0，3)，求:
(1)直线 AC的方程；
(2)边 BC上的高所在直线的方程.
（3）求一点 D，使得四边形 ABCD为平行四边形.
20. （本题 12分）在正四面体 OABC中，E，F，G，H分别是 OA，AB，BC，OC的中点.
设OA= a,OB = b,OC = c .
(1)用a,b,c表示EF , FG ；
(2)求证：EF ⊥ FG；
(3)求证：E，F，G，H 四点共面.
21.（本题 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已
3 2
知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 .每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结
4 3
果也互不影响，“星队”共参加两轮猜成语活动.
（1）求“星队”在第一轮活动中只猜对 1个成语的概率；
（2）求“星队”在两轮活动中至少猜对 3个成语的概率.
22.（本题 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为2 3的菱形，
∠BAD=120°，且 PA⊥平面 ABCD，PA=2 6 ,M，N分别为 PB,PD的中点。
（1）求直线 PM与平面 AMN 所成角的正弦值；
(2)求三棱锥 D-AMN的体积；
33
(3)在线段 PC上是否存在一点 Q，使得平面 AMN与平面 QMN的夹角的余弦值为 ？
33
4杭州八校联盟 2021 学年第一学期期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A A B C A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 ABD AB BD AD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
8
13. 25 14. -4 15. (0,1) 16.
3
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题 10分）
解：（1）(正，正，正），(正，正，反），(正，反，正），(反，正，正），
(正，反，反），(反，正，反），(反，反，正），(反，反，反）.…………5 分
（注：写错一个或少写一个扣 1分）
(2）总得分为 4分的情形为“一正两反”，包含 3个样本点.…………7 分
3
所以总得分为 4分的概率为 .…………10 分
8
18.（本题 12分）
解：（1）由频率分布直方图得
70+80
众数为数学竞赛成绩在[70,80)的小矩形的高，即众数为 = 75 .…………4 分
2
数学竞赛成绩在[40,70)的频率为：(0.004+0.006+0.002)*10=0.3
数学竞赛成绩在[70,80)的频率为：0.03*10=0.3
0.5 0.3 230
从而中位数为：70+ 10 = .…………8 分
0.3 3
（2）这 50名学生的平均成绩为：
x =
0.004 45 10+ 0.006 55 10+ 0.02 65 10+ 0.03 75 10+ 0.024 85 10+ 0.016 95 10
= 76.2
.…………12 分
x y
19.（本题 12分）解：（1）由截距式方程得直线 AC的方程为： + =1即3x+ 4y 12 = 0 .…4 分
4 3
3 7 2 3
（2） kBC = = ，所以 BC上的高所在直线的斜率为 .…………6 分
0 6 3 2
3 3
BC 上的高所在直线的方程为 y 0 = (x 4) 即 y = x + 6 .…………8 分
2 2
(3) 设 D(x0 , y0)，.…………9 分
y0 0 7 3
=
x0 4 6 0
(4) 由 AD//BC,AB//CD得 ，.…………11 分
y0 3 7 0=
x0 0 6 4
解得 x0 = 2, y0 = 4 .…………12 分 ，
从而 D的坐标为(-2,-4)
20.（本题 12分）
1 1
(1) EF = OB = b …………2 分
2 2
1 1 1 1 1
FG = AC = OC OA= c a …………4 分
2 2 2 2 2
证明：（2）证明：设四面体的棱长为a
a2
则 a b = a c = b c = …………5 分
2
1 1 1
EF FG = b (c a) = (b c a b) = 0 …………8 分
2 2 4
故 EF ⊥ FG；
1
（2） EG =OG OE = (b+ c a) …………9 分
2
1 1
EH =OH OE = (OC OA) = (c a) 1， EF = b
2 2 2
EG = EF + EH …………12 分
从而 E，F，G，H四点共面.
21.（本题 12分）
20.解：（1）记事件 Ai = “甲第 i 轮猜对”，事件 Bi = “乙第 i 轮猜对”， (i=1,2)
3 2
P(Ai) = , P(Bi) = ， 4 3
事件 C = “‘星队’在第一轮活动中只猜对 1 个成语”，
事件 D = “‘星队’在两轮活动中至少猜对 3 个成语”， .…………2 分
由题意得， C = A B + A 1 1 1B1 ， .…………3 分
由事件的独立性与互斥性可得：
3 1 1 2 5
P(C) = P(A B 1 1) + P(A1B1) = P(A1)P(B1) + P(A1)P(B1) = + = …5 分 4 3 4 3 12
5
∴“星队”在第一轮活动中只猜对 1 个成语的概率为 ； .…………6 分
12
（2）由题意得 D = A1B1A B 2 2 + A1B1A2B2 + A1B1A2B2 + A1B 1A2B2 + A1B1A2B 2 ………8 分
由事件的独立性与互斥性可得：P(D) = P(A1B1A 2B2) + P(A1B1A2B2) + P(A 1B1A2B2) +
P(A B A B ) + P(A B A 1 1 2 2 1 1 2B2) .…………8 分
= P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) + P(A 1)P(B1)P(A2)P(B 2) + P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) +
P(A1)P(B1)P(A 2)P(B2) + P(A1)P(B1)P(A2)P( B 2) ， …………10 分
3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2
= + 2( + ) = ，.…………11 分
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3
2
所以“星队”在两轮活动中至少猜对 3 个成语的概率为 . .…………12 分
3
22.（本题 12分）
解：作 AE ⊥ BC于点E .以 A 为原点，分别以 AE,AD,AP 为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则 .………2 分
3 3
A(0,0,0), B(3, 3,0),C(3, 3,0), D(0,2 3,0), P(0,0,2 6),M ( , , 6), N(0, 3, 6)
2 2
3 3 3 3
（1） AM = ( , , 6), AN = (0, 3, 6), PM = ( , , 6)
2 2 2 2
平面 AMN 的法向量为m = ( 6, 2, 1),
| PM m | 2 6
设直线 PM与平面 AMN成角为 ，则sin = = .………5 分
| PM || m | 9
3 3 3 3 3
（1） AM = ( , , 6), AN = (0, 3, 6), AD = (0,2 3,0),MN = ( , ,0)
2 2 2 2
平面 AMN 的法向量为m = ( 6, 2, 1),
| AD m | 2 6
点 D到平面 AMN的距离为 = ， | AM |=| AN |=| MN |= 3
| m | 3
1 1 2 6 9 3 3 2
VD AMN = d S AMN = = ………8 分
3 3 3 4 2
（2）令 PQ = PC ，则Q(3 , 3 ,2 6(1 ))
3 3 3
NQ = (3 , 3( 1), 6 2 6 )， MN = ( , ,0)
2 2
平面 QMN 的法向量为u = ( 6(2 1), 2(2 1),4 1),
平面 AMN 的法向量为m = ( 6, 2, 1),
33 | m u | 33 2
由已知 | cos m,u |= 得 =33 33 ，解得
= ………12 分
| m || u | 3
故存在这样的点 Q使得原结论成立.
