杭州八校联盟 2021学年第一学期期中联考
高一年级数学学科 答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符
合题目要求。
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
A B A C D B B C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分
题号 9 10 11 12
答案 AC BC BCD BD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
13. 8 14. + 15. 1 16. ,1 7
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）B = | 1 ≤ ≤ 2 ; --------1分
A ∩ B = |1 < ≤ 2 , A ∪ B = | > 1 --------7分
（2） = | ≤ 1 ,由 B C A 知，m+ 3 ≤ 1 ∴ m ≤ 2.R --------10分
18.(1)当 k = 1时，原不等式变为 2x28 + x 3 < 0 --------1 分
3
∴ - < x<1
2 --------3 分
3
∴ 解集为 x| < x < 1
2 --------5 分
（2）原解集为 R即不等式 2kx2 kx
3
0 在 R 上恒成立 --------6分
8
①k = 0 3时， < 0满足题意；
8 --------8分
1
k ≠ 0 ∴ 2k < 0② 时 2 --------10分 = k + 3k < 0
∴ -3< k <0 --------11分
综上， --------12分∴ -3< k ≤ 0
19.(1) 略；（每个图像 3 分） --------6分
（2）当 g(x) 1 x 3 x2 f (x)时，即 1 x 2时， h(x) 1 x.
当 g(x) 1 x 3 x2 f (x)时，即 x 1或 x 2时， h(x) 3 x 2.∴ h x =
1 , 1 ≤ ≤ 2
3 2, < 1或 > 2 -------10分
作出函数 h(x)的图象如下图所示，
h(x)在 ( , 1)单调递增，在[ 1, )单调递减.即 h(x) h( 1) 2.
当 x 1时， h(x)取到最大值 2.所以函数 h(x)的最大值为 2.(答案对即可) -------12 分
x
20.（1）由函数 f (x) f (x)
x2
，可得 定义域为 R ，
1 -------1 分
函数 f (x)为奇函数.证明如下：
x x
又由 f ( x) 2 f x ( x) ， 1 x2 1
所以 f (x)
x
2 为奇函数.x 1 -------4 分
2
（2）证明如下：
x x x x 2 x 2
任取 1 x x 1，则 f (x 1 2 1 2 1
x2x1 x2
1 2 1) f (x2) 2 x 1 x2 1 (x21 2 1 1)(x
2
2 1) -------6 分
x1x2 (x2 x1) (x2 x1) (x1x2 1)(x2 x1)
(x21 1)(x
2
2 1) (x
2
1 1)(x
2 1) ， -------7 分2
(x x 1)(x x )
因为 1 x1 x2 1，所以 x2 x1 0, x1x2 1 0
1 2 2 1
，可得 (x2
0 -------8 分
1 1)(x
2 ，
2 1)
即 f (x1) f (x2)，故 f (x)
x
2 在 ( 1,1)上是单调递增.. -------9 分x 1
（3）因为 f (2x 1) f (x) 0，即 f (x) f (2x 1)，
由（1）、（2）可得 f (x) f (2x 1) f (1 2x)， -------10 分
x 1 2x
1 1
可得 1 x 1 ，解得 0 x ，所以原不等式的解集为{x | 0 x }.
3 3 -------12分
1 2x 1 1
21.(1)由题可知总成本为 20000+100x，从而 --------2 分
1 2
∴ ( ) = x + 300x 20000,0 ≤ x ≤ 500,2 --------6 分
55000 100x, x > 500
(2)当 0 ≤ ≤ 500， ( ) = 1 (x 300)2 + 25000,
2
∴ = 300时， （x）有最大值 25000； --------8 分
当 > 500时， （ ） = 55000 100 是减函数，
∴ ( ) < 55000 100 × 500 = 5000. --------10分
∴ x = 300时， （ ）有最大值 25000；
即当每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25000 元. --------12分
3
22.（1）由题意知，对称轴 =
2 --------1 分
x = a a- ≤ 1或 - ≥ 2 --------3 分
2 2
∴ a ≥ -2或a ≤ -4 --------5 分
1
（2）由题意，问题转化为 f x g x ，对 x ,1max 2 恒成立 -------6 分
2
对函数 g 1x ax x a ，令 t 1,2
x x
2
g x ax x a h t at 2 t a ，则问题转化为： f x h t ， t 1,2 恒成立x max
2a 3,a 4
f x a
2
显然： 1, 4 a 2max
4 ------8 分
a,a 2
t 3
（1）当 a 4时， 2a 3 at 2 t a 对 t 1,2 恒成立，则 a 2 对 t 1,2 恒成立，得t 2
a 4 ，得 a 4
3 ------9 分
（2）当 4 a 2时，
a2 2
1 at 2 t a 对 t 1,2 a恒成立，则 t at 2 t a 1 0对 t 1,2 恒成立
4 4
t 1 1 关于 的二次函数的对称轴在 , 之间，开口向下，则 1 0，得 a 0，a 8 4 8
即得 4 a 2 ------10分
t
（3）当 a 2时， a at 2 t a 对 t 1,2 恒成立，则 a 2 对 t 1,2 a 2恒成立，得 ，t 2 4
2 a 2得
4 ------11分
2
综上，得满足题意的 a 的范围是： a
4 ------12分
4杭州八校联盟 2021学年第一学期期中联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
( )1.下列元素与集合的关系判断正确的是
①0∈N； ②－1∈Z； ③π∈Q; ④ 2 R.
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
( )2. 命题“ x R， x2 x 1 0”的否定是
A. x R， x2 x 1 0 B. x R， x2 x 1 0
C. x R， x2 x 1 0 D. x R， x2 x 1 0
( )3.设 a R ，则“ a 1”是“ a2 a”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
( )4.下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
A． B．
C． D．
( )5.若函数 y f (x) 0,2 g(x) f (x 1)的定义域是 ，则函数 的定义域是
x 1
A. 0,1 1,2 B. 0,2 C. (1,3] D. 1,1
( )6.建造一个容积为8m3，深为 2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米 120
元和 80元，那么水池的最低总造价为
A．1680元 B．1760元 C．1800元 D．1820元
高一数学学科试卷第 1页共 4页
( )7.若 A a2 3ab,B 4ab b2，则 A，B 的大小关系是
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
( )8.定义在 R 上的偶函数 （ ）满足：在 x [0, )上单调递减，则满足 2 1 > (1)的 x的取
值范围是
A. ( ,0) B. (1, ) ( ,0) 0,1 1,0 C. D.
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
( )9.下列式子表示同一个函数的是
A．f(x)＝|x|，φ(t)＝ t2 B．y＝ x2，y＝( x)2
C．y＝ 1＋x· 1－x，y＝ 1－x2 D．y＝ （3－x）2，y＝x－3
( )10.对于实数 a,b,c，下列说法正确的是
A．若 a b 1 1，则 c2 > bc2 B．若 a b 0，则
a b
C．若 a 0 b，则 ab a2 a bD．若 c a b，则
c a c b
f (x1) f (x2 )
( )11. 下列函数中满足“对任意 x1，x2∈（0，＋∞），都有 x x ＞0”的是1 2
2
A．f（x）＝－3x＋1 B．f（x）＝－
x
1
C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－
x
3x 1, x 1
( )12.已知函数 f (x) 2 ，若 n m，且 f (n) f (m)，设 t n m，则
x 1, x 1
A． t没有最小值 B． t的最小值为 5 1
C． t
4
的最小值为 D． t
17
的最大值为
3 12
三、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
2, < 4
13.已知函数 x = 1, ≥ 4，则 f(f(3))=__________
14.已知函数 1 = 2 2 + 2，则 f (x) =____________.
15.已知 > 1,则 + 1 的最小值是___________
+1
2
16.函数 ( ) = +1的值域是_________．
2 +2
高一数学学科试卷第 2页共 4页
四、解答题（共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明）
17.（本小题满分 10 分）已知集合 A x | x 1 ,集合 B= x |m x m 3
（1）当m 1时，求 A ∩ B, A ∪ B；（2）若 B C mRA 求 的取值范围.,
2 318.（本小题满分 12 分）已知关于 x的不等式 2kx kx 0 .
8
1
（1）若 k ，求不等式的解．集．； （2）若不等式的解集为 R，求 k的取值范围;8
19.（本小题满分 12 分）对于任意的实数 a,b, min{a,b}表示 a,b中较小的那个
a,a b
数，即min a,b .已知函数 f (x) 3 x2 , g(x) 1 x.
b,a b
（1）在同一直角坐标系中画出 , g 的图像；
（2）设 h(x) min{ f (x), g(x)}, x R，写出函数 h(x)的解析式并求出 h(x)最
大值.
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x
20.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) .
x2 1
（1）写出函数 f (x)的定义域，判断并证明函数 f (x)的奇偶性；
（2）用单调性定义证明函数 f (x)在（-1,1）上单调递增；
（3）若 f (x)定义域为 ( 1,1)，解不等式 f (2x 1) f (x) 0 .
21.（本小题满分 12 分）
若某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000元，每生产一台仪器需增加投入 100元，已知总收入 R（单
位：元）关于月产量 x（单位：台）满足函数：
400x 1 x2 ,0 x 500,R 2
75000, x 500.
(1) 将利润 f(x)(单位：元)表示为月产量 x的函数；
(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
22.（本小题满分 12 分）
2
设 f x x2 ax 1， g x ax x a .
x2
（1）若 ( )在区间[1，2]上是单调函数，求 的取值范围；
x 1,2 x 1 （2）若存在 1 ，使得对任意的 2 ,1 ，都有 f x1 g x2 成立，求实数 a的取值范围; 2
高一数学学科试卷第 4页共 4页
