1.2矩形的性质与判定 同步练习 2021_2022学年 九年级数学北师大版上册（word版含答案）

1.2矩形的性质与判定
一、选择题（共13题）
下列选项中，矩形具有的性质是
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，且 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别交 ， 于 ，，连接 ，．若 ，．则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
如图，在 中，，，，， 分别为 ，， 的中点，若 ，则EF的长度为
A． B． C． D．
如图，把长方形纸片 沿 折叠，点 ， 分别落在 ， 处． 与 交于点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ，延长 交 轴于点 ，作正方形 ，延长 交 轴于点 ，作正方形 ，，按这样的规律进行下去，第 个正方形的周长为
A． B． C． D．
如图，菱形 的周长为 ，对角线 ， 交于点 ，，作 于点 ，连接 ，则 的长为
A． B． C． D．
在 中，等于斜边的一半是斜边上的
A．高 B．中线 C．角平分线 D．垂直平分线
如图，矩形 中，， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，．则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④当 时，四边形 是菱形．
其中，正确结论的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
如图，矩形 中，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
如图，，已知 中，， 的顶点 ， 分别在边 ， 上，当点 在边 上运动时， 随之在 上运动， 的形状始终保持不变，在运动的过程中，点 到点 的距离为整数的点有 个．
A． B． C． D．
关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
矩形 与矩形 ，如图放置，点 ，， 共线，点 ，， 共线，连接 ，取 的中点 ，连接 ．若 ，，则
A． B． C． D．
二、填空题（共6题）
如图， 为线段 上一动点，分别过 ， 作 ，，连接 ，，已知 ，，，设 ．请用含 的代数式表示 的长，根据上述方法，求出 的最小值为 ．
如图，在矩形 中，，，过矩形 的对角线交点 作直线分别交 ， 于点 ，，连接 ，若 是等腰三角形，则 ．
如图， 中，，， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的周长为 ．
已知在矩形 中， 为 的中点， 为 上一点，连接 ，．若 ，，，则 的长为 ．
如图， 中，，，，点 是 上的任意一点，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值是 ．
在 中，， 是 的中点，，则 ．
三、解答题（共4题）
如图，矩形 顶点 ，，直线 分别交 ， 于点 ，，且 为 中点．
(1) 求 的值及此时 的面积．
(2) 现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在 内的概率．（若投在边框上则重投）
完成如图所示的画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②不写画法，保留必要的画图痕迹．
(1) 在图 中画出一条长为 的线段 （， 分别为格点）．
(2) 在图 中画出一个以格点为顶点，以 为一边的平行四边形 ，使得其面积为 （， 分别为格点）．
(3) 在图 中，， 分别为格点，画出以线段 为一边的矩形 ，使得矩形 的面积为 （， 分别为格点）．
如图，矩形 中，，，过对角线 中点 的直线分别交 ， 边于点 ，．
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 当四边形 是菱形时，求 的长．
已知 和 都是等腰直角三角形， 为它们的公共直角顶点，， 分别在 ， 边上．
(1) 如图 ， 是线段 上的一点，连接 ，若 ；
求证：点 是 的中点；
判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2) 如图 ，把 绕点 顺时针旋转 角 ，点 是 的中点，其他条件不变，判断 与 的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】C
【解析】作 于 ，交 于 ．
则有四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，
，，，，，
，
．
4. 【答案】B
5. 【答案】B
【解析】根据折叠性质可得：，
，
，
，
四边形 为矩形，
，
，
，故选：B．
6. 【答案】C
7. 【答案】B
【解析】在菱形 中，，，
菱形 周长为 ，
，
又 ，，
为等边三角形，
又 ，
为 ， 中点，
在 中，．
8. 【答案】B
9. 【答案】D
10. 【答案】A
【解析】如图，连接 ，
矩形 中，，，
，，
，，
，
中，．
故选A．
11. 【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ．
．
点 是 边中点，
，
；
连接 ，，有 ，
当 ，， 共线时， 有最大值，最大值是 ，
又 为直角三角形， 为斜边 的中点，
，
．
点 到点 的距离为整数的点有 个，
12. 【答案】C
13. 【答案】C
【解析】如图，延长 交 于点 ，
四边形 和四边形 都是矩形，
，，，
，
，
又 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，，
，
，，
，
则 ．
二、填空题（共6题）
14. 【答案】
【解析】 ；
当 ，， 三点共线时， 的值最小；
如图所示，作 ，过点 作 ，
过点 作 ，使 ，，
连接 交 于点 ，
设 ，则 的长即为代数 的最小值．
过点 作 交 的延长线于点 ，得矩形 ，
则 ，，，
，
即 的最小值为 ，
故代数式 的最小值为 ．
15. 【答案】 或
【解析】连接 ，如图 所示：
四边形 是矩形，
，，，，
，
在 和 中，
，
．
若 是等腰三角形，分三种情讨论：
①\当 时，如图 所示：
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：，
解得 ，即 ；
②当 时，
作 于 ，如图 所示：
则 ，
设 ，则 、 ，
，解得：，
；
③当 时，作 于 ，如图 所示：
设 ，则 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得：，
整理得：，
，
此方程无解；
综上所述： 是等腰三角形，则 为 或 ．
16. 【答案】
【解析】 ， 平分 ，
，，
，点 为 的中点，
，
的周长 ．
17. 【答案】 或
18. 【答案】
【解析】 中，，，，
，
连接 ，
，，
四边形 是矩形，
，
当 最小时，则 最小，根据垂线段最短可知当 时，则 最小，
．
19. 【答案】
【解析】 ， 是 的中点，
．
三、解答题（共4题）
20. 【答案】
(1) 矩形 顶点 ，，
，
为 中点，
，，
把点 代入 得 ，
令 ，得 ，
，
，，
．
(2) 由（）得 ，
．
21. 【答案】
(1) 如图 为线段 所得：
(2) 如图 为平行四边形 所得：
(3) 如图 是矩形 所得：
22. 【答案】
(1) 四边形 是矩形， 是 的中点，
，，，，
，
在 和 中，
，
，
四边形 是平行四边形．
(2) 当四边形 是菱形时，，
设 ，则 ，，
在 中，，
，解得：，
，
，
，
，
．
23. 【答案】
(1) 如图 ，
证明：
，
，
，，
，
，
，即点 是 的中点．
，．
理由：
和 都是等腰直角三角形，
，，
在 和 中，
，
，，
，，
，
，，
，
．
(2) 仍然有 ，．理由：
延长 到 使 ，连接 ，，如图 ，
，，
四边形 为平行四边形，
，，
，即 ，
，
绕点 顺时针旋转 角 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
而 ，
，
．